: Рассмотрим систему урчп относительно `g_{ij}`
:
: При `jne l` `frac{partial g_{ij}}{partial x^l}=-2Gamma^k_{ij}g_{kl}+frac{partial g_{lj}}{partial x^i}+frac{partial g_{il}}{partial x^j}` и при j=l
: `frac{partial g_{ll}}{partial x^i}=2Gamma^k_{il}g_{kl}`
:
: я специально написал ее в "разрешенном" виде.
Не понял, почему не использовать:
`g_(ij,k) = - Gamma_(ik)^s*g_(sj) - Gamma_(jk)^s*g_(is)`?
В Вашей записи производные от метрики выражаются через производные же, что наверняка неудобно.
: Терерь будем искать решение этой системы локально в окрестности точки скажем `x=0`
: в виде формального ряда Тейлора
: `g_{ij}(x)=sum_rg_{ijr}x^r`
: подставляя этот ряд в наши урчп мы получим рекуррентную сисему (бесконечную ) на
: коэффиуиенты ряда Тейлора условие разрешимости этой сисемы (их бесконечно много этих условий но они явно выписываются в терминах производных символов Кристоффеля в точке `x=0`) и есть то что мы искали. Доказательство того, что построенный ряд
: имеет ненулевой поликруг сходимости аналогично доказательчтву теоремы Коши-Ковалевской.
Не понял, что дает разложение по Тейлору. Хорошо, допустим:
`dg_(ij) = g_(ij,k)*dx^k`
Подстановка выражения для `g_(ij,k)` даст:
`dg_(ij) = - (Gamma_(ik)^s*g_(sj) + Gamma_(jk)^s*g_(is))*dx^k`
И что это дает?
: да вот еще что чтобы это действительно была метрика нужно взять `g_{ij0}` -- положительно определенной симметричной формой. Остальные коэфиценты тоже должны быть симметричными по `i` и `j`. Это все будут условия на производные символов Кристоффеля.
:
: Для аналитического случая эти условия будут очевидно необходимыми и достаточными.
|
» Общий форум