Как доказать, что . Желательно использовать оператор "набла". (A, R - векторы, A - const). Насколько я знаю, . В первом слагаемом применяется к , а во втором - к . Так вот, я не знаю, что делать с этим дальше. Пример, наверное, не очень сложный, но я нигде в литературе не нашел про это.

Потом раскладываете двойное векторное произведение по формуле [a[b c]]=b(a c) - c(a B)...

А вообще, освайвайте ротор - ротор - это СИЛА!

 rot.gif ( 34.93 килобайт ) Кол-во скачиваний: 88


Сообщение отредактировал Blade - 16.12.2005, 19:54

Спасибо.

А что неправильно в этом решении , а получается :

Это вопрос или утверждение?


^A(V, R)=(R, V)^A=x(dA/dx)i + y(dA/dy)j + z(dA/dz)k = 0
Итого: ^A(V, R) = 0.


Согласен.


^R(V, A)=(A, V)^R=Ax(dR/dx)i+Ay(dR/dy)j+Az(dR/dz)k=A
Итого: ^R(V, A) = A.


Согласен.


Итого: rot[A, R] = 0 + 3A - A + 0 = 2A

Вывод: раскрывайте скалярное произведение так, чтобы дифференцировалась всегда величина со стрелкой.

Сообщение отредактировал Tigran K. Kalaidjian - 10.12.2005, 18:59

Сенкс, э лот!

Уважаемые!!! И у меня с этой Наблой проблемы есть. Помогите, если по силам.
Проблема вот в чем. Есть плотность тока
,
, - коэффициенты, зависимые от координат,
- потенциал, - температура.

Есть функция, которая вводится так


где , - частные производные по координатам,
- проекции вектора плотности тока.

надо найти такой скалярный , при котором
= любая комбинация но
не должны встречатся нигде.
Помогите, пожалуйста, спать не могу...

Очень спорное утверждение! Операция неинвариантная, специфична для трехмерия... То ли дело -- тензорные обозначения, дифференциальные формы и оператор d, в котором сразу сидят и ротор, и градиент, и дивергенция!По-моему, наблу лучше осваивать по минимуму. Хотя это, конечно, зависит от кафедры, на которую идете... Например, решать уравнения Максвелла в торе с кошмарными граничными условиями (кафедра математики) лучше через div и rot. А если вы пойдете в теорию, прочитайте Арнольда, "Математические методы классической механики". Вся набла-магия заключается в том, что d^2=0.
Язык оператора d красивый, но, к сожалению, задачки по векторному анализу вас все равно заставят решать с наблой. Но если вы хотите стать теоретиком, то очень правильно, что она вас бесит!.. Кстати, Tigran, ты же вроде на квантстаты собрался?..
Помню, на втором курсе я сдавал досрочно Делицину ТФКП и матан (в сентябре ). Он как раз решает уравнения Максвелла в разных ситуациях, и запомнил, как я отозвался о роторах и т.п. В итоге он меня очень быстро (минут за 10) спросил по билету, а потом сказал: а теперь, ну-ка расскажите, чем это вам так не нравится дивергенция и ротор!.. После этого мы говорили еще час, в итоге я согласился, что для его целей лучше div H=0 и т. п., а он -- что для теоретиков лучше dF=0, d*F=4pi/c j. И за экзамен у меня отл...

Аполитично рассуждаешь, дорогой! Во-первых, символ Леви-Чивита Eijk (полностью антисимметричный, равный +1 или -1) инвариантен относительно трехмерных поворотов - то есть он в каком-то смысле подобен скаляру, хоть на него и навешаны целых три индекса. Во-вторых, именно его существование (а следовательно, присутствие в нашей жизни Вектороного произведения) делает наш трехмерный мир прекраснейшим из миров. Практически все математически грамотные обыватели полагают, что мы живем в трехмерном векторном пространстве. И только глубоко познавшие жизнь математики знают, что на самом деле мы живем в алгебре Ли. И именно наличие Векторного произведения превращает тривиальное трехмерное пространство, коим несть числа, в прекрасную и нетривиальную алгебру Ли. Именно Векторное произведение - это и есть то, что в аксиоматике алгебры Ли называют коммутатором.

Кстати, автору ветки. Лично я всегда предпочитаю роторы, дивергенции ... переписывать через Eijk и дальше смотреть как сворачиваются индексы через соответствующие формулы приведения типа EijkEmnk=DimDjn-DinDjm (здесь Dim - символ Кронекера). Тогда оперирование с производными превращается в рутинное дифференцирование произведения нескольких функций.

Сообщение отредактировал Мимохожий - 14.12.2005, 13:09

Я с тобой согласен, но ведь я использовал еще не все варианты шрифтов, предоставленных форумом . Т.е. слово "сила" я могу написать еще бОльшими буквами по отношению, скажем, к диф. формам - но здесь это было не в тему.
И все таки согласись, что владение наблой хорошо упрощает освоение курса физики 2-го года. Посему и сила.


Да. Сейчас как раз читаю "Мат. методы...". Арнольда. Так что присоединяюсь к твоему совету.

Сообщение отредактировал Tigran K. Kalaidjian - 14.12.2005, 19:02

Интересная мысль. А я всегда векторное произведение не любил за сугубую трехмерность. А в какой теории это напрямую используется, если не секрет? Помню, мы с другом на первом курсе руками "открыли" тензор электромагнитного поля . Я очень радовался красивой записи уравнений и тому, что векторное произведение на самом деле дает не вектор, а матрицу.

