Лекция4
Лекции: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 |
3. Прямая и точка в плоскости. Прямые уровня плоскости.
Позиционными задачами называются задачи, в результате решения которых можно ответить на вопрос о взаимном расположении заданных геометрических фигур. Они бывают двух видов:
- Задачи на пересечение (a) построениe линий пересечения двух поверхностей, б) определение точек пересечения линии с поверхностью
- Задачи на взаимную принадлежность геометрических элементов (например, на принадлежность точки поверхности).
Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости.
Из элементарной геометрии известно, что прямая принадлежит плоскости, если:
- oна проходит через две точки, принадлежащие плоскости;
- oна проходит через 1 точку, принадлежащую плоскости, и параллельна прямой, лежащей в плоскости.
Из первого положения следует, что если прямая принадлежит плоскости, то ее одноименные следы лежат на одноименных следах плоскости.
![]() |
![]() | Пусть следами задана плоскость общего положения Р, построим в этой плоскости прямую l. |
Прямые, принадлежащие заданной плоскости и плоскости уровня, называются линиями уровня.
Прямые, принадлежащие плоскости и перпендикулярные к линиям уровня, называются линиями наибольшего наклона плоскости к плоскости проекций. Иногда линию наибольшего наклона плоскости к плоскости Н называют линией наибольшего ската.
![]() |
Бывают трех видов:
- Горизонталь плоскости
- Фронталь плоскости
- Профильная прямая плоскости
![]() | (h![]() ![]() ![]() ![]() h2 ![]() h1 ![]() ![]() |
![]() | (f![]() ![]() ![]() ![]() f1 ![]() f2 ![]() ![]() |
![]() | (p![]() ![]() ![]() ![]() (p1 ![]() ![]() p3 ![]() ![]() |
Пример: Построить линию наибольшего ската плоскости и определить угол наклона плоскости
к плоскости проекций Н.
У линии наибольшего ската на эпюре горизонтальная проекция всегда перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали или горизонтальному следу.
![]() |
Пример: Найти недостающую проекцию точки А, лежащей в плоскости
Так как AA
l
В качестве прямой l следует брать линию уровня плоскости, так как построение ее ортогональных проекций проще, чем построение проекций любой другой прямой, принадлежащей плоскости.
![]() |
Две плоскости в пространстве могут пересекаться по собственной и несобственной прямой, следовательно они могут пересекаться или быть параллельными.
4. Параллельность плоскостей.
Из элементарной геометрии известна теорема (признак параллельности плоскостей):
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Следствие: если плоскости заданы следами и одноименные следы плоскостей параллельны, то и плоскости параллельны.
(QHPH)
(QV
PV)
(QW
PW)
Q
P
Из этого соотношения следует, что если хотя бы одна пара одноименных следов пересекается, то и плоскости пересекаются.
Из этих определений легко вывести способ построения параллельных плоскостей на чертеже.
Пример: Через точку А провести плоскость, параллельно заданной.
![]() | l2![]() l1 ![]() m2 ![]() m1 ![]() |
![]() | b2![]() b1 ![]() l2 ![]() l1 ![]() |
![]() | h2![]() h1 ![]() QH ![]() |
h1QH, так как QH
PH (и вообще P
Q по условию).
Для плоскостей общего положения (QHPH)
(QV
PV)
(QW
PW)
Условие параллельности QW и PW проверяется построением.
5. Пересечение плоскостей.
Две плоскости пересекаются по прямой линии, следовательно для определения линии пересечения достаточно найти
а) две точки, принадлежащие одновременно каждой из двух заданных плоскостей;
б) одну точку, если известно направление линии пересечения.
В частном случае, когда плоскости заданы следами и следы пересекаются в поле чертежа, определяют точки пересечения одноименных следов плоскостей. Эти точки общие для двух плоскостей. Они же являются следами линии пересечения заданных плоскостей.
![]() |
![]() |
Правило нахождения линии пересечения на эпюре двух плоскостей, заданных следами.
- Строим точки пересечения одноименных следов.
N2=QVPV=l
V; M1=QH
PH=l
H
- Строим фронтальную проекцию (M2) горизонтального следа (M1) и горизонтальную проекцию (N1) фронтального следа (N2).
- Строим проекции линии пересечения (l1 и l2), соединяя одноименные проекции ее следов.
![]() |
![]() |
Если две пересекающиеся плоскости являются проецирующими относительно одной плоскости проекций, то линия их пересечения - проецирующая прямая.
![]() |
Если одна из пересекающихся плоскостей частного положения, то проекция линии пересечения совпадает с проекцией плоскости.
В более общих случаях:
а) когда плоскости заданы следами, но следы не пересекаются в пределах чертежа;
б) когда одна из плоскостей задана следами, а другая плоскость линиями;
в) когда обе плоскости заданы линиями или плоскими фигурами.
Для построения линии пересечения применяют способ дополнительных плоскостей-посредников.
![]() |
![]() |
![]() |
Итак, способ введения дополнительной плоскости-посредника состоит из:
- введения вспомогательной секущей плоскости частного или общего положения, пересекающейся с двумя заданными плоскостями.
- нахождения линии пересечения введенной плоскости с каждой из заданных.
- нахождения общей точки, принадлежащей трем плоскостям. Эта точка будет принадлежать искомой линии пересечения.
- соединения одноименных проекций точек - нахождение линии пересечения плоскостей.
Если одной плоскости-посредника недостаточно для решения задачи, то вводят еще столько плоскостей, сколько необходимо.
Способ дополнительных плоскостей-посредников широко распространен в начертательной геометрии.
В качестве плоскостей-посредников стараются выбирать плоскости частного положения.
Заметили ошибку в тексте? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter