: Обобщения евклидовой геометрии бывают разные. Один сорт обобщений состоит в том, что часть аксиом евклидовой геометрии отбрасывается. Тогда получается обобщенная геометрия, содержащая меньше аксиом, чем евклидова (множество аксиом обобщенной геометрии является подмножеством аксиом евклидовой геометрии) В этом случае действительно из непротиворечивости евклидовой геометрии следует непротиворечивость обобщенной геометрии. Примером такой непротиворечивой обобщенной геометрии является аффинная геометрия, которая получается из евклидовой геометрии отбрасыванием аксиом, относящихся к определению скалярного произведения.
: Риманова геометрия тоже является обобщением евклидовой геометрии. Однако, это обобщение совсем другого сорта. Риманова геометрия - это не одна геометрия. Это - МНОГО 'бесконечно малых кусочков' евклидовой геометрии, склеенных между собой некоторым образом. (Точнее было бы сказать, что риманово пространство является результатом склейки многих бесконечно малых евклидовых пространств.) Характер склейки определяет вид римановой геометрии. Возможна такая склейка, что из многих 'бесконечно малых кусочков' евклидовой геометрии получается одна 'БОЛЬШАЯ' евклидова геометрия. В этом смысле можно говорить, что евклидова геометрия является частным случаем римановой геометрии. Тогда можно сказать, что риманова геометрия является обобщением евклидовой геометрии. Однако, это обобщение не является результатом отбрасывания каких-то аксиом из евклидовой геометрии, как это было в случае аффинной геометрии. Аксиомы евклидовой геометрии остаются и продолжают работать на каждом бесконечно малом кусочке риманова пространства.
Как вы относитесь к другому взгляду:
Риманова геометрия - это не одна геометрия. Это - МНОГО геометрий на различных многообразиях, параметризованных некоторой единой функцией (полем метрического тензора), которая позволяет все эти геометрии перебрать. Возможна в частности такая функция, что получается евклидова геометрия. В этом смысле можно говорить, что евклидова геометрия является частным случаем римановой геометрии. Тогда можно сказать, что риманова геометрия является обобщением евклидовой геометрии. Аксиомы евклидовой геометрии можно перевести в эквивалентный вид "аксиомы римановой геометрии & (параметризующая функция = функции для евклидовой геометрии)" (*). В этом случае риманова геометрия как обобщение евклидовой геометрии БУДЕТ являться результатом отбрасывания каких-то аксиом евклидовой геометрии - конкретно аксиомы "параметризующая функция = функции для евклидовой геометрии". И при этом аксиомы евклидовой геометрии (в виде (*)) будут продолжать работать на ВСЕМ римановом пространстве - все, за исключением одной отброшенной аксиомы.
?
: Конструкция, называемая многообразием, по идее, должна описываться некоторой системой дополнительных аксиом. Однако, у меня нет уверенности, что это описание можно, вообще, описать аксиомами. Насколько я знаю, этого никто не сделал.
Почему-то при чтении, например, математической энциклопедии по статьям "Топологическое пространство", "Метрическое пространство" такого впечатления не складывается.
===================================================
: Но как использовать евклидову геометрию для построения римановой геометрии? Очень просто! Если считать, что геометрия является наукой о взаимном расположении геометрических объектов в пространстве или в пространстве-времени, то это самое взаимное расположение полностью описывается заданием расстояния между любыми двумя точками пространства. Эта функция, заданная на множестве пар точек, называется функцией расстояния S, и задание функции расстояния однозначно определяет геометрию. Любое утверждение P_Е евклидовой геометрии может быть выражено в терминах евклидовой функции расстояния S_Е (есть такая теорема евклидовой геометрии). Если теперь в утверждении P_Е евклидовой геометрии заменить евклидову функцию расстояния S_Е некоторой другой функцией расстояния S, то получится утверждение P другой геометрии, описываемой функцией расстояния S. Если эту процедуру проделать для всех утверждений евклидовой геометрии, то получатся все утверждения геометрии, описываемой функцией расстояния S, т.е. будет построена геометрия, описываемая функцией расстояния S.
Скажите, а какие требования вы накладываете на эту процедуру и эти функции? Как насчет непрерывности? Дифференцируемости?
: Итак, всякая геометрия может быть получена из евклидовой геометрии заменой евклидовой функции расстояния на функцию расстояния, описывающую, интересующую нас геометрию. Замена одной функции расстояния на другую, по определению, означает деформацию геометрии. Это определение термина 'деформация' полностью соответствует тому значению, с каким этот термин употребляется в физике и технике применительно к твердым телам.
Будьте любезны, продемонстрируйте эту процедуру для, скажем, получения из евклидовой геометрии внутренней геометрии на поверхности тора. |
» Общий форум