А.А. Волчков. Вывод положений и собственных движений звезд программы «Карта Неба»

Версия для печати

Целью предлагаемой работы являлось исследование ошибок телескопов, участвовавших в наблюдениях по международной программе «Карта Неба». Наряду с ошибками телескопов, получен каталог координат 4.6 млн. звезд в опорной системе PPM, для 95% которых определены и собственные движения (Астрографический Каталог, АК). Полученный каталог пригоден для прикладных работ: отождествление звезд, целеуказание при астрономических наблюдениях и в иных приложениях, где достаточно точности координат +0.3 секунды дуги и погрешности собственных движений около +0.005 секунды дуги в год.

В работе были использованы следующие наблюдения.

Обсерватория Сокращение Градусы склонения, 1900 Число положений, тыс. Гринвич Grn 65 – 90 184 Ватикан Vat 55 – 64 481 Катанья Cat 47 – 54 320 Хельсинки Hls 40 – 46 285 Хайдарабад NHy 36 – 39 242 Юкль Ucl 34 – 35 159 Оксфорд Oxf 25 – 33 632 Париж Par 18 – 24 436 Бордо Brd 11 – 17 357 Тулуза Tls 5 – 11 451 Алжир Alg -2 – 4 330 Сан-Фернандо Snf -9 – -3 346 Такубайя Tcb -16 – -10 479 Хайдарабад SHy -23 – -17 522 Кордоба Crd -31 – -24 468 Перт Prt -40 – -32 611 Кап Cap -51 – -41 900 Сидней Syd -64 – -52 786 Мельбурн Mlb -90 – -65 393

Идея метода определения систематических ошибок.

Для определения ошибок телескопов был использован тот факт, что около двух третей звезд АК имеют повторные наблюдения на разных пластинках. Анализируя смещения положений одной и той же звезды на разных пластинках можно определить ошибки телескопов. К сожалению, программа наблюдений АК была выполнена не мгновенно, а продолжалась в течение заметного интервала времени, что порождает проблему учета собственных движений звезд АК. Как будет показано далее, собственные движения звезд АК заключены в основном в пределах от 0 до 0.03 секунды дуги в год. При интервале времени между моментами получения пластинок в несколько лет относительные смещения звезд на различных пластинках достигнут десятых долей секунды дуги, что составляет заметную величину от погрешностей координат звезд. Игнорировать такую погрешность было бы опасно.

С целью устранения этого было решено определять ошибки телескопов совместно с выводом собственных движений, используя в качестве второй эпохи более поздние, чем АК, наблюдения. Такой подход позволил использовать для определения погрешностей телескопов все наблюдения АК, независимо от величин собственных движений и интервалов времени наблюдения пластинок. В этом варианте обработки ошибки телескопов определялись по остаточным уклонениям наблюденных положений звезд относительно положений, предписываемых выведенными координатами и собственными движениями этих же звезд.

Для этого выводились координаты и собственные движения звезд АК и на основе этих данных вычислялись положения звезд на моменты наблюдений. Затем находились разности наблюденных и вычисленных координат по прямому восхождению и по склонению. При этом, естественно, использовались лишь звезды АК, имевшие не менее двух наблюдений. В силу принятого порядка распределения пластинок АК на небе, когда центр пластинки в соседней по склонению зоне попадает в угол рассматриваемой пластинки, звезды, при повторных наблюдениях, находились в разных участках поля зрения и, следовательно, положения их искажены ошибками, присущими разным частям поля зрения телескопа. Это и позволило определить ошибки телескопов, представив величины полученных невязок как результат воздействия ошибок объективов в виде некоторых функций от измеренных координат звезд.

Было бы заманчиво непосредственно по невязкам определить поле ошибок телескопа без привлечения каких бы то ни было дополнительных условий о законе изменения ошибок по полю зрения. Однако выполнить это не представляется возможным, так как наблюдатели работали аккуратно, тщательно соблюдая предписанные центры пластинок, в результате чего из массива невязок не удается выделить ошибки отдельных участков поля зрения.

Степень отклонения центров пластинок от номиналов была исследована следующим способом. В процессе астрометрической редукции пластинок АК для каждой пластинки после получения редукционной модели были вычислены экваториальные координаты центра измерительной сетки. Затем для каждой градусной зоны находились средние по прямому восхождению и по склонению значения уклонений центров от номинала и дисперсии этих уклонений.

Средние по всему небу значения дисперсий оказались одинаковыми по обеим осям и равными +0.8 минуты дуги. Наибольшее значение дисперсии +2.6 дуговой минуты по прямому восхождению оказалось в зоне -8 градусов, обсерватория Сан-Фернандо. Максимальное значение среднего смещения центра 2.6 минуты по склонению было в наблюдения Хайдарабада, южная зона.

Все это свидетельствует о достаточно тщательном соблюдении всеми наблюдателями номинальных центров пластинок. Однако именно это и не дает возможности определить поле ошибок непосредственно, не привлекая модели искажений, так как при повторных наблюдениях звезд каждый участок поля зрения одной пластинки связывается лишь с одним и тем же участком поля зрения на других пластинках и вычленить величины ошибок каждого участка отдельно не представляется возможным.

Рассчитывать на то, что помогут звезды с большим, чем два числом наблюдений не приходится. В зонах, не далее 30њ от экватора тройные перекрытия могли встречаться лишь для участков поля, находившихся в нескольких минутах от краев пластинок, следовательно, их привлечение не позволит связать центральные и краевые участки поля зрения. Эти зоны охватывают около половины всех наблюдений АК. Для зон, расположенных далее 30њ от экватора при изменении интервала между центрами внутри зоны возможно непосредственное определение поля ошибок, если использовать наблюдения двух градусных зон, между которыми произошло такое изменение, но такой подход применим лишь для небольшой доли наблюдений звезд АК, так как изменение шага приращения прямых восхождений центров внутри зоны наблюдения обсерватории происходило редко.

Для определения ошибок телескопов пришлось задаваться моделью искажений поля зрения и представлять остаточные уклонения в виде набора функций от измеренных на пластинках координат. Затем способом наименьших квадратов определялись величины, характеризующие искажения поля каждого телескопа в рамках принятой модели.

