: Сигма-пространство -это множество точек, на котором задана мировая функция.
: 0. Условие симметрии мировой функция относительно перестановки аргументов (его можно включить в определение сигма-пространства)
: 1. Определение размерности через мировую функцию с помощью определителя Грама . (Одновременно определяется некоторый базис из n векторов и координаты любого вектора в этом базисе. Они определяются через скалярные произведения базисных векторов с этим вектором. Кроме того, определяется метрический тензор в этом базисе как матрица скалярных произведений базисных векторов)
: 2. Линейные свойства евклидова пространства. (Квадратичное выражение для мировой функции через через координаты концов векторов. Все выражается в терминах мировой функции)
: 3. Положительность собственных значений матрицы метрического тензора.
: 4. Условие непрерывности (определяется как существование одного и только одного решения системы уравнений, определяющей координаты вектора)
: Все четыре условия евклидовости содержат ссылку на размерность пространства.
Очевидно, что аффинное пространство с метрикой, представляющей собой положительно определенную квадратичную форму, является евклидовым.
: Из этой теоремы следует, что любое понятие евклидовой геометрии может быть выражено через мировую функцию. Как только это сделано это понятие может быть представлено в любой Т-геометрии с помощью деформации евклидовой геометрии (замены евклидовой мировой функции на мировую функцию той геометрии, которая нам интересна).
Хороший контр-пример: понятие параллельного переноса. В евклидовой геометрии Вы можете определить результат параллельного переноса вектора AB в точку C, а в общем случае произвольной метрики - нет.
: Разумеется, что число эквивалентных векторов никак не задается определением эквивалентности. Возможны геометрии, где, вообще, нет эквивалентных векторов. (Такая геометрия! Что здесь неприемлемого?) В евклидовой геометрии мы привыкли, что в каждой точке всегда есть эквивалентный вектор и притом только один. Это специфическое свойство евклидовой геометрии. Мы привыкли считать, что это свойство является свойством любой геометрии, и выражаем озабоченность, если это не так. Но никаких несуразностей здесь нет, и от этого стереотипа придется отвыкать.
Никаких стереотипов здесь нет. Есть понимание того факта, что в евклидовой геометрии есть вывод о существовании и единственности вектора, эквивалентного данному и с началом в данной точке, а в общем случае такого вывода нет.
: Если Ваше недоумение на следующем посте по поводу отсутствия эквивалентных векторов не является стереотипом прежнего мышления, то, что это такое?
Это вопрос.
: А никаких новых определений я не давал. Все определения - это нормальные определения евклидовой геометрии, может быть за тем исключением, что теоремы евклидовой геометрии превращаются в определения Т-геометрии. Например, теорема Пифагора превращается в определение прямого угла, а теорема косинусов превращается в определение скалярного произведения.
Не вижу ни капли смысла в утверждении, что теоремы якобы "превращаются" в определения. Вы даете некие определения, они либо соответствуют неким понятиям евклидовой геометрии, либо нет. Определение скалярного произведения определяет соответствующее понятие и в евклидовой геометрии. А вот определения операции "параллельный перенос вектора в точку" в Вашей геометрии нет. |
» Общий форум