Недавно пришлось столкнуться с вопросом, который меня привел в замешательство и никак не выходит из головы.
Дана функция .
Так вот, есть подозрение, что на отрезке эта функция принимает наибольшее значение в точке .
Не могу это ни доказать, ни опровергнуть. Буду рад, если кто-нибудь подскажет так это или нет.

Чтобы можно было это дело "пощупать", приведу график вместе с синусом:

Охотно бы помог, да не знаю, что такое Q.

Множество рациональных чисел.
Только вот я не понял: тебя абсолютный максимум интересует или множество локальных экстремумов? Судя по графику, максимум у нее один, и тогда возможное q - единственное число, а никак не бесконечное множество чисел.

Хм... По-моему я точно выразился
Меня интересует точка, в которой достигается наибольшее значение на данном отрезке. Эта точка единственная (а кто сказал, что их много?!). Тезис: эта точка представима в виде произведения некоторого рационального числа на пи.
Что касается локальных экстремумов, то их, скорее всего, бесконечное (но счетное) число - они меня не интересуют. А такого понятия, как "абсолютный максимум" я вообще не знаю.

Цитата(Tigran K. Kalaidjian @ 26 мая 2006г. - 14:35)

Недавно пришлось столкнуться с вопросом, который меня привел в замешательство и никак не выходит из головы.

а где ты с такой задачей столкнулся, елси не секрет?

Цитата(асоциальный психопат @ 26 мая 2006г. - 19:01)

Цитата(Tigran K. Kalaidjian @ 26 мая 2006г. - 14:35)

Недавно пришлось столкнуться с вопросом, который меня привел в замешательство и никак не выходит из головы.

а где ты с такой задачей столкнулся, елси не секрет?

портал "экспертов" RusFAQ.ru - там есть раздел "Математика", где и проскочил этот вопрос. Меня эта задача зацепила и не отпускает.

Может глупо конечно, но раз у Вас есть функция (кстати, Вы уверены, что достаточно слагаемых в сумме взяли, когда строили график? уж больно "дерганная" она какая-то, очень напоминает случаи разложения в ряд Фурье, где недостаточно слагаемых в сумме берешь), почему бы от нее не взять производную и прочие штуки? Как там в 8-ом классе анализировали функции на предмет максимумов? Или это не подходит?

Если продифферинцировать ряд по x, то получим:
f(x)=\sum\limits^{\infty}_{n=0}\cos(2^nx)
Это вообще сходится?

Хорошая мысль. Я так пробовал. Только нули суммы косинусов не находятся аналитически хотя бы потому, что эта сумма расходится (не выполняется необходимое условие на сходимость - общий член не стремится к нулю при ). Так что равномерной (а тем более абсолютной) сходимости изначального ряда недостаточно для того, чтобы этот ряд дифференцировать. Но все же мысль с поведением лок. максимумов с увеличением числа членов суммы мне кажется правильной... Хотя уже для нескольких членов их я найти не могу - ежели бы там под аргументом косинуса стояла арифметическая прогрессия, то можно было бы перейти в комплексное представление и просуммировать... А так что с этим делать не ясно...

Я взял достаточно членов суммы (100), потому что, начиная где-то с 20 картинка почти не меняется. Пробовал для 1000 - то же самое. То, что она изрезанная - это тоже нормально. Если бы под аргументом синуса стояла не степень двойки, а степень, скажем, тройки, то это точно уже была бы нигде не дифференцируемая непрерывная функция:

Я брежу... Только сейчас понял: задумался и стал исследовать другой ряд, вместо указанного. Прошу прощения за неуместное высказывание.
Сообщения поудалял. В общем, никто ничего не видел

Я, конечно, извиняюсь, а нет ли тут фрактальной структуры? Если есть, то как-то вопрос о максимуме имхо неактуален

Пришла в голову идиотская идея. Функция одномерная, стало быть вычисления ее значений довольно быстрые => можно генетическим алгоритмом попробовать найти глобальный экстремум.

Может, есть смысл произвести по индукции разложения членов ряда в стиле "синусы-косинусы двойного угла". Это с гарантией допустимая операция. Я думаю, с таким рядом будет заметно проще работать.