В модель, описывающую ошибки телескопов, были включены следующие факторы: ошибки оптического центра по каждой из координат, дисторсия, асимметрическая дисторсия и поправки масштаба по каждой оси координат отдельно.

При задании модели искажений было решено отказаться от определения единого набора коэффициентов для всего диапазона звездных величин совместно с коэффициентами, учитывающими ошибку блеска.

Ошибка блеска учитывалась следующим образом. Весь диапазон звездных величин разбивался на интервалы по 0.5 величины. Затем для каждого интервала определялся набор коэффициентов, описывающих ошибки телескопа. После этого значения каждого коэффициента аппроксимировались полиномом по аргументу звездная величина.

Сделано это было по следующим соображениям. Все параметры искажения поля зрения определяются по фотографическим изображениям звезд, имеющим конечные размеры, причем размеры изображений достигают секунд дуги и изменяются при удалении от центра пластинки. В цепочке же получения измеренных координат звезд присутствуют два существенно нелинейных элемента - фотоэмульсия и глаз измерителя, каждый из которых может вносить свои ошибки, неодинаковые для звезд разных звездных величин. Именно поэтому требование неизменности поправки, например, оптического центра, для всего диапазона звездных величин на пластинке не всегда может быть удовлетворено, так как под оптическим центром, определяемым по звездным изображениям, подразумевается точка на пластинке, относительно которой, после учета дисторсии, справедлив закон увеличения линейного расстояния изображения пропорционально тангенсу углового расстояния, а указанные нелинейные эффекты могут по-разному влиять на координаты звезд различного блеска. Остальные параметры объектива также могут изменяться при вариациях звездной величины. По этой причине весь набор параметров, характеризующих искажения измеренных координат, определялся для возможно более узкого диапазона звездных величин, а затем каждый из параметров аппроксимировался полиномом по степеням блеска.

Необходимо пояснить смысл поправки за асимметрическую дисторсию которая была включена в модель искажений. В работе [А.А. Киселев, - Теоретические основания фотографической астрометрии. М.: Наука 1989.] указано, что возникает эта ошибка в результате децентрировки линз телескопа и приводятся формулы для радиальной и тангенциальной составляющих этой ошибки в зависимости от расстояния до оптического центра и позиционного угла:

Dr = D * r*r * Cos ( Р - Р0 ),
Dt = D * r*r * Sin ( Р - Р0 ).

В этих выражениях Dr и Dt - радиальная и тангенциальная составляющая ошибки, r - расстояние от оптического центра, Р - позиционный угол направления на точку. Величины D и Р0 определяются экспериментально. Влияние этой ошибки очень схоже с погрешностями, возникающими в результате смещения оптического центра, и между двумя этими видами ошибок существует тесная корреляционная связь. Поэтому разделить их влияние в процессе определении коэффициентов по искажениям измеренных координат при величине случайных ошибок, присущих АК, невозможно и необходимо было всегда вносить эти поправки совместно.

Чтобы оценить наличие асимметрической дисторсии в наблюдениях АК, были проведены определения ошибок телескопов без включения этой ошибки в модель и при включении ее в вычисления. Затем были сравнены ошибки одного наблюдения, полученные по остаточным уклонениям способа наименьших квадратов. Результаты представлены в таблице 2.

Таблица 2
Изменение ошибки одного наблюдения в 0.01" для различных звездных величин при удалении асимметрической дисторсии из модели ошибок телескопов.

Obs 8.5 9.0 9.5 10.0 10.5 11.0 11.5 12.0 12.5 Ср. Grn 1.4 2.6 2.7 1.7 1.3 2.2 1.8 1.6 1.8 1.9 Vat 3.1 2.8 1.7 1.5 1.7 0.9 0.9 -1.2 1.2 1.4 Cat 7.1 5.0 4.0 3.5 3.8 3.5 4.3 4.1 2.5 4.2 Hls 1.7 1.7 2.6 2.1 1.4 0.9 1.3 -0.6 2.3 1.5 Nhy 2.1 2.0 1.5 1.2 -0.7 1.6 1.0 0.0 1.5 1.2 Ucl -1.4 1.1 4.4 -0.7 2.5 2.8 3.4 4.2 4.3 2.3 Oxf 1.6 2.2 3.2 2.2 3.4 2.7 2.5 2.3 3.1 2.6 Рar 0.8 1.8 -0.6 -1.0 1.6 0.9 1.2 1.3 2.6 0.9 Brd 0.6 -0.6 0.0 0.0 1.2 1.4 1.7 1.8 1.9 0.9 Tls 2.4 2.2 -0.8 1.0 2.4 1.6 1.7 2.6 2.7 1.8 Alg 3.6 1.7 1.0 0.8 -0.5 0.0 0.6 0.0 0.0 0.8 Snf -2.3 1.9 0.9 1.1 1.8 1.9 2.0 2.7 1.1 1.2 Tcb 1.1 0.0 2.0 1.4 1.6 0.9 0.6 0.0 0.7 0.9 Shy 1.0 1.8 3.1 2.7 3.7 2.5 3.6 3.7 2.1 2.7 Crd 2.9 1.2 2.4 2.9 2.1 1.2 0.7 1.0 0.0 1.6 Рrt -1.7 -1.2 1.0 1.0 1.2 1.4 2.0 2.0 1.6 0.8 Caр 2.7 2.3 3.5 3.4 2.7 1.7 2.4 1.4 1.4 2.4 Syd 1.9 1.4 1.6 1.4 0.0 1.9 1.2 1.9 2.8 1.6 Mlb 2.3 2.7 2.3 1.0 0.0 0.0 1.7 1.5 2.0 1.5

Из этой таблицы видно, что удаление асимметрической дисторсии из модели ошибок приводит к увеличению средней квадратической ошибки одного наблюдения для всех обсерваторий. При этом на краях поля зрения величины систематических ошибок могут достигать нескольких сотых секунды дуги, так как поправка за асимметрическую дисторсию пропорциональна квадрату расстояния от оптического центра. Пренебрегать такими величинами не стоило.

