: http://lib.mexmat.ru/forum/viewtopic.php?t=13912
:
: Имеется чашка, форма которой задана гладкой функцией z=f(x,y)≥0 с выпуклым вниз графиком. (x,y,z) -- декартова система координат. Сила тяжести направлена вдоль оси z и противоположна ей. Глубина чашки h.
: На край чашки ставят шарик (материальную точку) массы m и отпускают без начальной скорости, так чтобы этот шарик соскальзнул внутрь чашки, сил трения нет. Доказать, что на краю чашки имеется точка, при движении из которой, шарик снова поднимится на высоту h, т.е. достигнет края чашки. Никаких симметрий чашки не предполагается.
Фазовое пространство шарика есть односвязная ограниченная область в 4-мерном пространстве (каждой точке (x,y) соответствует импульс, не выходящий за пределы ограничений по энергии), более того, с гладкой границей (кроме, возможно, экватора z=0 - сразу не скажу). При запуске из начальных условий шарик движется по границе этой области.
Во-первых, мне кажется, можно доказать, что он всегда остается на границе области, и никогда не заходит внутрь. Чтобы фазовый поток засосал шарик с границы внутрь, этот фазовый поток в точке засасывания должен быть негладким, что противоречит гладкости в условиях задачи.
После этого можно рассмотреть путешествие шарика по границе области, где эта граница устроена как сфера S3. В этой сфере S3 есть окружность S1, отвечающая начальным условиям. Точки, начинающие движение на этой S1, заметают далее при своем движении некую трубу. По упомянутой тут теореме Пуанкаре о возвращении эта труба проходит снова в окрестностях начальной S1. Причем возвращения трубы образуют счетное множество, а на S1 континуум точек, поэтому будут существовать возвращения, достаточно близкие не одной точкой к исходной S1, а целым участком. Далее, в окрестности S1 площадь трубы примерно константа. Отсюда получаем, что рано или поздно труба пересечет сама себя в окрестности S1, а следовательно, и в самой S1, а это как раз отвечает условиям задачи: точка вернулась на край координатной области с нулевым импульсом.
КАк-то так, мне кажется.
отредактировано 07.05.2008 01:36 |
» Общий форум