Всем добрый день! Возник у меня как-то на досуге вот такой вопрос -- кто знает, поделитесь! Предположим, что есть у нас классическая теория поля, и мы хотим ее проквантовать -- методом континуального интеграла. В теории есть граничные условия, которым некое поле должно удовлетворять. Вопрос -- в функциональном интеграле по , должны ли мы ограничить область интегрирования только теми полями, которые этим граничным условиям удовлетворяют?

Рассуждение, которое показывает, что "нет, незачем!":
Вспомним, как граничные условия "появляются" в классической теории. Мы варьируем действие, в некоторый момент приходится интегрировать по частям, и мы говорим -- член, который выносится на границу, должен занулиться, либо "по физическим причинам" ("поля убывают на бесконечности"), либо "из здравого смысла" -- тат как "иначе в уравнениях движения будет член, пропорциональный дельта-функции на границе". То есть, в некотором смысле, действие должно быть согласовано с граничными условиями, которые мы хотим наложить. Когда мы в квантовом случае будем интегрировать по , квазиклассически этот интеграл будет набиратся в основном в окрестности траекторий, где действие экстремально. То есть тех, которые удовлетворяют граничным условиям! Так что при правильном выборе действия они как бы уже учтены. Пример: пусть мы хотим наложить условие, что поле зануляется на границе. Построим деыствие, "согласованное" с этим граничным условием: добавим к действию член с вспомогательным полем-множителем Лагранжа, живущим на границе: . Теперь мы можем интегрировать по всем полям и , все получается правильно.

А вот рассуждение, которое показывает, что "да, должны!": "динамическое" наложение граничных условий не "жесткое". Основной-то вклад, может, и набирается в окрестности классических траекторий, но тем не менее, скажем, использовать классические уравнения при вычислении статсуммы, конечно, нельзя. И если мы хотим наложить на границе условие , то меряя наблюдаемую на границе, мы всегда получим строго ноль, только наложив на поля жесткое условие, а не динамическое.

Второе рассуждение лично мне кажется более убедительным. Но в первом тоже как будто есть доля правды, которая немного смущает. Может, оно верное, но только в некоторых случаях? Или можно делать и так и так, в зависимости от того, что хочется получить? Или оно не верное никогда?

"нет, незачем"

M_T, а Вас именно теория поля интересует? Нерелятивистская квантовая механика одной частицы (да еще одномерная, ага) в качестве модельного примера не подойдет?

Сообщение отредактировал peregoudov - 28.3.2008, 2:30

Вообще, больше всего интересует, да, именно теория поля. Потому что кажется, что там немного особый случай, чем в механике. Но если этот вопрос можно сначала обсудить для механики, было бы наверняка тоже очень полезно!

Давайте я еще немного проиллюстрирую свой вопрос.

Пусть у нас в действии есть поле , которое мы хотим отынтегрировать, и некоторые поля . Все эти поля живут на многообразии Х с границей . Варьируя по , я получаю нечто вроде следуюшего:, где Ур ( b ) -- это уравение движения, а Усл ( b ) -- это условия, которые, как мы понимаем, классически надо бы наложить на границе.

Квантуя в формализме конинуального интеграла, должен ли я интегрировать только по полям b, которые удовлетворяют Усл ( b ) ? С одной стороны, вроде, да. Но заметим следующее: давайте я добавлю новое поле лямбда, которое будет жить только на границе, и к действию допишу член . Теперь я могу интегрировать по всем полям, граничные условия наложатся сами. Но чем новое поле лямбда, чья вариация дает член , лучше исходного действия, где вариация уже содержит член ? Если бы я мог проинтегрировать по значению поля внутри Х отдельно, а по значению на границе отдельно, все было бы замечательно. Но так делать нельзя, скажете вы. Соглашусь: так -- нельзя. Но давайте я сделаю как-то по-хитрее -- для каждой мыслимой конфигурации поля на границе выберу одного представителя (назовем набор этих представителей "А красивое"), и разобью интеграл по всем а на сумму по всем возможным представителям и, в каждом классе, интеграл по всем добавочным членам , обнуляющимся на границе:


Проинтегрирую сначала по в каждом классе. Граничного члена нет -- a' на границе зануляется. Интеграл дает дельта-функцию от Ур ( b ). Теперь просуммирую по а*. На этот раз объемного члена нет, благодаря только что полученной дельта-функции, остаыется только граничный, и он дает дельта-функцию от Усл ( b ). Понятно, что это все на пальцах -- нужно нечто вроде процедуры фиксации калибровки... Но вроде правдоподобно?