Для реализации выбранного метода нахождения систематических ошибок телескопов необходимо было привлечь наблюдения звезд АК в более позднюю эпоху. В настоящее время единственно пригодным для этого массивом наблюдательных данных является каталог гидировочных звезд Космического телескопа им. Хаббла (Guide Star Catalog). Этот каталог содержит координаты и звездные величины около 98 % звезд АК, причем получен он примерно через 75 лет после средней эпохи наблюдений АК. В силу того, что в качестве опорной координатной системы для редукции пластинок АК в настоящей работе был использован каталог PPM, необходимо было перевести и координаты звезд Guide Star Catalog (GSC) на систему PPM.

Редукция координат звезд GSC.

Для редукции каталога GSC на систему PPM звезды GSC были 'разбиты' на пластинки, для чего использовались номера звезд, в которых содержатся номера пластинок.

Далее, используя сведения о центрах пластинок и экваториальные координаты звезд, для каждой звезды на пластинке были вычислены идеальные координаты. Фокусное расстояние принималось равным 3037 мм. Аналогичным способом, для тех же значений центров пластинок вычислялись идеальные координаты звезд опорного каталога.

Далее производилась редукция положений GSC на опорный каталог с использованием линейной модели с 6 постоянными.

По всем пластинкам были найдены остаточные уклонения звезд. Картины ошибок поля каталога GSC для северного и южного телескопов приведены на рис. 1 и 2. На этих рисунках вектор ошибки, равный по длине шагу координатной сетки, соответствует 0.3 сек. дуги. Видно, что ошибки координат звезд GSC достаточно велики.

Для исключения этих ошибок была построена модель, описывающая ошибки поля в виде алгебраических полиномов 17 порядка по аргументам прямоугольных координат с началом в центре поля (рис. 3 и 4).

После учета ошибок поля, ср. кв. ошибка одного положения звезд GSC снизилась с +0.56" до +0.136" на севере и +0.152" на юге. Систематические ошибки поля практически исчезли (рис. 5 и 6).

Заключая рассмотрение вопроса о редукции положений звезд GSC на систему PPM вполне правомерно сделать вывод о том, что редуцированные положения каталога GSC по точности вполне конкурентоспособны с положениями из других массовых каталогов, полученных без применения внеатмосферной технологии.

Астрометрическая редукция пластинок АК на систему PPM.

Для того, чтобы в процессе редукции пластинок АК на систему PPM не искажать нелинейными членами исходную картину ошибок телескопов, первоначальная редукция была проведена по линейной модели с шестью постоянными. При редукции не использовались звезды PPM, которые не рекомендованы авторами PPM для точных астрометрических работ. Полученные в результате редукции случайные ошибки одного наблюдения представлены на рисунке 7, пунктирная кривая. Сплошной толстой кривой на этом же рисунке показаны ср. кв. ош. после введения всех найденных поправок.

Результаты, приведенные на рис. 7 показывают, что ошибки положений в АК существенно различны для разных обсерваторий. Связано это как с различием методик измерения положений звезд, так и с наличием систематических ошибок телескопов и ошибок положений звезд опорной системы PPM. Отметим сразу, что аномально высокие значения ошибок для Сиднейской (-52њ е -64њ) и Ватиканской (+55њ е +64њ) зон связаны в большой мере с достаточно неточными значениями координат, приведенными в томах. Единица измерения в этих зонах равна 5 мм, а в томах приведены значения координат лишь до третьего десятичного знака, что составляет 0.3".

Фотометрическая редукция измерений АК.

Для выявления ошибок блеска необходимо было иметь данные о звездных величинах звезд АК в единой фотометрической системе. Для приведения фотометрических данных пластинок АК в единую систему были использованы звездные величины каталога GSC. Данные о блеске звезд АК получены из измерений фотографических пластинок. В тех случаях, когда в томах приведены значения измеренных диаметров можно считать, что при достаточно аккуратной редукции будут получены фотографические звездные величины. Однако большая часть измерений была редуцирована в звездные величины, причем редукционные полиномы не всегда были опубликованы. Поэтому не ясно, в какой фотометрической системе выражены эти звездные величины. Сравнивать же фотометрические характеристики звезд на разных пластинках возможно лишь в том случае, когда все фотометрические данные, включая и звездные величины из томов АК, будут сведены к одной и той же системе. Редукция измерений блеска АК на систему GSC создает единую для всех пластинок но нестандартную фотометрическую систему, поэтому полученные звездные величины пригодны лишь для исследования зависимости ошибок телескопов от блеска, но вовсе не для фотометрических работ.

При фотометрической редукции была использована следующая редукционная модель:
m = A + B * MАc + C * MАc * MАc + D * r + E * r * r,

где m - редуцированная звездная величина,
MАс - измеренный диаметр или звездная величина из тома,
r - расстояние звезды от центра пластинки.

Параметры А .. Е определялись для каждой пластинки АК с использованием звездных величин GSC. Поправки за ошибку поля были введены для учета изменение размеров звезд АК при удалении от центра пластинки.

Средние по обсерваториям ошибки одного наблюдения при учете ошибки поля получились следующими.

D m GRN 0.435 VAT 0.466 CAT 0.471 0.476 HLS 0.461 NHY 0.433 UCL 0.480 OXF 0.482 РAR 0.467 BRD 0.485 TLS 0.474 ALG 0.389 SNF 0.433 TCB 0.407 SHY 0.317 CRD 0.448 РRT 0.345 0.394 CAР 0.452 SYD 0.429 0.397 MLB 0.372 Средние 0.423 0.437

Сравнительно большая величина ошибки одного наблюдения при редукции вызвана случайными ошибками звездных величин в GSC и ошибками, обусловленными невозможностью учета спектральных особенностей в излучении звезд, так как эти данные для подавляющего большинства звезд АК неизвестны. Данные же самого АК имеют более высокую внутреннюю точность оценок блеска. Получено это было следующим способом. После нахождения для каждой пластинки редукционных фотометрических формул были вычислены звездные величины всех звезд АК, затем для звезд, имевших повторные наблюдения, значения эти были усреднены. Усредненные значения звездных величин АК были использованы как опорные при фотометрической редукции пластинок и получены ошибки одного наблюдения. Результаты вычислений приведены в таблице 5.

