Лекции: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

3. Прямая и точка в плоскости. Прямые уровня плоскости.

Позиционными задачами называются задачи, в результате решения которых можно ответить на вопрос о взаимном расположении заданных геометрических фигур. Они бывают двух видов:

1. Задачи на пересечение (a) построениe линий пересечения двух поверхностей, б) определение точек пересечения линии с поверхностью
2. Задачи на взаимную принадлежность геометрических элементов (например, на принадлежность точки поверхности).

Прямая и точка в плоскости.

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости.

Из элементарной геометрии известно, что прямая принадлежит плоскости, если:

1. oна проходит через две точки, принадлежащие плоскости;
2. oна проходит через 1 точку, принадлежащую плоскости, и параллельна прямой, лежащей в плоскости.

Из первого положения следует, что если прямая принадлежит плоскости, то ее одноименные следы лежат на одноименных следах плоскости.

Рис.1

Рис.2

Пусть следами задана плоскость общего положения Р, построим в этой плоскости прямую l.

Главные линии плоскости.

Прямые, принадлежащие заданной плоскости и плоскости уровня, называются линиями уровня.

Прямые, принадлежащие плоскости и перпендикулярные к линиям уровня, называются линиями наибольшего наклона плоскости к плоскости проекций. Иногда линию наибольшего наклона плоскости к плоскости Н называют линией наибольшего ската.

Рис.3

Линии уровня.

Бывают трех видов:

1. Горизонталь плоскости

Рис.4

(h)(hH) h2X h1H

2. Фронталь плоскости

Рис.5

(f)(fV) f1X f2V

3. Профильная прямая плоскости

Рис.6

(p)(pW) (p1p2)X p3W

Пример: Построить линию наибольшего ската плоскости и определить угол наклона плоскости к плоскости проекций Н.

У линии наибольшего ската на эпюре горизонтальная проекция всегда перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали или горизонтальному следу.

Рис.7

Пример: Найти недостающую проекцию точки А, лежащей в плоскости

Так как AAl

В качестве прямой l следует брать линию уровня плоскости, так как построение ее ортогональных проекций проще, чем построение проекций любой другой прямой, принадлежащей плоскости.

Рис.8

Взаимное положение плоскостей.

Две плоскости в пространстве могут пересекаться по собственной и несобственной прямой, следовательно они могут пересекаться или быть параллельными.

4. Параллельность плоскостей.

Из элементарной геометрии известна теорема (признак параллельности плоскостей):

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Следствие: если плоскости заданы следами и одноименные следы плоскостей параллельны, то и плоскости параллельны.

(Q_HP_H)(Q_VP_V) (Q_WP_W)QP

Из этого соотношения следует, что если хотя бы одна пара одноименных следов пересекается, то и плоскости пересекаются.

Из этих определений легко вывести способ построения параллельных плоскостей на чертеже.

Пример: Через точку А провести плоскость, параллельно заданной.

Рис.9

l2a2 l1a1 m2b2 m1b1

Рис.10

b2m2 b1m1 l2a2 l1a1

Рис.11

h2X h1QH QHPH

h₁Q_H, так как Q_HP_H (и вообще PQ по условию).

Для плоскостей общего положения (Q_HP_H) (Q_VP_V)(Q_WP_W)

Условие параллельности Q_W и P_W проверяется построением.

5. Пересечение плоскостей.

Две плоскости пересекаются по прямой линии, следовательно для определения линии пересечения достаточно найти

а) две точки, принадлежащие одновременно каждой из двух заданных плоскостей;

б) одну точку, если известно направление линии пересечения.

В частном случае, когда плоскости заданы следами и следы пересекаются в поле чертежа, определяют точки пересечения одноименных следов плоскостей. Эти точки общие для двух плоскостей. Они же являются следами линии пересечения заданных плоскостей.

Рис.12

Рис.13

Правило нахождения линии пересечения на эпюре двух плоскостей, заданных следами.

1. Строим точки пересечения одноименных следов.
   N₂=Q_VP_V=lV; M₁=Q_HP_H=lH
2. Строим фронтальную проекцию (M₂) горизонтального следа (M₁) и горизонтальную проекцию (N₁) фронтального следа (N₂).
3. Строим проекции линии пересечения (l₁ и l₂), соединяя одноименные проекции ее следов.

Рис.14

Рис.15

Если две пересекающиеся плоскости являются проецирующими относительно одной плоскости проекций, то линия их пересечения - проецирующая прямая.

Рис.16

Если одна из пересекающихся плоскостей частного положения, то проекция линии пересечения совпадает с проекцией плоскости.

В более общих случаях:

а) когда плоскости заданы следами, но следы не пересекаются в пределах чертежа;

б) когда одна из плоскостей задана следами, а другая плоскость линиями;

в) когда обе плоскости заданы линиями или плоскими фигурами.

Для построения линии пересечения применяют способ дополнительных плоскостей-посредников.

Рис.17

Рис.18

Рис.19

Итак, способ введения дополнительной плоскости-посредника состоит из:

1. введения вспомогательной секущей плоскости частного или общего положения, пересекающейся с двумя заданными плоскостями.
2. нахождения линии пересечения введенной плоскости с каждой из заданных.
3. нахождения общей точки, принадлежащей трем плоскостям. Эта точка будет принадлежать искомой линии пересечения.
4. соединения одноименных проекций точек - нахождение линии пересечения плоскостей.

Если одной плоскости-посредника недостаточно для решения задачи, то вводят еще столько плоскостей, сколько необходимо.

Способ дополнительных плоскостей-посредников широко распространен в начертательной геометрии.

В качестве плоскостей-посредников стараются выбирать плоскости частного положения.