Сообщение отредактировал M_T - 28.3.2008, 4:10

Уважаемый М_Т! До континуального интеграла я в своем физико-теоретическом образовании так и не дошел, о чем сейчас искренне сожалею, но судя по тому, что мы делали на КТП на 4 курсе, обоснование именно такое:
...член, который выносится на границу, должен занулиться, либо "по физическим причинам" ("поля убывают на бесконечности"), либо "из здравого смысла" -- тат как "иначе в уравнениях движения будет член, пропорциональный дельта-функции на границе"... И оно меня всегда несколько смущало, также как и Вас. Но потом интересы круто изменились, и столо не до размышлений над такими проблемами...

интересно, что это за граничные условия, накладываемые на квантованное поле?

да нет речь идет как я понял о более раннем этапе - классической теории поля (до квантования). Интересно, из каких соображений некоторые члены зануляются.

О граничных условиях я всегда говорю в классическом контексте -- рассматривая классическую полевую конфигурацию, удовлетворяющую некому уравнению. Квантуя методом континуального интеграла, мы интегрируем по всем классическим конфигурациям, так что граничные условия можно накладывать точно так же.

В классической теории я готов поверить, что "хорошо бы наложить условия, благодаря которым занулится граничный член". Ведь граничные условия -- часть нашей теории, классически не вызывает сомнений, что это -- те данные, которые мы должны руками задать. И ясно, что если мы их наложим, то все будет правильно -- истинные траектории среди рассматриваемого класса будут именно те, где достигается экстремум. То есть, если мы наложим гран. условия, то проблем не будет точно.

В квантовом случае кажется, что можно как-то схитрить. Скорее всего, так кажется потому, что континуальный интеграл штука плохо определенная, и если поднапрячься, можно и "1=0" доказать. У рассуждения, что я привел, есть ведь и классический аналог -- варьирование по значению на границе отдельно от варьирования по значению внутри. Но вроде как понятно, что интеграл по границе -- на размерность меньше, и как бы "меры нуль", поэтому не должно все это работать. Как-то так, что ли?..

Как-то так.

А, не-не-не, стоп. Классический аналог моего рассуждения не просто есть, а еще и гораздо строже. Более того, он как будто совсем строгий!

Для начала оговорюсь, что рассматриваю пока только случай, когда ни Ур, ни Усл поля "а" (по которому мы варьируем) не содержат. В квантовом случае вопрос, содержат они "а" или не содержат, очень важен -- поэтому я сверху тоже рассматривал пока только простой случай, когда не содержат. Давайте поэтому в классическом варианте тоже пока ограничимся этим случаем. Никакие условия на поля накладывать не будем, и посмотрим, что получится.

Истинные траектории -- те, где достигается экстремум относительно вариаций поля "а". То есть если я к истинному "а" добавлю , то в приращении действия член первого порядка по должен быть ноль. Минимум относительно всех вариаций -- значит, в частности, относительно всех таких, что не затрагивают границу. Выбирая вариации в виде горбиков вокруг всевозможных точек внутри Х, мы, как известно, получим, что Ур( b ) везде внутри зануляется.

Но это мы пока рассмотрели только ограниченный класс вариаций. А нужно найти траекторию, реализующую экстремум относительно всех вариаций. Рассмотрим теперь вариации в виде горбиков вокруг точки на границе. Они, конечно, залезают внутрь многоообразия, по непрерывности. И граничный член, по сравнению с объеным, был бы, конечно, меры нуль, если бы этот объемный член был сам не ноль! А он теперь уже ноль. Поэтому варьируя по этим горбикам, получае Усл=0.

Мне кажется, что здесь все правильно. Согласны?

