Странный вопрос, не правда ли? В евклидовом пространстве это просто одно и то же. А вот как быть в обобщенной геометрии? Поясню, как и почему возник подобный вопрос и почему я вынес его на обсуждение форума. На обсуждение форума я вынес этот вопрос потому, что его можно решить по-разному, поскольку он имеет социальную составляющую, зависящую от состояния наших теперешних знаний и мнения различных людей (физиков, математиков и просто неспециалистов).
Третьего июля 2007 года я делал доклад на международной конференции, посвященной физической интерпретации теории относительности. Конференция проходила в Москве, в Бауманском техническом университете. Мой доклад назывался 'Не-евклидов метод построения обобщенных геометрий и перспективы дальнейшей геометризации физики' http://arXiv.org/abs/0704.3003. На официальное обсуждение доклада времени не хватило, а в перерыве ко мне подошел мой коллега (математик) и высказал возражение против моего определения вектора, который я определял как упорядоченное множество из двух точек. Нужно сказать, что мой коллега давно был знаком с моими работами и одобрял их. По этой причине его возражение было особо весомо.
Он сказал примерно следующее: 'Во всех учебниках вектор определяется как элемент линейного векторного пространства. Над векторами можно производить линейные операции. Вектор можно умножать на число. Можно складывать два вектора. Как Вы будете умножать пару точек на число? Нельзя называть пару точек вектором. Вас никто не поймет! Если бы я не знал Ваших прежних работ, я бы ничего не понял'. Кроме того, он возражал против употребления мной термина 'эквивалентность' для операции, которая не обладала свойством транзитивности.
Относительно того, что никто не поймет, он был не совсем прав, потому что некоторые все же поняли, о чем идет речь, хотя и не знали моих прежних работ.
Здесь нужно сделать некоторые пояснения. В работе предлагалось строить любую обобщенную геометрию как деформацию евклидовой геометрии. Для этого все понятия и объекты евклидовой геометрии выражались через мировую функцию евклидовой геометрии (половину квадрата евклидовой метрики). Такое представление евклидовой геометрии возможно, и на этот счет имеется теорема. После этого в представлении всех объектов и понятий евклидовой геометрии через мировую функцию производилась замена. Евклидова мировая функция заменялась мировой функцией обобщенной геометрии. В результате получались все понятия и объекты обобщенной геометрии, и обобщенная геометрия оказывалась построенной. Таким образом, любая обобщенная геометрия получалась как деформация евклидовой геометрии, потому что замена мировой функции (метрики) евклидовой геометрии другой мировой функцией (метрикой) представляет собой деформацию евклидовой геометрии. Поскольку речь шла о построении обобщенной геометрии, в которой, вообще говоря, не было никакого линейного пространства, а были только точки и расстояния между этими точками, то все понятия обобщенной геометрии выражались, в конечном счете, через точки и расстояния. С другой стороны в евклидовой геометрии определение вектора как упорядоченного множества из пары точек совпадало с определением вектора как элемента векторного пространства, которое можно ввести для евклидовой геометрии, но, вообще говоря, нельзя ввести для произвольной обобщенной геометрии. Таким образом, в евклидовой геометрии оба определения совпадали, а в не-евклидовой геометрии одно из определений не работало, поскольку никакого векторного пространства просто не было.
С моей точки зрения нужно использовать более фундаментальное определение вектора, которое работает всегда, но тогда нужно будет 'переписывать учебники', в которых использовалось более специальное определение вектора, пригодное только для евклидовой геометрии. А 'переписывать учебники', ох как не хотелось!
Мой оппонент предлагал оставить привычное определение вектора, т.е. такое, каким оно дано в учебниках, а для нового определения вектора (как пары точек) использовать новый термин, например, 'обобщенный вектор'. В этом случае, следуя логике моего оппонента нужно ко всем понятиям обобщенной геометрии, получаемым из понятий евклидовой геометрии, добавлять определение 'обобщенный'. Например, скалярному произведению в евклидовом пространстве соответствует 'обобщенное скалярное произведение' в обобщенной геометрии.
К стати сказать, замечание о неправильном употреблении мною термина 'скалярное произведение' в обобщенной геометрии я слышал от математиков и раньше. Они говорили: 'Ну, какое же это скалярное произведение, если оно не удовлетворяет известным свойствам скалярного произведения! Нужно использовать другой термин'. Иногда я даже следовал их советам и в общем случае снабжал термин 'скалярное произведение', каким-нибудь определением, позволяющим не отождествлять это скалярное произведение со скалярным произведением в векторном евклидовом пространстве. Однако, возражения против определения вектора как упорядоченного множества из двух точек, мне слышать не доводилось.
В создавшейся ситуации есть три выхода:
(1) Выход, предложенный моим коллегой, использовать термин 'вектор' для элемента векторного пространства и термин 'обобщенный вектор' - для упорядоченного множества из двух точек. Тогда для частного случая используется короткий термин 'вектор', а для общего случая более длинный - 'обобщенный вектор', что не очень удачно, потому что более правильно в общем случае использовать более короткий термин.
(2) Предлагается использовать термин 'евклидов вектор' для элемента векторного пространства и термин 'вектор' - для упорядоченного множества из двух точек. Это соответствует общепринятому правилу, когда для общего случая используется короткий термин 'вектор', а в специальных случаях, когда это необходимо, добавляется определение к этому термину. В частном случае евклидова пространства - это 'евклидов вектор'. Однако, в этом случае, если мы хотим единообразия, то придется 'переписывать учебники', заменяя при изложении теории линейного пространства термин 'вектор' термином 'евклидов вектор', что, конечно же, не хочется делать без особой необходимости.
(3) Возможен третий выход, состоящий в том, чтобы не требовать единообразия терминологии в разных областях науки и игнорировать все дебаты по этому поводу. Например, гидромеханики называют вектором любой список величин, содержащий более одной величины. Если список величин состоит из одной величины, то его называют скаляром. Понятно, что такая терминология появилась в результате ассоциации с координатным представлением векторов. Однако, гидромеханики используют термин вектор и в его обычном значении (элемент векторного пространства), и я не стал бы учить гидромехаников употреблению термина 'вектор' только в том смысле, в каком этот термин используется у математиков. Другая наука - другая терминология!
В принципе при построении обобщенной геометрии можно пойти по любому из трех путей. Это не будет ошибкой, если все это делать последовательно, потому что какие термины вводить, какие нет - это в значительной степени вопрос, определяемый общественным мнением и целесообразностью. Мне хотелось бы услышать мнение участников форума по этому поводу. Возможно, что есть какие-то другие варианты.
Моя точка зрения по этому вопросу такая. В обобщенной геометрии (Т-геометрии) есть только точки и расстояния между ними. Все объекты и понятия геометрии выражаются, в конечном счете, через точки и расстояния. Использование евклидовой геометрии для выражения понятий геометрии через расстояния, является преходящим обстоятельством. Другими словами, при рождении Т-геометрии евклидова геометрия играет роль повивальной бабки, и не более того. По этой причине все определения Т-геометрии с одной стороны должны быть как можно ближе к привычным понятиям геометрии, а с другой - формулироваться в терминах точек и расстояний. Когда пространственно-временная геометрия будет рассматриваться в рамках Т-геометрии (а не в рамках римановой геометрии, как сейчас), желательно, чтобы наши представления о геометрии, оставаясь адекватными, минимально отличались от наших теперешних представлений. |
» Общий форум