Привет, это я, тот кто придумал задачку!
Рад увидеть такую большую дискуссию. Итак, по-порядку:

Точку максимума ЧИСЛЕННО легко найти при помощи следующей matlab программы (не ругайте, писал за 5 минут ):



Точнее, она выводит не саму точку максимума (T), а T*pi*127/36, для наглядности. Ответ будет подозрительно близок к 1 (-; Вопрос в том, как доказать это аналитически...

Далее, по поводу того, что функция "дерганная". Это так и есть. Главная идея, которой я руководствовался при написании функции это отсутствие производной.

Структура, безусловно, фрактальная, так как при любом увеличении график функции сохраняет свой изломанный вид. Я, правда, что-то не смог посчитать размерность. Тем не менее максимум есть, так как функция ограниченная сверху.

А вот вопрос о локальных максимумах бессмысленный (-; Они у нее чуть ли не в каждой точке (-; (Сильно подозреваю, что любая точка вида q*pi (см. пост Тиграна) дает локальный минимум или максимум).

(ой, исправил пару очепяточек, в том числе и в коде (-

2 Ratson
несколько вопросов, если можно:
1). сколько итераций надо чтобы найти глоб. максимум?
2). как зависит число итераций от начальных условий (я так понимаю Вы стартуете с какой-то guess point)? Просто интересно.

Я чего-то не понимаю, или Ratson сумел алгоритмом в стиле "деления пополам" найти максимум жуть как плохо устроенной функции?! И какое красивое число в ответе: 36/127 !
А может, не очень здорово исследовать, по Вашим же словам, несколько "фрактальную" структуру таким методом? Скажем, красивые картинки про фракталы комп умеет рисовать. Но найти что-то количественно? Может, посчитаете, куда при отображении Пеано (это которое непрерывно отображает отрезок [0,1] на весь квадрат [0,1]x[0,1]) переходит точка с координатой 1/sqrt(2)?

Начет алгоритма
Это не деление пополам, если честно. Алгоритм написан интуитивно, из того, что функция, хоть и "зубчатая", но все же непрерывная.
Я просто :

1)вычисляю значения функции на некотором отрезке с довольно мелким шагом (беру 1000 точек),
2)нахожу среди этих точек максимальную
3) перехожу к новому отрезку вдвое короче с центром в этой точке.

начинаю с отрезка длиной в полный период.
Число итераций, очевидно, не зависит от начальной точки и равно log2(2*pi/eps), где eps - требуемая точность.

Я не _доказал_, что этот алгоритм пригоден для данной функции, но я в этом (почти) уверен. Могу попробовать, хотя это не так интересно.

Тем не менее, это НЕ алгоритм деления пополам, он тут, конечно, непригоден.

Насчет корректности задачи и кривой Пеано.
Пеано здесь не при чем.
Пункт №1: Максимум у данной функции есть. Это, как я писал уже, очевидно.
Пункт №2: Функция непрерывна во всех точках (Это чуть сложнее доказывается), в том числе и в точке максимума. Поэтому имеет смысл говорить о приближенном поиске максимума.

OK, согласен, что этот алгоритм получше. Просто в незнакомом синтаксисе долго разбираться, а с первого взгляда показалось, что там деление пополам.
И все-таки:
1)
не смущает ли Вас знаменатель 127? Это, конечно, не очень аргумент, но раз обоснование алгоритма -- на уровне интуиции, то и вопросы к нему пока такие же.
2)
Но доказывается? А то уж больно неочевидно. Бесконечная производная на всюду плотном множестве смущает.

Насчет отображения Пеано. Оно, кстати, тоже непрерывно. Так что имеет смысл говорить о приближенном поиске образа точки 1/sqrt(2)... По-моему, с недифференцируемыми функциями нужно быть аккуратнее.

Кстати, а что там с кривой Пеано?

Для меня, признаться честно, не то, что недифференциируемость, просто разрывность в некоторой степени экзотика в силу той темы, которой занимаюсь.

Потому и вылез в интернет с этой задачкой, так как даже подхода к решению не могу найти.

Что касается кривой и отображения Пеано, то, согласно тому, что я только что прочитал, особых проблем с поиском образа точки 1/sqrt(2) быть не должно....
Сначала мне казалось, что она разрывная, но теперь проситал, что нет.

