Всем добрый день! И с Новым годом, а также остальными наступившими и наступающими праздниками!

Наверное, период сессии -- не то время, когда стоит задавать вопросы на форуме, но вдруг кто-нибудь из теоретиков да заглянет?..

Я хотел бы предложить для обсуждения следующий вопрос. Если кратко: какая в квантовой теории поля связь между частицей и античастицей?

Подробнее:

В квантовой теории поля бывают античастицы. Когда мы квантуем что-нибудь, скажем, комплексное скалярное поле, то можно ввести некоторые операторы, которые, как легко видеть, рождают такой-то заряд и такой-то импульс, и все это дело можно интерпретировать как наличие в теории двух "противоположных" типов частиц, которые мы называем "частица" и "античастица".

А теперь предположим, что мы ничего не квантуем. В некоторой абстрактной квантовой теории поля мы вполне понимаем, что такое одночастичное состояние. И вот у нас есть два типа частиц, частица А и частица В. Судя по всему, когда мы говорим, что А есть античастица для В, это соответствует наличию некоторой дополнительной структуры. Что это за структура?

Напрашивается ответ, что этой структурой является оператор зарядового сопряжения. А что это за оператор? В любом учебнике по КТП написано, как этот оператор действует. И там фигурируют произведения . Вот именно гамма-нулевое на именно гамма-второе. И глядя на этот явный вид, как-то сложно поверить, что это такой фундаментальный и очень важный оператор.

Так какая же именно связь имеется между частицей и античастицей, что отличает их от двух частиц одинаковой массы и противоположными зарядами?

Солидарен с Вами в том, что в физической литературе сложилось весьма неряшливое употребление гамма-матриц. Гамма-матрицы (их четыре, от нулевой до третьей) являются компонентами одного спин-тензорного поля (гамма-поля Дирака). Компоненты этого поля являются константами и даются стандартными формулами для гамма-матриц только при специальном выборе базисов в спиновом пространстве и в пространстве-времени. Кроме гамма поля Дирака есть еще два поля в теории Дираковских спиноров: форма Дирака и оператор киральности. Форме Дирака в стандартной физической литературе сопоставляется матрица гамма-ноль, а оператору киральности - матрица гамма-пять. Полистайте, мои тексты, список которых Вы найдете по ссылке

http://arxiv.org/find/grp_math,grp_physics...v/0/1/0/all/0/1

Возможно, это поможет Вам разобраться в использованием гамма-матриц. Вопросы с частицами и античастицами, котрые Вы задаете, весьма интересны. Я бы и сам хотел с ними разобраться, особенно в случае пространства с ненулевой кривизной, то есть в присутствии гравитационного поля. Я буду это потихоньку делать, и указанный выше список текстов будет, я надеюсь, пополнятся.

Если бы я находился географически ближе к Москве, то, наверное, напросился бы прочесть спецкурс у Вас на физфаке МГУ по математическим аспектам теории спиноров. К сожалению, здесь в Уфе это никому не нужно.

Это только в стандартном (дираковском) представлении гамма-матриц. В общем случае можно доказать существование и единственность C (задав ее свойства неявно, например: транспонирование гамма-матриц и, насколько я помню, C^{+} = C^{-1}). Если к тому же гамма-матрицы зависят от координат, то см. предыдущий пост.

Нда... Скромности не занимать!..

Мне, кажется, что в ваших постах скорее разъясняется причина, по которой я задаю свой вопрос, чем дается ответ на него. Ваших текстов, Ruslan Sharipov, я, к сожалению, не листал, но читал разные книги вроде Spin Geometry (авторы Lawson, Michelsohn). Думаю, я в целом понимаю, что такое гамма-матрицы. И вот мне как раз хотелось бы инвариантного описания связи частицы с античастицей. Гамма-матрицы это все же как выбор координат: например, пусть мы хотим задать некий тензор. Ясно, что мы можем фиксировать систему координат, сказать, что в ней наш тензор равен тому-то, и это определит его вид в любой другой системе координат тоже. Но уважающий себя тензор обычно имеет координатно-инвариантное описание.

Пример, который ближе к обсуждаемой области. Оператор Дирака прекрасно (канонически) строится для общего случая векторного расслоения на некотором многообразии, на котором задана связность и действие группы Клиффорда.

Хочется думать, что если связь частицы и античастицы действительно фундаментальна, то должно быть и инвариантное описание и оператора зарядового сопряжения. И в этом смысле особенно странно, что в частной системе координат этот оператор имеет такой уродский вид -- гамма нулевое, гамма второе. Согласитесь, выглядит поизящнее.

