Принцип Маха утверждает, что любое абсолютное движение ненаблюдаемо (а не только равномерное, как в обычной механике). Из этого принципа следует, что физические тела не обладают "собственной" инерцией, а их наблюдаемая инерция обусловлена взаимодействием со всеми остальными телами во Вселенной. Ниже предлагается простая формальная схема вывода обычных уравнений механики из принципа Маха. Это, по всей видимости, велосипед, но зато собственной конструкции :)
Формально принцип Маха можно сформулировать так: Уравнения движения должны быть инвариантны относительно любых преобразований координат, сохраняющих относительные положения всех тел (т.е., расстояния между телами). Такими преобразованиями являются переносы и вращения. "Любые преобразования" - значит, что скорость переноса и угловая скорость вращения могут как угодно зависеть от времени. Т.е., допускаемые преобразования имеют вид
`bbr -> bbr' = bbR(t)*bbr + bbr_0(t)`, (1)
где `bbR(t)` - произвольно зависящая от времени матрица, описывающая поворот, `bbr_0(t)` - произвольная функция времени.
Будем исходить из обычного принципа наименьшего действия. Считаем взаимодействия парными. Лагранжиан для пары частиц должен быть инвариантным относительно преобразований (1), отсюда следует, что он может зависеть только от расстояния между частицами `r_{12} = |bbr_1 - bbr_2|` и скорости изменения этого расстояния `v_{12} = dr_{12}/dt`:
`L_{12} = L(r_{12}, v_{12})`. (2)
[подчеркну, что `v_{12}` не является модулем относительной скорости частиц `|d bbr_1/dt - d bbr_2/dt|`]
В "Маховском" подходе мы обязаны учитывать взаимодействие данного тела со всеми остальными телами во Вселенной - именно это взаимодействие, по предположению, и создает инерцию, т.е. должно давать собственный эффективный Лагранжиан `mv^2/2`. Т.е., нам надо посчитать
`L_0 = sum_i L(r_{0i}, v_{0i})`, (3)
где суммирование по `i` идет по всем телам во Вселенной (исключая, естественно, наше 0-ое тело). В принципе, возможны различные типы взаимодействия [электромагнитное, гравитационное] между телами, и степень "участия" тела в том или ином взаимодействии описывается различными "зарядами" [электрическим зарядом, массой (гравитационной)]. Для простоты рассмотрим только один тип взаимодействия. Тогда для Лагранжиана можно записать
`L_{12} = q_1q_2 L'(r_{12}, v_{12})`, (4)
где `q_{1,2}` - заряды тел, а функция `L'` уже не зависит от того, какие тела взаимодействуют (специфика взаимодействующих тел полностью описывается их зарядами). В силу принципа суперпозиции заряд - величина аддитивная.
Для "собственного" Лагранжиана `L_0` получаем:
`L_0 = q_0 sum_i q_i L'(r_{0i}, v_{0i})`. (5)
Будем считать, что относительные скорости частиц намного меньше некоторой характерной скорости `c` [весь подход - нерелятивистский, так что это правильное предположение]. Тогда функцию `L'` можно разложить в ряд Тейлора:
`L_0 = q_0 sum_i q_i (A(r_{0i}) + B(r_{0i})v_{0i}/c + C(r_{0i})v_{0i}^2/c^2)`. (6)
При суммировании по `i` первый член даст вклад типа `q_0 A'(bbr_0)`. Функция `A'(bbr_0)` меняется на космологических расстояниях, поэтому в масштабах Солнечной системы (где и проверяются законы движения) ее вполне можно считать константой, а потому и не учитывать. Второй член в (6) даст член такого же вида плюс `q_0 bbB'(bbr_0)*bbv_0`, где `bbB'(bbr_0)` - векторная функция, тоже меняющаяся на космологических расстояниях. Считаем ее константой, тогда `q_0 bbB'(bbr_0)*bbv_0` - полная производная по времени, и в Лагранжиане ее тоже можно отбросить. В (6) остается только последний член:
`L_0 = q_0 sum_i q_i C(r_{0i})v_{0i}^2/c^2`. (7)
Этот член, в общем случае, дает Лагранжиан вида
`L_0 = 1/2 bbv*bbm*bbv`, (8)
где `bbm` - тензорная масса:
`bbm = (2q_0/c^2) sum_i q_i C(r_i)bbr_i bbr_i/r_i^2`. (9)
В случае изотропной (относительно рассматриваемого тела) Вселенной [ну, это типа как экспериментальный факт] масса превращается в обычную, скалярную
`m = (2q_0/3c^2) sum_i q_i C(r_i)`. (10)
Таким образом, из принципа Маха действительно следует [при весьма разумных предположениях] наличие инерции и можно вывести обычные уравнения движения [во всяком случае, в нерелятивистском пределе].
Еще несколько замечаний:
1) Как следует из (10), вклад в инерционную массу `m` дают только те виды взаимодействия, заряды `q_i` которых при суммировании не обнуляются. Попросту говоря - те взаимодействия, для которых бывают заряды только одного знака [т.е., гравитационное взаимодействие].
2) Из (10) следует, что инерционная масса `m = const * q_0`, где `const` одинаковое для всех тел. Т.е., инерционная масса просто пропорциональна заряду [гравитационного] взааимодействия. Доказали принцип эквивалентности.
3) Без доказательства (будет интерес, потом приведу): Константа гравитационного взаимодействия (которая в законе Ньютона `Gm_1m_2/r^2`) в данном подходе не может быть произвольной; она равна [с точностью до множителя ~1] `G = c^2 R/M`, где `R` - радиус Вселенной, а `M` - ее масса (инерционная, т.е. обычная). Это соотношение можно записать и по другому: плотность Вселенной равна `rho = c^2/(GR^2)`. Т.е. как раз то, что надо.
Пока все. |
» Альтернативный форум