ИМХО, для этого нужно перевести это число в систему счисления по основанию 4 (0.231100103...), и каждая новая цифра будет однозначно указывать, в какой из четырех четвертей исходного квадрата находится образ...

Может быть, я торможу, и чего-то не улавливаю про Пеано. Пойду еще почитаю, но пока что проблемы не вижу. Намекни, в чем хитрость, если не сложно (-;

Конечно доказывается. Функция непрерывная на , к тому же ряд, которым задается f(x), мажорируется сходящимся , следовательно сходится равномерно на . Отсюда следует, что и f(x) непрерывна на .

Ой, а куда мой пост делся? Я сразу после того, как отправил N18, понял (и вроде даже написал) что все действительно просто и это у меня заскок. И с кривой Пеано тоже все в порядке. Так что sorry за претензии!
Помню, недавно удивился, обнаружив, что бывают непрерывные, но не дифференцируемые функции. Хотя на первом курсе прекрасно это знал. Это -- из той же серии.
Теперь даже интересно стало -- неужели там и правда 127 в знаменателе? Вот в это никак не верится!

Классная функция! Периодическая, нечетная (смотрится прямо как амбиграммы из книжки Дэна Брауна "Ангелы и Демоны") да еще и совпадает (т.е. вид, в котором она задана) со своим рядом Фурье по синусам от нуля до пи!
Я подумаю...
А как, кстати, устроено это преобразование Пеано?

Да, и еще: то, что у нее нет производной ни в одной точке - это не факт. При этом это скорее всего даже не так. Легко показать только то, что почленное дифференцирование невозможно.

Она очень похожа на нигде не дифференцируемую функцию Вейерштрасса. У той, правда, под аргументом множитель pi стоит, помимо степеней. Сходу пока что не соображу: сильно это влияет на суть дела или нет.

Ну, насчет того, что ни в одной точке, это немножко думать надо. А на всюду плотном множестве точек вида , конечно, не имеет -- равномерно сходящийся ряд можно почленно дифференцировать, получится ряд, дающий в точности производную. А он расходится.
2 Теоретик
В смысле. там под синусами ? Ну тогда и правда сходу не сообразишь, что это перемасштабировка оси иксов...

Ага.
Да не язви ты . Знаю, что перемасштабировка. Уже и потупить нельзя...

Собственно, я попробовал применить ген.алгоритм для нахождения глобального максимума предложенной функции. Вот что получилось:
После 300 поколений - положение максимума x=0.89053, значение функции F(x)=1.32983, ошибка в шестой цифре после запятой. Время расчета - три-четыре секунды на лаптопе с камнем 1.5 GHz. Прикладываю картинки со сходимостью. На самом деле, как видно из графиков - сходимость достигается сносно и для 100 поколений. Если кому-то интересно, могу рассказать более подробно.

2 Теоретик Да это меня ОММ бесит. Вот сдам, тогда снова стану таким же добродушным, как обычно.

Чтобы почленно дифференцировать, только равномерной сходимости мало. Нужно еще потребовать равномерной сходимости ряда, составленного из производных. Если он расходится, то про производную никаких выводов еще делать нельзя.

Насчет производной, можно тогда уж сразу сказать, что производной точно нет во всех точках вида , где q-рационально.

Потому что тогда значения косинусов будут повторяться с некоторым периодом, не большим знаменателя q.

Вопрос напомню, о том, где находится максимум

Вот-вот...И никаких всюду плотных множеств.

Не-не-не, постойте. Конечно, если у функции, являющейся суммой бесконечного ряда, производная существует, то считать ее почленным дифференцированием можно только если ряд из производных равномерно сходится. Это, безусловно, так. Но как можно требовать равномерной сходимости ряда, если я хочу сказать, что производной нет?! Это что, нужна равномерная сходимость к бесконечности?
Давайте пока оставим общий случай, потому что и правда бывают всякие гадости и расходиться ряд может по-разному. Посмотрим на наш конкретный ряд в точке из моего множества. Откинем первые N членов, они нам погоды не сделают (как для самого ряда, так и для его производной). Остаются только члены, где синусы обращаются в ноль, а производные, соответственно, в единицу. То есть локально мы как бы складываем бесконечное число одинаковых линейных функций.
Есть какие-то сомнения в том, что у предельной функции производная в этой точке будет бесконечность?
Можно сказать даже строго: вместо бесконечно ряда будем рассатривать частичные суммы Sn=Sn(x). Неужели неверно, что производная Sn(x) в моей точке при достаточно больших n ведет себя (с ростом n) как n+С?
Про кривую Пеано -- вот тут это есть.