Сообщение отредактировал M_T - 28.3.2008, 19:49

Вроде похоже на правду. Но вы знаете, с того памятного дня, когда Степаньянц вывел уравнения поля, варьируя действие, прошло уже больше 5 лет, все вспоминается с трудом, но он настаивал на "особенном" поведении функций поля на бесконечности, которое надо в каждом конкретном случае рассматривать отдельно. Так что не знаю, не знаю... Интересно, что по этому поводу думает peregoudov - ему удалось закончить кафедру теорфизики, в отличии от нас с вами.

Один умный человек сказал мне следующее:
1) похоже, что классическое рассуждение в самом деле правильное.
2) в квантовом случае так делать все-таки плохо.

Про 1) сразу возникает дополнительный вопрос -- если в самом деле правильно, то почему же в классической теории поля так не делают, а накладывают условия руками?

А про 2) -- в качестве обоснования, предлагается следующий аргумент. Предположим, что мы рассматриваем свободную теорию поля в некоторой области с границей. Статсумма -- это будет детерминант лапласиана в нашей области. Тогда, вроде как, если не наложить никаких условий, то этот детерминант не определить никак. Если условия наложить, то это будет произведение (счетное) собственных значений -- ну да, расходящееся, с кем не бывает. Что-то с этим выражением делать все равно можно -- скажем, закрыть глаза на то, что оно бесконечно, и исследовать зависимость от параметра. Но если не наложить, то "совсем плохо". Само по себе это рассуждение пока не шибко убедительное (так как сводится к тому, что одна бесконечность "значительно хуже", чем другая), но, может, натолкнет кого на правильные мысли?

Вообще, как-то хитро получается. В классическом случае допустимые полевые конфигурации -- это те, что обнуляют и "Ур", и "Усл". В квантовом случае мы интегрируем по всем траекториям, не обязательно удовлетворяющим уравнениям поля -- то есть "Ур" не накладываем. Так что меня бы не особо шокировало, что мы и "Усл" не должны накладывать. Но, говорят, что все-таки надо. В общем, тут еще пока не все кристально чисто.

Надеюсь, что кто-нибудь из форумных теоретиков заинтересуется этой темой и заглянет к нам. Вот, peregoudov однажды уже заглянул, надеюсь, вернется.

Сообщение отредактировал M_T - 29.3.2008, 8:25

А умный человек - это, случайно, не Степаньянц?

Нет -- с ним я в общем-то и не знаком...

Попробую высказать свои соображения на этот счет.
Сразу скажу, - не все твои рассуждения я понял до конца, поэтому не исключено, что буду отвечать "не на те вопросы".
Начну с нестрогого замечания. Континуальные интегралы применяются для вычисления матричных элементов различных наблюдаемых. Матричный элемент может быть взят между двумя состояниями поля, играющими роль начального и конечного условий. Согласись, что если мы откажемся и от их рассмотрения, наша конструкция станет совсем бессодержательной. А чем же хуже граничные условия? Очень часто для вычисления континуальных интегралов прибегают к виковскому повороту и переходу к евклидовой метрике. И при этом пространственные координаты и временная становятся с математической точки зрения полностью равноправны. Поэтому отказываться от рассмотрения ГУ было бы как минимум математически не эстетично.

Вот тут я позволю себе усомниться. Да, на квазиклассической траектории действие "почти" экстремально. Рассмотрим теперь траекторию, которая получается из решения классических уравнений движения путем его деформации в малой окрестности границы. То есть, почти на всем пути такая траектория полностью совпадает с классической, но при приближении к границе многообразия совершает быстрый отход от классической траектории и приходит на границу в точку, не отвечающую классическим ГУ. Какой будет "удельный вес" такой траектории? Я полагаю, что достаточно высокий, так как она является квазиклассической. И мера множества траекторий такого типа может оказаться ненулевой. Поэтому мы должны наложить ГУ, чтобы не получить вклада от подобных путей.
Но здесь ты и не отказался от рассмотрения ГУ. Ты просто переформулировал их в виде связи. И заменил условие на .

Тем, что на , в отличие от , ты накладываешь условия в объеме.
Во многих задачах, но не во всех. При описании теории поля на многообразии зачастую рассматривают нетривиальные граничные условия.
Вот это самая правильная мысль . Дело еще и в том, что ГУ могут быть нужны для того, чтобы интеграл конструктивно взялся. Да, ты можешь их переформулировать в разной форме: накладывать руками, загонять в действие, модифицировать меру интегрирования, но их суть от этого не поменяется. И можно убедиться, что для разных ГУ ты будешь получать разные ответы, что является непосредственным указанием на необходимость их учета.


