В качестве помощи (надеюсь, не только моральной) для Timе в его нелегкой борьбе с кубической метрикой («Трехмерные расстояния в пространстве с кубической метрикой.» (Time)). Насколько я понимаю, кубическая форма `ds^3 = dx^2dx^3dx^4 + dx^1dx^3dx^4 + dx^1dx^2dx^4 + dx^1dx^2dx^3` предложена Михалычем исходя из чисто алгебраических соображений. Я тут вроде бы придумал способ рассуждений, при которых кубическая форма (не конкретно такая, а просто кубическая - главное, что не обычная квадратичная) получается более-менее естественным путем.
Одним из главных понятий обычной "квадратичной" геометрии есть расстояние `L(x, y)` между двумя точками пространства `x` и `y`. Вроде бы как всю геометрию можно построить, базируясь лишь на одной этой скалярной функции двух аргументов. Попробуем посмотреть, что будет, если вместо расстояния использовать в качестве базового понятия "площадь" `S(x, y, z)` между тремя точками. От "площади" естественно потребовать выполнения двух свойств:
1. Площадь симметрична относительно всех перестановок точек:
`S(x, y, z) = S(x, z, y) = S(y, x, z) = S(y, z, x) = S(z, x, y) = S(z, y, x)`.
2. Площадь равна нулю, если хотя бы две точки совпадают:
`S(x, x, y) = S(x, y, x) = S(y, x, x) = 0`.
Теперь попробуем посмотреть, как может выглядеть "дифференциал" площади для трех бесконечно близких точек, т.е. при `x = a + dx`, `y = a + dy`, `z = a + dz` [Понятно, что точки и их дифференциалы - это вектора, `a = {a^i}`, `dx = {dx^i}`; для простоты векторные индексы я не пишу, но имею их в виду]. Разлагая `S(a + dx, a + dy, a + dz)` в ряд Тейлора с точностью до `O[d^3]`, получаем:
(3) `S approx S(a, a, a) + ((dS)/(dx) dx + (dS)/(dy) dy + (dS)/(dz) dz) + 1/2((d^2S)/(dx^2) dx dx + (d^2S)/(dy^2) dy dy + (d^2S)/(dz^2) dz dz) + ((d^2S)/(dxdy) dx dy + (d^2S)/(dxdz) dx dz + (d^2S)/(dydz) dy dz)`.
Все производные берутся в точке `x = y = z = a`.
Теперь воспользуемся общими свойствами площади (1) и (2). В силу (2) `S(a, a, a) = 0`. Дифференцируя (2) также получаем
`(dS)/(dx) = (dS)/(dy) = (dS)/(dz) = 0`,
и (продифференцировав (2) два раза)
`(d^2S)/(dx^2) = (d^2S)/(dy^2) = (d^2S)/(dz^2) = 0`.
Таким образом, в (3) остается лишь последний член
(4) `S approx (d^2S)/(dxdy) dx dy + (d^2S)/(dxdz) dx dz + (d^2S)/(dydz) dy dz`.
Далее, учитывая симметрию (1),
`(d^2S)/(dxdy) = (d^2S)/(dxdz) = (d^2S)/(dydz) equiv G`.
`G` - это, вообще говоря, матрица, выписывая явно векторные индексы `G_{ij} = (d^2S)/(dx^idy^j)`. Эта матрица симметрична (следует из (1)), `G^T = G`. Теперь мы можем записать (4) в виде:
(5) `S approx dx.G.dy + dx.G.dz + dy.G.dz`.
Точки обозначают свертки по векторному индексу.
Теперь пусть `dy = dx`. В силу (2) `S(a + dx, a + dx, a + dz) = 0`, и, из (5), должно быть
`dx.G.dx + dx.G.dz + dz.G.dx equiv 0`
для любых `dx` и `dz`. Так как `G` - симметричная матрица, то отсюда следует `G = 0`, и поэтому
`S(a + dx, a + dy, a + dz) ~ d^3`.
Итак, мы доказали, что дифференциал "площади" для бесконечно близких точек является (как минимум) кубической функцией дифференциалов координат, т.е. совершенно естественным образом пришли к "кубической" метрике.
Если же выполнить аналогичные рассуждения для обычного расстояния `L(x, y)`, то получится обычная квадратичная метрика.
Можно еще посмотреть на кубический член в разложении `S` - это, думаю, позволит определить ряд ограничений на возможный вид метрической функции. |
» Альтернативный форум