Таблица 5

D m GRN 0.147 VAT 0.186 CAT 0.129 0.139 HLS 0.107 NHY 0.140 UCL 0.181 OXF 0.181 РAR 0.138 BRD 0.188 TLS 0.153 ALG 0.161 SNF 0.105 TCB 0.173 SHY 0.148 CRD 0.199 РRT 0.154 0.168 CAР 0.167 SYD 0.175 0.156 MLB 0.175 Ср. 0.165 0.150

Вычисленные этим способом значения ошибок одного наблюдения для опубликованных в томах диаметров и звездных величин характеризуют разброс редуцированных звездных величин на разных пластинках относительно средних значений. Иначе говоря, это характеристика повторяемости оценок звездных величин одной и той же звезды на разных пластинках. Само же среднее значение для каждой звезды содержит в себе ошибку, связанную с невозможностью учета при редукции на систему GSC особенностей распределения энергии в спектре, а эту ошибку до появления спектральных характеристик звезд АК учесть не представляется возможным.

При обработке пластинок АК не для всех наблюдений удавалось использовать фотометрическую редукцию на систему GSC. Причины тому были различные. Оценки блеска некоторых звезд в томах приводились в иных системах, чем для большинства звезд на пластинке, поэтому фотометрическая редукция, при сравнительно небольшом числе таких звезд, была затруднена. Иногда фотометрические характеристики приведены с большой неуверенностью или вообще отсутствовали. В таких случаях приходилось использовать данные о блеске звезды непосредственно из каталога GSC. При объединении отдельных наблюдений одной и той же звезды АК предпочтение отдавалось редуцированным на систему GSC значениям звездных величин. Если для звезды не было ни одного редуцированного на GSC значения блеска, приходилось использовать значение звездной величины из каталога GSC.

Для звезд АК, у которых редуцированные или выбранные из GSC значения звездных величин не превышали 7.0, звездные величины выбирались из каталога PPM, а при отсутствии отождествления с PPM звездная величина выбиралась из GSC. Кроме того, для всех звезд АК, отождествленных с PPM, звездная величина которых не превышала значения 7.0 по данным PPM, величина в АК заменялась на значение из каталога PPM.

Сделано это было потому, что ни редукционная модель, примененная для редукции оценок блеска АК, ни значения звездных величин ярких звезд в каталоге GSC не давали, зачастую, достаточно приличных оценок блеска ярких звезд, а значения звездных величин ярких звезд необходимы при различных работах с каталогом АК.

В итоге для всего массива наблюдений АК был составлен файл звездных величин, содержащий либо редуцированные на GSC значения звездных величин, либо значения, выбранные из каталогов GSC или PPM.

Не удалось снабдить звездными величинами 31452 положений, входящих в 26671 звезд АК. Все эти звезды расположены в зоне "CAР" и все они не имеют определений собственных движений, так как не находится отождествлений их со звездами из каталога GSC. Всем таким звездам в выходном каталоге присвоено значение звездной величины 16.1.

Оценки точности фотометрических данных звезд АК позволяют заключить, что случайная погрешность одного определения звездной величины может колебаться в пределах от 0.15 до 0.44 звездной величины. При определении ошибок телескопов используются наблюдения сотен звезд, поэтому позиционные погрешности, вызванные фотометрическими ошибками, значительно усреднятся.

Тем не менее, следует иметь в виду, что получившиеся в результате работы параметры, характеризующие ошибки полей телескопов, применимы лишь с системой звездных величин, выведенной по описанной методике. При иной методике фотометрической редукции требуется пересчет параметров телескопов, так как зависимости параметров от звездных величин могут измениться.

Вывод координат и собственных движений звезд АК.

При выводе координат и собственных движений звезд АК использовалось разбиение неба на участки 2*2њ. В каждом поле проводились следующие вычисления.

Для тех пластинок, звезды с которых попадают в поле, вычислялись экваториальные координаты всех звезд с использованием постоянных, редуцирующих положения АК на систему PPM для равноденствия J2000. Затем находились идеальные координаты всех звезд, попавших в поле, с использованием в качестве фокусного расстояния значения 3437 мм. и центра поля в качестве оптического центра. В итоге получались идеальные координаты всех звезд АК, попадающих в рассматриваемое поле, на равноденствие J2000 и на эпоху каждого наблюдения.

Для этого же поля вычислялись редуцированные на систему PPM идеальные координаты звезд GSC. Эти положения получались тоже на равноденствие J2000 и на индивидуальную эпоху наблюдений каждой звезды GSC. Для небольшого числа звезд GSC, имевших более одного наблюдения, производилось усреднение координат и эпох наблюдений, причем использовались данные о принадлежности положений одной и той же звезде, приведенные в GSC составителями этого каталога.

В каждом поле вычислялись еще и идеальные координаты звезд каталога PPM. Эти данные использовались во-первых при отождествлении звезд АК со звездами из GSC, и, во-вторых, для сравнения выводимых собственных движений с данными, приводимыми в каталоге PPM, что позволяло контролировать качество привязки координат АК и GSC к системе PPM. Использование данных PPM в процессе отождествления позволяло правильно отождествить звезды, имевшие большие величины собственных движений, а также разобраться в компонентах кратных систем, когда в GSC были приведены отдельные значения для компонент этих систем.

Отождествление звезд АС и GSC.

Отождествление звезд при наличии положений лишь для двух эпох является не совсем надежным, так как возможны ложные отождествления в тесных группах звезд, а также и для звезд, обладающих значительными собственными движениями. При наличии третьей эпохи проблема отождествления для подавляющего большинства звезд может быть решена вполне однозначно, как, например, это происходит для звезд, содержащихся в каталоге PPM. Однако это имеет место лишь для 5 % всех наблюдений АК. Для остальных звезд при отождествлении было принято условие, при котором звезда должна иметь минимально возможное собственное движение. Иначе говоря, отождествление проводилось по принципу минимального расстояния между отождествленными положениями. Проблема отождествления звезд с большими собственными движениями в рамках настоящей работы не решалась. В качестве верхнего предела определяемых собственных движений было выбрано значение 0.2"/год, так как звезды со значениями собственных движений больше этой величины содержатся в каталоге Лейтена и могут быть впоследствии отождествлены с участием этого каталога. Отождествление звезд АК и GSC проводилось совместно с объединением наблюдений, принадлежащих одной и той же звезде АК. Этот процесс состоял из нескольких этапов.

