В ответ на
«Re: Забавная ассоциированная задачка.» (Time)
: Вот здесь-то и проявляется некоторая асимметрия "ортонормированного" (в смысле данной финслеровой метрики) базиса Н(3). Для базиса нужно три вектора, а углов у тетраэдра - четыре:) Как не крути, а один вектор оказывается "лишним". Другое дело в специальном изотропном базисе. Его вектора идут от центра тетраэдра к серединам ребер. Таких векторов шесть, но попарно они противоположно направлены, поэтому тройка выбирается естественным образом.
Да.
Но.
1. Определим алгебру, "согласованную" с вращениями тетраэдра на ПИ вокруг этих осей.
w=xi+yj+zk
с законом умножения базисных элементов
ij=ji=k
ik=ki=j
jk=kj=i
i2=j2=k2= -(i+j+k) =E
2. Элемент Е работает как мультипликативно нейтральный = единица алгебры.
Поэтому поле R естественно вкладывается в алгебру посредством
x -> xE
3. Автоморфизмами алгебры являются циклические перестановки координат.
Поэтому, вычисляя характеристический многочлен элемента w
получаем формы (если не ошибся в арифметике)
S(1) = x+y+z
S(2) = x2 +y2 +z2 -2(xy+xz+yz)
S(3) = xy2 +...
+(остальные пять одночленов, дополняющих до "симметриии) - (x3 +y3 +z3)
Про форму S(3) пока ничего сказать не могу, а S(2) меня удивляет:
S(2) = x2 +y2 +z2 -2(xy+xz+yz)=
= ((x-y)2 +(y-z)2 +(z-x)2) - (x2 +y2 +z2)
Вторая сумма - чисто Евклид, а первая - форма фактически ДВУХ переменных, т.к.
(x-y)+(y-z)= (x-z)
Откуда взялась эта "цилиндрическая" составляющая и каков ее смысл - не понимаю.
4. Элемент w можно представить в форме
w=xi+yj+zk = A(j+k)+B(i+k)+C(i+j)
Полагая
I = -(j+k)/2
J = -(i+k)/2
K = -(i+j)/2
получаем базис I,J,K с правилом умножения
I2=I
J2=J
K2=K
IJ=...=JK=0
то есть базис в котором алгебра представляется прямой суммой
R+R+R.
_________
Больше всего меня заинтересовал "цилиндрический" довесок к евклидовой части формы S(2).
Ну и интерпретация S(3), разумеется.
отредактировано 10.06.2005 10:33 |
» Альтернативный форум