: 1. Определим алгебру, "согласованную" с вращениями тетраэдра на ПИ вокруг этих осей.
:
: w=xi+yj+zk
:
: с законом умножения базисных элементов
:
: ij=ji=k
: ik=ki=j
: jk=kj=i
: i2=j2=k2= -(i+j+k) =E
:
: 2. Элемент Е работает как мультипликативно нейтральный = единица алгебры.
: Поэтому поле R естественно вкладывается в алгебру посредством
:
: x -> xE
:
: 3. Автоморфизмами алгебры являются циклические перестановки координат.
: Поэтому, вычисляя характеристический многочлен элемента w
: получаем формы (если не ошибся в арифметике)
:
: S(1) = x+y+z
: S(2) = x2 +y2 +z2 -2(xy+xz+yz)
: S(3) = xy2 +...
: +(остальные пять одночленов, дополняющих до "симметриии) - (x3 +y3 +z3)
:
: Про форму S(3) пока ничего сказать не могу,
По идее, S(3) должна быть просто иным представлением куба интервала пространства Н(3), просто выраженным в другом базисе. Кстати, поскольку обозначение S(3) уже применялось ранее для одного из коэффициентов уравнения четвертой степени в Н(4), наверное, во избежание путаницы было бы лучше для алгебры Н(3) использовать какой то другой символ.
: а S(2) меня удивляет:
:
: S(2) = x2 +y2 +z2 -2(xy+xz+yz)=
:
: = ((x-y)2 +(y-z)2 +(z-x)2) - (x2 +y2 +z2)
:
: Вторая сумма - чисто Евклид, а первая - форма фактически ДВУХ переменных, т.к.
:
: (x-y)+(y-z)= (x-z)
:
: Откуда взялась эта "цилиндрическая" составляющая и каков ее смысл - не понимаю.
:
Не берусь утверждать однозначно, но, скорее всего, S(2) (здесь также следовало бы использовать иной символ) - в одном из базисов выглядит как обычная метрика трехмерного псевдоевклидова пространства, а "цилиндрическая" и евклидова составляющие вместе просто дают одну из красивых форм ее представления. Надо поискать возможное линейное преобразование...
: 4. Элемент w можно представить в форме
:
: w=xi+yj+zk = A(j+k)+B(i+k)+C(i+j)
:
: Полагая
:
: I = -(j+k)/2
: J = -(i+k)/2
: K = -(i+j)/2
:
: получаем базис I,J,K с правилом умножения
:
: I2=I
: J2=J
: K2=K
: IJ=...=JK=0
:
: то есть базис в котором алгебра представляется прямой суммой
:
: R+R+R.
:
Это, вроде бы, подтверждает мои, приведенные выше, предположения. |
» Альтернативный форум