1. Отыскание для каждого наблюдения АК ближайшей звезды из GSC.
При этом максимальный радиус отождествления R задавался равным 20".

2. Отождествление звезд PPM с положениями AK и GSC.
На этом этапе производилось также отождествление положений звезд АК и звезд GSC со звездами PPM. Для этого производился пересчет прямоугольных координат звезд PPM на эпоху наблюдений АК по формулам
XEрАК = XPPM + Р.M.XPPM * ( Эпоха АК - 2000 ),
YEрАК = YPPM + Р.M.YPPM * ( Эпоха АК - 2000 ),

где
XPPM, YPPM - идеальные координаты PPM на эпоху J2000,
Р.M.XPPM, Р.M.YPPM - собственные движения PPM по осям координат,
XEрАК, YEрАК - идеальные координаты PPM на эпоху АК.

В случае, когда в радиусе 3" от вычисленного положения звезды PPM находилось положение звезды АК, такое положение АК считалось отождествленным со звездой PPM. Аналогично находились отождествления звезд PPM со звездами GSC с той лишь разницей, что отождествленными считались звезды, имевшие разность блеска не более 4.0, а учет собственных движений PPM проводился на эпоху наблюдения звезды GSC.

Если после этого группа звезд АК и звезда GSC отождествлялись с одной и той же звездой PPM, такие положения АК считались принадлежащими одной и той же физической звезде и отождествленными с указанными звездами PPM и GSC. Дальнейших отождествлений и разбиений на группы для таких положений не производилось.

3. Перевод всех положений АК на стандартную эпоху.

Этот этап необходим перед объединением нескольких наблюдений одной звезды АК при наличии заметных собственных движений. В наблюдениях АК бывали случаи, когда отдельные положения разделены интервалом времени в несколько лет. Следовательно, при выбранном в работе значении максимального определяемого собственного движения, относительные смещения положений одной звезды, могли достигать секунд дуги, что затрудняет их объединение, особенно при наличии вблизи объединяемых положений наблюдений, относящихся к другой звезде АК. Для всех зон в качестве стандартной эпохи Ep0 было принято значение 1920. Это соответствует примерно середине периода наблюдений программы АК, так как первые наблюдения выполнены в 1892 году, а последние в 1950 году. Выбор значения стандартной эпохи вблизи середины периода наблюдений АК был обусловлен желанием уменьшить влияние ошибок собственных движений на процедуру отыскания всех наблюдений одной и той же звезды на разных пластинках. Перевод прямоугольных координат на Ep0 осуществлялся по формулам
XEp0 = ( XАК - XGSC ) / ( Эпоха АК - Эпоха GSC ) * ( Ep0 - Эпоха АК ),
YEp0 = ( YАК - YGSC ) / ( Эпоха АК - Эпоха GSC ) * ( Ep0 - Эпоха АК ).

4. Объединение нескольких наблюдений звезды АК.
При решении вопроса о принадлежности наблюдений одной и той же звезде было принято, что расстояние между отдельными положениями одной звезды не должно превышать 3", что примерно равно среднему диаметру изображений звезд на фотопластинках. В пределах этих размеров наблюдения с различных пластинок считались принадлежавшими одной физической звезде.

5. Вычисление положений и собственных движений звезд АК.
На этом этапе использовались положения звезд из АК и из GSC на эпохи наблюдения, причем для каждой звезды вычисления проводились с использованием данных о разбиениях наблюдений АК на группы, полученные на предыдущем этапе или же на этапе отождествления с PPM. Положение и собственное движение звезды АК по каждой из координат находилось способом наименьших квадратов из решения уравнений вида
Xi = X2000 + Р.M.X2000 * ( Eрi - 2000 ),
Yi = Y2000 + Р.M.Y2000 * ( Eрi - 2000 ),

где Xi , Yi , Eрi - координаты и эпоха наблюдения звезды АК или GSC, относящиеся к наблюдениям одной звезды,
X2000 , Y2000 - координаты на эпоху и равноденствие J2000,
Р.M.x2000,
Р.M.h2000 - собственные движения по осям координат на момент J2000.

Такие вычисления проводились лишь для звезд, не входящих в кратные системы, причем кратными считались системы, когда с одной и той же звездой GSC отождествлялось более одной звезды АК. В этом случае вычислять собственные движения не имело смысла, так как либо одна из компонент АК была неверно отождествлена со звездой из GSC, либо это действительно кратная система, но в GSC фотографические изображения компонент слились. Для компонент кратной системы в каталоге АК выдавались лишь усредненные положения на среднюю эпоху.

6. Вычисление невязок индивидуальных наблюдений АК.
В процессе вычисления положений и собственных движений для каждой звезды, имевшей не менее двух наблюдений в АК, находились остаточные уклонения каждого наблюдения по каждой из осей координат. Совместно с измеренными координатами эти невязки составляли массив данных для определения ошибок телескопов.

Определение ошибок телескопов.

В качестве окончательной модели редукции пластинок АК была выбрана модель с 8 постоянными с добавлением поправок за дисторсию и асимметрическую дисторсию, а также поправок за ошибки определения масштабов по каждой из осей:
X = С1 + A1*x + B1*y + D*x*x + E*x*y + DXd + DXM,
Y = С2 + A2*x + B2*y + D*x*y + E*y*y + DYd + DYM,

где X, Y - идеальные координаты,
x, y - измеренные координаты,
DXd, DYd - поправки за дисторсии,
DXM, DYM - поправки за ошибки масштабов по осям.

Поправки в масштабы по осям были необходимы, так как при первоначальной редукции с 6 постоянными определялись масштабы по осям, единые для всего диапазона звездных величин на пластинке.

Выражения, описывающие радиальную и тангенциальную составляющие поправок за дисторсии следующие:
Dr = K1 * r*r*r + K * r*r * Cos ( Р - Р0 ) ,
Dt = K * r*r * Sin ( Р - Р0 ) .