Вот-вот. А переписывание в виде -- это и есть оператор де Рама, вы не находите?.. Так что я вроде говорю то же, что и вы.

На самом деле, несмотря на мое якобы резкое возражение, я понимаю Вас. Отсюда и шутливая моя фраза "Аполитично...", какая-то ассоциация из "Кавказской пленницы". Я согласен, что дифференциальные формы очень красивы и универсальны, но есть свои ньюансы в примитивном векторном произведении. О чем я и упомянул. Где применяется это свойство? - не знаю. В свое время, когда я занимался алгебрами Ли (и даже была мною опубликована статья по этому поводу, но конечно не по поводу векторного пространства, а гораздо более серьезная), я это сам заметил, и мне это тоже понравилось. Дело в том, что коммутатор в абстрактных алгебрах Ли состоит не из произведения матриц, как большинство моделирует в голове. Абстрактная алгебра Ли есть линейное пространство, а коммутатор в нем есть просто бинарная операция - паре упорядоченных векторов ставится по соответствующему правилу третий вектор. Это правило должно удовлетворять соответствующим аксиомам. Так вот бинарная операция - векторное произведение - удовлетворяет этим аксиомам. И тождество Якоби выполняется тоже - можете сами убедиться.
Относительно тензора Леви-Чивита. В трехмерном пространстве инвариантным относительно поворотов является тензор , в четырехмерном - , и так далее. То, что трехмерность не всегда удобна - согласен, я в свое время для себя пол-книги Ландау пересчитал, но только не так, как он это делал, а в явном релятивистски-ковариантном виде. Убедился, что опечаток нет, зато все сделанные там приближения своми руками потрогал. Но сейчас, если приходится возвращаться к тому материалу, предпочитаю явную трехмерную запись - так технически много проще считать. Но воспоминания о том давнем релятивистском пересчете успокаивают (все там верно и ковариантно), и греют душу.

Я аккуратно попробовал переписать то, что Вы написали. Кажется на первый взгляд, что такое невозможно. По крайней мере в той постановке, как Вы сформулировали. Но, конечно же, может есть какие-то ньюансы задачи, которые позволят добиться желаемого. Или надо переформулировать гиппотезу.

2 Мимохожий
Что такое абстрактная алгебра Ли, я вроде даже знаю. И что алгебры изоморфны с обычным векторным произведением, а, например, изоморфны совсем другому -- алгебре Ли группы Ли движений плоскости Лобачевского.
Я имел ввиду другое -- в теорфизике часто на "случайных изоморфизмах" групп малых размерностей строятся целые теории (примеров я не знаю, только слышал, что это так). Может, где-то используется и тот факт, что при n=3 случайно dim O(n)=n?

Сообщение отредактировал M_T - 16.12.2005, 13:31

Ясно, на каком языке можно говорить. Действительно рад. Я как-то подзабыл, но группа (307) (учебная, а не абстрактная иатематическая ) - это какая кафедра?

Опять таки не знаю. Но смотрите что получается. Есть алгебра SU(2), есть ее фундаментальное представление - матрицы Паули 2х2 (умноженные на i). У нее есть структурные константы e_ijk. Они по определению задают в каком-то векторном пространстве присоединенное представление (антисимметричные матрицы) соответствующей размерности. Например, у группы SU(3) размерность базисного представления 3х3, а присоединенного - 8х8. А вот у SU(2) размерность присоединенного представления - 3, и оно-то и есть 3-мерные повороты в нашем родимом 3-мерном пространстве. То есть мы живем в пространстве присоединенного представления группы SU(2). Мне кажется, что с этой точки зрения наше 3-мерное пространство этим может только гордиться, и не чувствовать свою неполноценность перед 4-мерным пространством. Пространству Минковского с его SL(2,C) группой такие совпадения размерности и не снились (только Анатолию Рыкову о таких совпадениях не говорите )
P.S. Эх, алгебры Ли, первая моя любовь, как давно это было...

Да, интересно. Только, увы, давно я не видел трехмерных теорий, по крайней мере, претендующих на описание нашего мира... Все-таки есть время, и куда-то его девать надо, в итоге 3+1. А было бы красиво...
А 307 -- это квантовая статистика и теория поля. Но математике учат не там, а в НМУ да в Стекловке... А вы, случайно, про то, зачем теории бывают калибровочными, не знаете чего-нибудь? А то есть тут темка, я там вопрос задал, которым давно мучаюсь, но никто не отвечает... Вы ведь как раз, похоже, или теоретик, или математик...

Да согласен я, согласен. Более того, СТО для некоторых моих задач -это просто рабочий инструмент. Но красота СТО не отменяет и красот других разделов физики.
Про калибровочную инвариантность ответил. Если бы я в свое время обратил внимание на эту ветку и прочел Ваш последний пост там, то сразу об алгебрах Ли говорил бы соответствующими словами, без упрощений.
С удивлением взираю на свой же вопрос про группу. Какой-то мимолетный провал памяти. Одно оправдывает - ночь перед этим не спал (равно как и эту, похоже, тоже). Сейчас на подходе ТАКИЕ результаты, что можно обо все забыть. Благо, и на работе сейчас не каждый день можно появляться.

Да и я с вами не спорю!

Цитата(Мимохожий @ 19 декабря 2005г. - 5:06)

Сейчас на подходе ТАКИЕ результаты...