Могу еще так спросить. Рассматривая в качестве группы симметрии теории {группу Пуанкаре + некоторую дополнительную группу, скажем, SU(2)}, мы находим способ интерпретировать протон и нейтрон как отличающиеся изоспином состояния одной частицы. Пока мы этой симметрии не рассмотрели, в нашей теории протон нейтрон оставались двумя совершенно самостоятельными частицами, не имеющими между собой ничего общего. А симметрия позволяет объединять частицы в мультиплеты и устанавливать между ними связь. Так нельзя ли таким же образом установить связь и между частицей и ее античастицей? Скажем, добавить к группе Пуанкаре дискретную симметрию зарядового сопряжения. Будет ли это работать? Почему так не делают? Или делают? Объединяют ли частицу с античастицей в один мультиплет?

Ну его фтопку. Давайте придумаем свой!

А зачем тогда вообще вводится операция "C"?..

То есть, по-вашему, так и делают. Ну хорошо, предположим. Остается вопрос, почему же такой фундаментальный оператор имеет такой плохой вид. А "фтопку" здесь ни при чем. Если вид уродский, значит, мы не с той стороны смотрим. Или чего-то не понимаем. Например, не видим, что на самом деле не уродский, а очень красивый и естественный. Такое я тоже допускаю, только в таком случае хорошо бы прояснить, в чем же его естественность.

2 M_T
Хм, но ведь это просто частный случай! В общем случае, вы делаете унитарное преобразование гамма-матриц, а C при этом преобразуется иначе. В таком случае, вопрос, почему сами гамма-матрицы имеют такой, известно какой (уродский/красивый, по вкусу) вид в стандартном представлении?

Сообщение отредактировал Großes Botan - 13.1.2008, 1:15

Вопрос темы для меня слишком фундаментальный, но я все равно рад, что M_T вернулся.

Так важно, что С преобразуется как-то по-другому? Что вы хотите этим сказать?

А вот здесь как раз все понятно. Они имеют такой вид потому, что мы их такими выбрали. Стандартным это представление является только потому, что его везде используют, но оно ничем не выделено и может быть заменено на любое другое. Но главное не это, а то, что можно вообще не выбирать никакого представления, а работать в инвариатных терминах. И вот вопрос -- как тогда определить С?

Вот возьмем декартову систему координат в четырехмерном пространстве. И определим тензор Т, у которого в этой системе координат единственная ненулевая компонента -- это T_{0,2}, которая равна семи. А все остальные равны нулю. Это, безусловно, определяет некий тензор, и в других системах кординат он имеет другой вид, но некое уродство в этом все же есть, вы не находите? Такое определение означает наличие в нашем пространтсве некоторого выделенного направления. Вот мне и интересно, что это за выделенное направление.

2 peregoudov Спасибо.

Она превращается в общем случае из в какую-то другую конструкцию.

Давайте, например, поменяем местами явный вид и . Будет тогда . Произведение первых двух, уже не так уродски. (я чувствую, так мы можем разработать тут некий гамма-матричный покер)

Так и определить. Неявно.

Можно вообще сделать так, что будет пропорциональна единичной матрице (ЛЛ4, параграф 26, задача в конце).

У меня складывается впечатление, что дискуссия не завязывается. Хотелось бы понять: это потому, что

а) я никак не могу внятно объяснить, чего хочу, а вместо этого говорю что-то расплывчатое, вроде "почему вот это красиво, а это некрасиво?";

или

б) вы согласны, что С действует "некрасиво", но не видите в этом проблемы -- ну действует и дейтствует ?

Сообщение отредактировал M_T - 13.1.2008, 23:18

2 M_T
Да понял я Вас, не волнуйтесь. Сам я когда первый раз C в виде увидел, тоже удивился. Потом привык. Знаете, человек ко всему привыкает (ну, почти ).

Дискуссия не завязывается? См. подпись.

Есть, однако, вид гамма-матриц (см. выше), где . Этот вид тоже уродский?

Естественно. Уродство -- это понятие инвариантное, от системы координат оно не зависит. Тот тензор, который я описал в посте 9, тоже в некоторой системе координат имеет вид: компонента (0,0) равна 1, остальные нули. Красоты ему это не прибавляет. В данном контексте для меня "красота" -- это не простота записи, а возможность коодринатно-независимого определения. Хоть вы меня и поняли, я это все же повторю.

Давайте по-другому вопрос поставлю. Для начала: вы, наверное, много раз встречали фразу вроде "psi это волновая функция частицы; соответственно, античастица описывается функцией psi* (где * - комплексное сопряжение)". Так?

Сообщение отредактировал M_T - 14.1.2008, 0:02

Про инвариантную запись это я понял. Исходное определение вполне себе инвариантно. Поэтому то, что получается, это результат самого нашего конструирования явного вида гамма-матриц.

Что Вы там про * задумали? Фразу кстати не так уж и часто встречал (чукча не читатель ).

Какое именно?