В этих выражениях члены, содержащие коэффициент K, описывают асимметрическую дисторсию, учитывающую децентрировку линз телескопов. Спроектировав поправки на оси прямоугольной системы координат, получим выражения для учета асимметрической дисторсии DXd и DYd в измеренных координатах:
DXd = Dist * x*x*x + 2D1 * x * y - D2 * ( x*x - y*y ),
DYd = Dist * y*y*y - 2D2 * x * y - D1 * ( x*x - y*y ),

где Dist, D1, D2 - коэффициенты, подлежащие определению.

Поправки за величины масштабов по осям координат имели следующий вид.
DXM = KMX * x,
DYM = KMY * y.

В этих выражениях подлежат определению величины KMX и KMY.

Несмотря на то, что навязки относятся к идеальной системе координат, а поправки поля выражены относительно системы измерительной сетки, при выводе этих поправок для телескопов программы АК можно было использовать идеальную систему вместо системы измерительной сетки, так как средние повороты и дисперсии этих поворотов для всех обсерваторий невелики (Табл. 7).

Таблица 7
Угол между идеальной и измерительной системами координат в минутах дуги

Обс. Средний поворот Дисперсия MLB 1.6 24.7 SYD 0.8 6.4 CAР 0.1 5.2 РRT 0.1 4.1 CRD 0.8 4.6 SHY 2.5 4.1 TCB 1.7 4.6 SNF -0.4 3.7 ALG 1.5 4.4 TLS -0.2 3.3 BRD 0.5 4.2 РAR 0.3 4.7 OXF -1.3 4.8 UCL 0.7 2.3 NHY 1.6 3.9 HLS -0.1 5.3 CAT 1.2 5.9 VAT -1.2 6.6 GRN 5.8 28.8

Для близполюсных зон пришлось ограничиться склонениями, по абсолютной величине меньшими 80 , так как около полюса резко возрастала дисперсия угла поворота, что видно из предыдущей таблицы. При переходе от системы координат, связанной с измерительной сеткой, к идеальной системе координат, повернутой относительно измерительной системы на угол A, относительные изменения величин систематических поправок телескопов равны 1 - Cos ( A ), что при A = 5' составит 0.000001. Учитывая тот факт, что относительная погрешность определения величин, характеризующих ошибки телескопов, в лучшем случае равны единицам процентов, становится несущественным, в какой из рассмотренных систем прямоугольных координат определены невязки.

Как уже указывалось, первоначальная редукция пластинок АК была проведена с использованием лишь линейной модели из 6 постоянных. Естественно, после получения величин поправок к линейной модели необходимо заново редуцировать пластинки АК с учетом найденных ошибок телескопов, причем процесс этот необходимо повторять до тех пор, пока изменения поправок за ошибки телескопов не станут пренебрежимо малыми, то есть процесс определения редукционных постоянных пластинок АК и ошибок телескопов итерационный.

Система уравнений для определения ошибок телескопов.

Для звезды АК, имевшей N наблюдений, вычислено столько же значений невязок по каждой из координат. Имея в виду, что невязки являются уклонениями относительно средних значений, искаженных средними по всем наблюдениям звезды ошибками телескопа, можно записать 2N уравнений вида
VX = D * ( x*x - ( е x*x ) / N ) + E * ( x*y - ( е ( x*y ) ) / N ) + Dist * ( x*x*x - ( е x*x*x ) / N ) + 2D1 * ( x*y - ( е ( x*y ) ) / N ) - D2 * ( ( x*x - y*y ) - ( е ( x*x - y*y ) ) / N ) + KMX * ( x - ( е x ) / N ),
VY = D * ( x*y - ( е x*y ) / N ) + E * ( y*y - ( е y*y ) / N ) + Dist * ( y*y*y - ( е y*y*y ) / N ) - 2D2 * ( x*y - ( е ( x*y ) ) / N ) - D1 * ( ( x*x - y*y ) - ( е ( x*x - y*y ) ) / N ) + KMY * ( y - ( е y ) / N ),

где VX и VY - значения невязок по осям координат,
x, x – измеренные координаты,
е – знак суммирования по всем наблюдениям рассматриваемой звезды.

Системы уравнений по каждому телескопу решались раздельно, следовательно, при составлении уравнений можно было использовать лишь те звезды, в наблюдениях которых участвовал только рассматриваемый в текущий момент телескоп. Обусловлено это наличием в уравнениях средних для каждой звезды значений поправок телескопа. Это ограничение можно было бы устранить, если решать систему уравнений, содержащую ошибки всех телескопов сразу. Тогда возможно использовать и уравнения, относящиеся к наблюдениям положений звезды на разных обсерваториях. Чисто технические причины, заключавшиеся в необходимости иметь дисковую память объемом в несколько гигабайт, не позволили выполнить решение задачи в таком виде, в результате чего число наблюдений, использованных для анализа ошибок телескопов, оказалось процентов на 10-15 меньше, чем это было бы возможно. Значительно ухудшить результаты вычислений это не могло, так как относительные ошибки вычисленных коэффициентов, как правило, не превышают 10 %, поэтому сравнительно небольшое уменьшение числа уравнений не могло существенно изменить результаты.

Как упоминалось ранее, для учета ошибок блеска весь диапазон наблюдавшихся звездных величин разбивался на интервалы, шириной 0.5 величины и для каждого интервала находились значения параметров, характеризующих ошибки телескопов. Средние значения блеска в интервалах были 8.0, 8.5,...,12.5.

Решение систем уравнений выполнялось методом наименьших квадратов с использованием программы, любезно предоставленной К.В. Куимовым. Однако эту программу пришлось доработать, чтобы появилась возможность решать системы уравнений, далеко выходящие за рамки оперативной памяти ЭВМ.

Найденные значения коэффициентов были аппроксимированы полиномами по аргументу звездная величина. При этом значения весов назначались обратно пропорциональными ошибкам коэффициентов. Степень аппроксимирующих полиномов для всех обсерваторий была выбрана 5, за исключением UCL, где малое количество наблюдений вынудило ограничиться 3 степенью. В приложении 1 для всех телескопов представлены графики аппроксимирующих полиномов.

После получения полиномов, для всех обсерваторий заново производилась редукция пластинок АК с учетом полученных поправок за ошибки телескопов и новые вычисления ошибок телескопов. Всего было проведено 3 приближения, пока коэффициенты аппроксимирующих полиномов практически перестали изменяться.

