Несколько замечаний о "фибоначчиевых феноменах" и золотом сечении (ЗС)
Собственно золотое сечение полностью характеризуется и с избытком следующими фактами.
1. это асимптотика отношения двух соседних членов рекуррентной последовательности
x(n)=x(n-1)+x(n-2)
с любыми (за исключением одного исключительного случая) начальными условиями.
2. Это корень уравнения
x2=x+1
3. Это число "хуже всего" из алгебраических чисел приближается рациональными.
Квадратное уравнение п.2 является характеристическим уравнением соотношения п.1
Соотношения в пп.1-2 связаны дискретным преобразованием Лапласа.
п.3. является следствием из теории цепных дробей (т.е., более общо, из теории диофаннтовых приближений).
К определению цепной дроби для корня уравнения п.2.:
Из
x2=x+1
следует
x =1 + 1/x =1+1/(1+1/x)=1+1/(1+1/(1+1/x))=... (*)
бесконечная многоэтажная так называемая "цепная" или "непрерывная дробь.
Все три свойства 1-3 по отдельности полностью характеризуют ЗС. Иной чисто математической специфики, выделяющей ЗС из остальных чисел, нет.
Поэтому, когда кто-то сообщает о "природных" феноменах характеристиками которых является "случайно/эмпирически" возникшее ЗС,
то моя реакция однозначна:"Не верю"
Не верю ровно до тех пор, пока в этом "природном процессе/явлении" не будет обнаружено либо
а) бесконечный рекуррентный процесс п.1. (пресловутые кролики Фибоначчи) наблюдаемый автором теории достаточно долго, чтобы можно было с приемлемой точностью судить об асимптотике;
либо
б) мотивированно возникшее квадратное уравнение п.2;
либо
в) некий оптмизационный ("самооптимизирующийся", "природный") процесс, связанный с естественным определением наихудшего приближаемого или наилучшей сортировки без насилия со стороны автора теории..
Все остальное, не интерпретируемое в этих терминах - нумерология на совести(?) автора, как правило.
Есть еще один шанс на оправдание таких нумерологических феноменов, но насколько мне известно, никто ничего подобного не делал.
Если цепную дробь (*) cлегка подправить, вот так
x =2 + 1/x =1+1/(2+1/x)=1+1/(2+1/(2+1/x))=... (**)
или вообще с произвольным натуральным _а_
x =а + 1/x =a+1/(а+1/x)=a+1/(а+1/(а+1/x))=...
то мы придем к числам - корням квадратных уравнений
x2=2x+1
x2=3x+1
...
x2=аx+1 (***)
и к соответствующим связанным с ними рекуррентным соотношениям
x(n)=а * x(n-1)+x(n-2) (****)
Корни уравнений (***) называются "серебряными сечениями"
Упоминание об этом и сам термин без ссылок на первоисточник я встречал в монографии Шредера.
Библиографичекий поиск ничего не дал.
Я ДОПУСКАЮ, что система серебрянных сечений в некоторых задачах может выступать в роли некого базиса, по которому раскладывается решение, причем
компонента, соответствующая золотому сечению ("первая гармоника") является доминирующей
Для кроликов "высшие гармоники" - это вроде бы рождение двоен, троен и тп.
Но тогда в случае задач, о которых я говорил выше выделенным шрифтом, я готов согласиться с естественностью возникновения золотого сечения даже без обоснования наличия скрытых а)-в)
Но при условии мотивированного обоснования существования скрытого серебрянного базиса и доминирования гармоники соответствующей именно ЗС,
то есть "серебрянному, но при а=1" :))
Еще пару слов в заключение.
Убеждать меня в мотивированности СВОИХ выводов меня не надо. Еще раз пропагандировать свои работы со сссылками на дискуссии на каких-то форумах тоже не надо.
Извините, но читать не буду. Дискуссии тоже не будет
Я не для этого писал текст выше. .
Если то, что написал, как-то кому-то поможет - буду рад. |
» Альтернативный форум