Про * -- прекрасно. А если не читали, а писали , то тем лучше.
Теперь следующий шаг -- возьмем, скажем, кварки, u и d. Про них говорится следующее -- напишем их столбцом и скажем, что его крутит SU(2)-симметрия. Зафиксируем элемент . Теперь посмотрим, как при его действиеи преобразуется столбец из античастиц -- для этого, как мы знаем, надо взять операцию коплексного сопряжения. Полученный столбец преобразуется, очевидно, матрицей U*. Сделав финт ушами, мы замечаем, что преобразуется той же матрицей U. Возникла матрица . Можно заподозрить, что ту же природу имеет и матрица в дираковском сопряжении спинора.

Пока все верно?
Это я хочу некую базу задать, чтобы от нее потом отталкиваться.

Сообщение отредактировал M_T - 14.1.2008, 0:45

Что C транспонирует гамма-матрицы плюс еще условия типа . По крайней мере, выглядит это инвариантным. Хотя уже засомневался.

Да, кстати, , тоже ведь уродство, как-никак. Хотя объяснимое. Но все-таки...

Ну так я к этому и клоню...

Ну а вот теперь начинаются вопросы. Поправьте меня, если я ошибаюсь, но в гильбертовом пространстве операции "коплексное сопряжение" просто так нет. Ее определение требует введения базиса (хотя, согаситесь, операция "*" выглядит даже инвариантнее, чем ваше требование сопряжения гамма-матриц ). А ведь именно она, как считается, выполняет операцию зарядового сопряжения (по крайней мере, в том числе и она). Нет ли здесь проблемы?..

Впрочем, можно сказать следующее. Комплексное сопряжение -- это антилинейная инволюция. А ведь есть канонически определенная антилинейная инволюция -- переход к дуальному пространству (на гильбертовом пространстве есть скалярное произведедние!). В базисах, которые обычно рассматриваются, эти две операции -- одно и то же (потому что скалярное произведение это ).

Я не утверждаю, что переход от частицы к античастице связан с переходом к двойственному пространству. Я как раз про это спрашиваю -- так ли это? Потому что если так, то вышеуказанный финт ушами -- жутко искуственный и привязанный к определенным координатам. Два объекта живут в разных пространствах, а мы почему-то хотим, чтобы они преобразовывались одной и той же матрицей (чтобы соответствующие матричные элементы численно совпадали). Элементы сопряженных пространств преобразуются сопряженными друг по отношению к другу представлениями, это, как говорится, не баг, это фича. Так нужна ли на самом деле эта ужасная и не менее жуткая ?

Сообщение отредактировал M_T - 14.1.2008, 1:14

2 M_T
Вот это надо подумать. (В т.ч. порыть литературу.) Вообще-то, на первый взгляд помещение ВФ античастиц в дуальное пространство кажется искуственным. В классической теории поля, по крайней мере. Кстати говоря, есть еще уродская матрица .


Сообщение отредактировал Großes Botan - 14.1.2008, 1:34

А неужели в классической теории поля бывают античастицы? В смысле, бывают в таком виде, чтобы можно было задать такой вопрос? Ясно, что можно просто ввести частицу с противоположным зарядом, той же массой и т. п., но это будет просто другая частица. Вроде связь частиц и античастиц раскрывается именно в КТП? Может, как раз каким-то таким образом и раскрывается? Ведь в квантовой теории поля нам, a priori, ничто не запрещает построить пространство Фока на чем-то вроде , и это можно рассматривать как ее преимущество.

Выражаясь фигурально -- Вы правы на все сто. Но об этом я еще не начинал думать. Если у вас будут по этому поводу комментарии, то я их с большим интересом почитаю. А пока я с грехом пополам разобрался в вопросе "кто такая частица?" и принялся за "кто такая античастица?". Что тесно связано именно с оператором зарядового сопряжения.

Искренне рад, Миша, что в один из тех редких случаев, когда я зашел на форум, увидел твое сообщение.

Что касается оператора, "связывающего" частицы и античастицы, то он появляется из симметричных свойств уравнения Дирака и то, что его явный вид в (3+1) именно не кажется мне таким уж и уродским, ведь именно 0-я и 2-я матрица в киральном представлении симметричны, в отличие от 1-й и 3-й. Можно еще повеселиться, заметив, что в (1+1)-мерии , которые тоже, кстати, симметричные, в отличие от . Ну а в (2+1) .

Сейчас пытаюсь понять, что ты имел в виду в своем первом сообщении. Правильно ли я понимаю, что тебе хочется определить соотношение между частицами и античастицами, не обращаясь к их определению через решение уравнения Дирака для фермионов, скажем?

Еще раз прочту это обсуждение, может что и прийдет в голову.

Сообщение отредактировал Tigran K. Kalaidjian - 14.1.2008, 13:49