На этом процедуру определения систематических ошибок телескопов можно было считать оконченной. Каждому телескопу были получены полиномы, аппроксимирующие поправки в измеренные координаты для учета влияния ошибок оптического центра, дисторсии, децентрировки линз телескопа и поправок за масштабы по осям координат.

Выравнивание случайных ошибок опорной системы.

После определения вариаций ошибок телескопов с изменением блеска наблюдаемых звезд появилась возможность произвести сглаживание ошибок координат, вызванных случайными ошибками звезд каталога PPM. На пластинку АК, имеющую размер 2*2њ, попадает в среднем 32 звезды из каталога PPM, причем звезды эти расположены в интервале блеска, где ошибки телескопов определяются с относительно более высокими ошибками, чем для основной массы звезд АК. Поэтому привязка координат на пластинках АК к опорной системе неизбежно будет проведена с некоторыми случайными ошибками. Однако возможно уменьшить эти случайные ошибки, если использовать факт перекрытия пластинок АК. В выходном каталоге для координат звезд, имеющих более одного наблюдения, случайные ошибки опорной системы частично уменьшены, так как при их выводе использованы наблюдения по крайней мере двух пластинок, привязанных к разным наборам опорных звезд. Поэтому возможно уменьшить ошибки нуль-пункта и ориентировки пластинки, если заново произвести редукцию пластинок АК, используя в качестве опорных звезды каталога АК, имеющие не менее двух наблюдений, а таковых в каталоге АК присутствует 64 %. При редукции пластинок на каталог АК в измеренные координаты предварительно вводились поправки за ошибки телескопов. После этого производилась линейная редукция с 6 постоянными. С использованием этих постоянных заново вычислялись положения и собственные движения звезд АК. Эта процедура была произведена 3 раза, пока не перестала уменьшаться дисперсия, вычисленная по сходимости координат звезд АК на разных пластинках. Дисперсии, полученные в конечном результате, показаны на рис. 7, жирная кривая.

Из рассмотрения рисунка 8, на котором представлено изменение ошибок наблюдений в процессе обработки, видно, что при учете ошибок телескопов и при сглаживании случайных ошибок опорной системы произошло уменьшение ошибки одного наблюдения АК, причем для различных обсерваторий влияние этих двух процессов различно. Заметно влияние ошибок телескопов в зонах Рrt, Shy, Snf, Oxf, Ucl, Nhy, Hls и Cat. Следует отметить высокое качество четырех французских телескопов: Alg, Brd, Tls и Рar, где ошибки телескопов малы и влияние их на ошибку одного наблюдения практически незаметны. Сглаживание случайных ошибок улучшило результаты наблюдений всех обсерваторий за исключением Mlb. Причины такого результата обработки Мельбурнской зоны выяснить пока не удалось.

Средняя по всему каталогу ошибка одного наблюдения получилась +0.27". Если учесть, что 64 % звезд АК имеет два и более наблюдений, получим что для таких звезд средняя ошибка положения на эпоху не более +0.19", что равно средней ошибке положений звезд редуцированного на систему PPM каталога GSC. Для средней разности эпох АК и GSC, равной 75 лет, получаем, что погрешность годичных собственных движений двух третей звезд каталога АК составляет в среднем +0.004". Для звезд, имеющих лишь одно наблюдение в АК, эта величина равна +0.0045". Учитывая, что система собственных движений опорного каталога PPM также имеет некоторые ошибки, можно ожидать, что средняя ошибка полученных собственных движений равна примерно +0.005".

Подтверждение этих оценок получено в последнее время в отделе звездной астрономии ГАИШ при сравнении собственных движений каталога АК с абсолютными собственными движениями в скоплениях. Оценка погрешности годичных собственных движений каталога АК получилась равной +0.0047".

Контроль результатов.

Контроль полученной системы собственных движений осуществлен с помощью собственных движений опорного каталога. В процессе вычисления координат и собственных движений АК производилось сравнение получаемых собственных движений с собственными движениями из каталога PPM. При этом для каждой двухградусной площадки находились средние разности собственных движений по каждой из координат. Эти величины характеризуют сходимость полученной системы собственных движений с опорной системой. Средняя ошибка одной разности собственных движений оказалась равной +0.0051.

Для наблюдений в зонах Ucl и Nhy эта погрешность в два раза больше, так как наблюдения в этих зонах выполнялись в период с 1928 по 1950 годы, в результате чего разность эпох для этих зон в два раза меньше, чем для остальных.

Следует попутно отметить, что принятый в работе способ определения собственных движений дает абсолютные собственные движения, так как положения звезд обеих эпох были привязаны к системе каталога PPM.

Имеется еще одно качественное подтверждение того, что введение поправок за ошибки телескопов и выравнивание случайных ошибок опорной системы приводит к уменьшению ошибок определения собственных движений звезд АК. В таблице 8 приведены распределения модулей векторов собственных движений. В третьей колонке приведен процент звезд, попадающих в указанные интервалы собственных движений для варианта каталога с введением поправок. Последняя колонка указывает изменения доли звезд по сравнению с каталогом, вычисленным без введения поправок.

Таблица 8

Изменение распределения собственных движений звезд АК при учете ошибок телескопов и сглаживании случайных ошибок опорной системы.

Интервал собств. движ. ?/год Доля звезд в интервале Изменение доли звезд в интервале 0.000 - 0.002 1.32 % + 0.05 % 0.002 - 0.004 5.04 % + 0.21 % 0.004 - 0.006 7.96 % + 0.27 % 0.006 - 0.008 8.87 % + 0.21 % 0.008 - 0.010 9.73 % + 0.21 % 0.010 - 0.012 9.08 % + 0.17 % 0.012 - 0.014 9.05 % + 0.04 % 0.014 - 0.016 7.31 % - 0.04 % 0.016 - 0.018 6.38 % - 0.06 % 0.018 - 0.020 5.40 % - 0.09 % 0.020 - 0.022 4.51 % - 0.14 % 0.022 - 0.024 3.52 % - 0.12 % 0.024 - 0.026 3.11 % - 0.12 % 0.026 - 0.028 2.53 % - 0.08 % 0.028 - 0.030 2.06 % - 0.10 % 0.030 - 0.032 1.79 % - 0.09 % 0.032 - 0.034 1.45 % - 0.06 % 0.034 - 0.036 1.25 % - 0.05 % 0.036 - 0.038 1.05 % - 0.06 % 0.038 - 0.040 0.94 % - 0.04 % 0.040 - 0.042 0.78 % - 0.02 %

Видно, что в процессе улучшения координат звезд АК произошло относительное увеличение доли звезд, имеющих малые собственные движения. Максимальный рост доли звезд приходится на звезды с собственными движениями около 0.004 - 0.006 секунды в год. Истинная зависимость числа звезд АК от величины собственных движений неизвестна, как неизвестно и первоначальное распределение ошибок собственных движений. Поэтому на основании приведенных данных можно лишь констатировать, что максимум кривой распределения собственных движений сместился в сторону уменьшения ошибок, то есть оба улучшения каталога АК привели к уменьшению ошибок собственных движений.

