3. Проецирование прямой. Точка на прямой. Следы прямой.

При ортогональном проецировании на плоскость прямая проецируется в прямую (2-е инвариантное свойство параллельного проецирования). Поэтому для определения проекции прямой достаточно знать проекции двух нетождественных точек, принадлежащих прямой.

Если отрезок [AB], определяющий прямую l занимает произвольное положение по отношению к плоскостям проекций (угла наклона прямой l к плоскостям проекций отличаются от 0њ и 90њ), то такая прямая называется прямой общего положения.

Рис.1

A1B1 - горизонтальная проекция отрезка прямой [AB] A2B2 - фронтальная проекция отрезка прямой [AB]

Рис.2

|A1B1| < |AB| |A2B2| < |AB| |A3B3| < |AB|

На эпюре проекции прямой общего положения занимают также произвольные положения относительно осей координат.

Прямую можно задать на эпюре не только проекциями ее отрезка, но и проекциями некоторой произвольной части прямой без фиксации ее концов. В этом случае прямые обозначаются строчными латинскими буквами.

Рис.3

Если в пространстве точка принадлежит прямой, то проекции этой точки будут лежать на проекциях прямой. Al; Bl.

Пример. Задача.
Дано: Прямая AB общего положения задана на эпюре своими проекциями.
Найти: На этой прямой точки, равноудаленные от плоскостей проекций V и H.

Рис.4

Метод средней линии. A1A0 = A0A2 B1B0 = B0B2

Рис.5

Метод наложения. A1Ax = AxA0 B1Bx = BxB0

Точка пересечения прямой с плоскостью проекций называется следом прямой.

Прямая общего положения пересекает все три плоскости проекция, следовательно, она имеет три следа:
M - горизонтальный след
N - фронтальный след
P - профильный след

(Ml) (MH) MM₁

M₁ - горизонтальная проекция горизонтального следа
M₂ - фронтальная проекция горизонтального следа
N₁ - горизонтальная проекция фронтального следа
N₂ - фронтальная проекция фронтального следа

Для нахождения горизонтального следа прямой необходимо:

1. На эпюре продолжить фронтальную проекцию прямой до пересечения ее с осью х.
2. Из точки пересечения M₂ - фронтальной проекции горизонтального следа, провести перпендикуляр до пересечения с горизонтальной проекцией прямой.
3. Точка пересечения M₁ - горизонтальная проекция горизонтального следа, которая совпадает с самим горизонтальным следом M.

Алгоритм определения горизонтального следа выглядит так:
M = (l₂x=M₂); (ax, M₂a); al₁=M₁

Для нахождения фронтального следа прямой необходимо:

1. На эпюре продолжить горизонтальную проекцию прямой до пересечения ее с осью х.
2. Из точки пересечения N₁ - горизонтальной проекции фронтального следа, провести перпендикуляр до пересечения с фронтальной проекцией прямой.
3. Точка пересечения N₂ - фронтальная проекция фронтального следа, которая совпадает с самим фронтальным следом N.

Алгоритм определения фронтального следа выглядит так:
N = (l₁x=N₁); (bx, N₁b); bl₂=N₂

Аналогично определяется профильный след прямой:

1. l₂ продолжить до пересечения с осью z.
2. Из точки пересечения P₂ - фронтальной проекции профильного следа, провести перпендикуляр до пересечения с профильной проекцией прямой.

P = (l₂z=P₂); (cz, P₂c); cl₃=P₃ или P = (l₁z=P₁); (dy, P₁d); dl₃=P₃

4. Натуральная величина отрезка прямой. Углы наклона прямой к плоскостям проекций.

Ортогональная проекция отрезка [AB] прямой на плоскость проекций будет конгруэнтна оригиналу лишь в том случае, когда отрезок параллелен этой плоскости (свойство 6), т.е.

([AB]H) [A₁B₁][AB]

([CD]V) [C₂D₂][CD]

([EF]W) [E₃F₃][EF]

Во всех остальных случаях отрезок проецируется на плоскость проекции с искажениями. При этом ортогональные проекции отрезка всегда меньше его действительной величины:

|A₁B₁| < |AB|

|A₂B₂| < |AB|

|A₃B₃| < |AB|

Пусть задана система плоскостей V/H и отрезок [AB], заданный своими проекциями. Требуется на эпюре определить его натуральную величину |AB| и углы наклона к плоскости H и к плоскости V.

Угол наклона прямой к плоскости - есть угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Рис.6

[BD][A2B2] [AC][A1B1] [B1B0][BC] [A2A0][AD] A1B1B0ABC A2B2A0ABD

Для графического определения на эпюре Монжа действительной (натуральной) величины отрезка достаточно построить прямоугольный треугольник, взяв за один его катет горизонтальную (фронтальную, профильную) проекцию отрезка, а за другой катет - разность удаления концов отрезка от горизонтальной (фронтальной, профильной) плоскости проекций. Тогда гипотенуза треугольника будет равна натуральной величине отрезка, а угол между гипотенузой и проекцией будет равен углу наклона прямой к этой плоскости.

Рис.7

Для определения угла наклона прямой к горизонтальной плоскости (угла ), построения выполняют на базе горизонтальной проекции.

Для определения угла наклона прямой к фронтальной плоскости (угла ), построения выполняют на базе фронтальной проекции.

5. Прямые общего и частного положения.

Прямые частного положения - это прямые, параллельные одной или двум плоскостям проекций.

В первом случае прямые называются прямыми уровня.

Во втором случае - проецирующими прямыми, т.к. перпендикулярны какой-нибудь плоскости проекций.

Рис.8

Горизонталь - h, прямая параллельная плоскости H Фронталь - f, прямая параллельная плоскости V Профильная прямая - p, прямая параллельная плоскости W

Рис.9

hH h2x; h3y [AB]h |A1B1|=|AB|

Рис.10

fV f1x; f3z [AB]f |A2B2|=|AB|

Рис.11

pW p1y; p2z [AB]p |A3B3|=|AB|

Рис.12

Горизонтально проецирующие прямые aV; aW; aH; a2z; a3z; a1 - точка.

Рис.13

Фронтально проецирующие прямые bH; bW; bV; b1y; b3y; b2 - точка.

Рис.14

Профильно проецирующие прямые cH; cV; cW; c1x; c2x; c3 - точка.

Рис.15

lH

Рис.16

mV

Рис.17

nW