Вот тут я с тобой тоже не вполне согласен. Классическое действие однозначно определяет уравнения движения. И когда мы интегрируем с каким-то действием в показателе экспоненты, мы тем самым закладываем в наше математическое выражение информацию о том, какие траектории какой вклад вносят.

Я тут покопался в архиве... Взгляни, например, статью hep-th:9802161 (N.A.Sveshnikov, E.G. Timoshenko). Там как раз много вычислений, связанных с учетом ГУ.

Сообщение отредактировал Теоретик - 3.4.2008, 19:27

Спасибо за ответ. Напишу, когда посмотрю эту статью и еще подумаю над тем, что ты пишешь. А пока один комментарий:

Не уверен. Мне кажется, что "поле лямбда, живущее на границе", и "поле лямбда, удовлетворяющее ", это не одно и то же. Ведь мы все-таки хотим рассматривать непрерывные лямбда. Если ты рассматриваешь функцию на всем многообразии, но требуешь,чтобы она занулялась везде внутри объема, то она и на границе тоже ноль.

Про остальное -- напишу свои соображения, когда придумаю, как их лучше сформулировать.

Есть подозрение, что условие непрерывности функции не обязательно... Но точно ничего сказать не могу, т.к. сам в этом вопросе не вполне компетентен.
(Кстати, если уж говорить о математических аспектах континуального интеграла, могу посоветовать книгу Смолянов, Шавгулидзе "Континуальные интегралы", написанную мехматянами).

Сообщение отредактировал Теоретик - 3.4.2008, 20:35

Я, пожалуй, присоединюсь к Теоретику (пост #16).

Отвечаю на соображения, высказанные в посте. (статью еще пока только буду читать)

Твой аргумент вполне убедителен, с ним я скорее соглашусь -- как и с тем, что накладывая гран. условия по времени, странно было бы не накладывать их по пространству. С момента создания темы, разобрав пару конкретных примеров, я уже почти сжился с этой мыслью. Так что давайте считать, что на вопрос в его исходной формулировке ответ получен. А именно, квантуя классическую систему с заданными граничными условиями, нужно ли накладывать гран. условия на функции, по которым мы интегрируем, или все получится автоматически? Ответ: нужно.

А давайте я немного видоизменю формулировку -- точнее, выделю подвопрос исходного вопроса в отдельный пункт. Как ты правильно заметил,
Вот в этом утверждении было бы интересно разобраться.

Можно ли вообще определить функциональный интеграл по, скажем, всем непрерывным функциям на отрезке, без каких-либо граничных условий? То есть одно дело, если гран. условия надо накладывать, иначе физика другая получается, а совсем другое -- если теория вообще не определена.

Я, скажем, умею более-менее брать только гауссовы функциональные интегралы. Логика там, напомню, такая -- если мое действие написано в виде , то получается детерминант оператора "дельта". Возьмем, например, лапласиан. Как получается детерминант? Мы переходим к базису собственных функций и задаем некоторую конкретную меру на всех функциях -- равномерную по коэффициентам разложения. И интегрируем. А базис такой существует потому, что оператор у нас эрмитов! Но чтобы он был эрмитов, надо наложить граничные условия на функции, к которым я его применяю. Казалось бы, вот один из способов увидеть необходимость в гран. условиях. Если не наложить, этот метод не сработает.

Вопрос -- это просто данный конкретный метод не работает, или это частное проявление того, что функциональный интеграл неопределим? Какое именно условие не выполняется, из-за чего все ломается? Мы ведь вроде обычно предполагаем, что действие -- это некоторый функционал. Мы не требуем, чтобы он обязательно выглядел как (f, Af), для некоторого оператора А, то есть требовать эрмитовости вроде не от кого. К тому же, если про гамильтониан мы еще иногда говорим, что он эрмитов, то про лагранжиан... Мне как-то не приходилось слышать.

Сообщение отредактировал M_T - 4.4.2008, 0:35