Для собственных движений были построены еще и графики зависимости величины собственного движения от блеска. На рисунке 9 показаны эти зависимости отдельно для северного и для южного неба. Сразу же обращает на себя внимание систематическое смещение одной кривой относительно другой, что объясняется различными фотометрическими системами каталога GSC на севере и на юге. Однако вызывает некоторое недоумение возрастание среднего собственного движения в районе m=12.5.

Одной из причин возрастания средних собственных движений в области слабых звезд может быть ошибка блеска каталога GSC. При редукции положение GSC было отмечено наличие ошибок блеска, но надежно учесть эту ошибку не удается из-за малого числа слабых опорных звезд.

Чтобы проверить, присуще ли обнаруженное явление всем обсерваториям, зависимости средних собственных движений от звездной величины были построены для отдельных зон неба, примерно соответствующих зонам наблюдения отдельных обсерваторий (приложение 2). Оказалось, что у большинства обсерваторий этот эффект отчетливо выявляется.

При использовании собственных движений каталога АК для звездно-астрономических исследований можно рекомендовать пока ограничиться величиной блеска не слабее 12.0 так как неясно, связан ли обнаруженный эффект с физическими причинами или же это последствия погрешностей измерения или обработки.

Аномально высокий подъем кривой зависимости величины собственных движений от звездной величины после m=12.0 для наблюдений в зоне Cat заставляет подозревать, что причина обнаруженного эффекта заключена в ошибках измерений диаметров звезд. В этой зоне после основной измерительной кампании были проведены дополнительные измерения слабых звезд, причем зачастую для многих звезд величины измеренных диаметров были одинаковыми. Возможно, при этом яркие звезды смещались в область более слабых звезд, что и вызвало искажение кривой в области слабых звезд, то есть погрешности процедуры измерения размеров звезд могут являться причиной обнаруженного эффекта.

Возможно также, что слабые звезды измерялись с более высокими погрешностями, что также могло вызвать обнаруженный эффект.

Каталог АК.

Выходной каталог АК имеет следующий формат.
...
00 37 45.925  03 57 09.69 11.6  2 10.384 83.660  0.002 -0.007
00 37 50.626  02 23 40.02 10.2  2   9.358 83.275 -0.006  0.008 Р 143697 -0.003 -0.003
00 37 51.432  03 00 29.29 10.8  2   9.897                                *Р 143698
00 37 51.735  03 00 33.90 11.6  2   9.896                                *Р 143699
00 37 53.571  03 47 40.86 12.3  2 10.384 83.660  0.013 -0.006
00 37 54.911  03 41 34.15 11.3  2 10.384 83.660  0.025 -0.013
00 37 58.704  02 08 18.83 11.8  2   9.358 83.275 -0.002 -0.011 Р 143704 -0.041 -0.028
00 38 00.516  02 45 48.94   8.6  2   9.896 83.275  0.006 -0.010 Р 143705  0.003 -0.002
00 38 00.645  02 00 46.42 12.3  2   9.358 83.275  0.012 -0.001
00 38 00.937  02 34 13.71   9.2  3 95.542 83.275 -0.038 -0.022 р 143707 -0.004 -0.003
...

Каждой звезде АК соответствует одна строка, содержащая следующую информацию.

1. Прямое восхождение на эпоху и равноденствие J2000.
2. Склонение на эпоху и равноденствие J2000.
3. Звездная величина.
4. Число наблюдений.
5. Средняя эпоха наблюдений АК:
10.384 соответствует эпохе 1910.384,
95.542 соответствует эпохе 1895.542.
6. Эпоха наблюдения звезды GSC - 1900.
7. Собственные движения по прямому восхождению и по склонению в секундах дуги на момент J2000.
8. "Р" - Признак отождествления со звездой из каталога PPM: малая буква "p" означает, что звезда в каталоге PPM не рекомендована для точных позиционных работ.
9. Номер в каталоге PPM.
10. Разность собственных движений из каталога PPM и приведенных в строке в секундах дуги.
Знак "*" в 63 позиции означает, что звезда принадлежит кратной системе. Для всех звезд кратной системы собственные движения не определялись. Координаты таких звезд приведены на эпоху наблюдения и на равноденствие J2000.
Распределение звезд по количеству наблюдений показано в таблице 9.

Таблица 9.

Число наблюдений Доля звезд 1 35.51 % 2 46.54 % 3 15.89 % 4 1.60 % 5 0.44 % 6 0.02 % 7 0.01 % 8-12 140 звезд

Заключение.

Несмотря на отмеченные недостатки, принятая модель искажений полей телескопов позволила устранить подавляющую часть ошибок телескопов и учесть уравнение блеска. В результате всех проведенных улучшений в положениях каталога АК заметно уменьшились погрешности, вызванные ошибками телескопов, а также случайными ошибками опорного каталога PPM. Распределение дисперсии наблюдений по обсерваториям стало более равномерным, ошибки наблюдений на всех обсерваториях приблизились к среднему уровню ошибок современных массовых фотографических наблюдений.

Показано, что при тщательной редукции положений каталога GSC получаются координаты, находящиеся по точности на уровне современных наземных массовых каталогов (+0.15").

Итогом работы является также выяснение необходимости проведения тщательной фотометрической редукции всех наблюдений АК, так как имеется прямая связь позиционных погрешностей с неточностью фотометрических характеристик звезд.