Ну, это достаточное условие Но вообще не суть.

Ты говоришь про точку максимума? Почему синусы обращаются в ноль?....Не понимаю. Да и ряд для косинусов совсем не обязан бесконечно расти, ежели только у тебя не точка Пи/2^n.

А без ps есть ссылка, а?

Я говорю про всюду плотное множество точек вида (n*pi)/2^m и утверждаю, что там функция недифференцируема. Вроде ведь по этому поводу были возражения?

А про кривую Пеано -- можно и без PS. К этой теме отношения это и правда не имеет, но штука красивая. Прикладываю PDF, правда, в нем картинки как-то кривее выглядят.

Все, понял... Не, неверно
Заменяя производную суммы на последовательность пр-ых, ничего не добьешься, ибо ты все равно клонишь к почленному дифференцированию. При этом пытаешься поменять местами два предельных процесса: по x и по n, что скорее всего невозможно (хотя не факт). Это же тебе не обобщенная функция, чтобы ее ряд дифференцировать почленно, сколько влезет. Вот так вот...
Можно еще глянуть на "график" и задуматься о том, есть ли у нее все же пр-ая в точке, скажем, Пи (или ноль, что несущественно). Даже если и нету, то она точно не обращается в бесконечность.
Спасибо за Пеано - почитаю, как ОММ напишу. Откуда это, кстати?

Это, кстати, был риторический вопрос. Ясно, что она себя так ведет!

К чему я клоню и чего я пытаюсь сделать, я и сам знаю. Из твоих слов я не понял, что именно у меня неверно. Вполне допускаю, что где-то у меня ошибка. Но тем не менее, вот мое доказательство утверждения, что в точке 0 производной нет.
По определению: производная - предел отношений df к dx (это не дифференциалы, а приращения). Чтобы доказать, что предел не существует, достаточно предъявить последовательность {a_i} точек, сходящуюся к нулю, такую, что lim [f(a_i)-f(0)]/a_i = бесконечности. Может, производная и не будет именно бесконечной. Главное, что ее не будет -- других утверждений я и не делаю.
А уж такую a_i я найду. Именно: чем ближе точка к нулю, тем большее количество синусов в этой точке еще не сильно отличается от своего аргумента. Поэтому рост f[a_i]-f[0]/a[i] будет практически линеен по 1/a[i].

Что-то не так?

Про Пеано -- это листочек из Независимого Университета (ium.mccme.ru), 1 курс.

Ну смотри, у тебя есть функция Sn(x). Известно, что Sn(x) при каждом x сходиться по n (причем равномерно по x, но на это плевать) к некоторой функции F(x). F(0)=0 - это ясно. Далее мы хотим найти предел
[F(x)-F(0)]/x = F(x)/x
при стремлении x к нулю. Ты для этого рассматриваешь Sn(x)/x и делаешь вот что: берешь число n, потом находишь x такой, что Sn(x) - почти сумма единиц, потом берешь другое n (побольше) и опять находишь x. Тем самым строишь последовательность n и x. Sn(x) при этом расходиться примерно как ряд из единиц, хотя ты это все конечно на пальцах объяснил. Реально можно действительно взять x=1/2^n и тогда ряд будет состоять из синусов единицы (т.е. разойдется). А можно взять x=(2/3)^n и тогда ряд сойдется. Но все это доказывает лишь то, что у этой прекрасной функции Sn(x) нет двойного предела по x и n. А нам это вообще не впилось доказывать! Нам то нужно сначала найти предел по n, а потом по x, т.е. повторный... И порядок предельных процессов у нас задан - менять его не получиться. Так что это все не доказывает отсутствия повторного (и являющегося производной) предела. Вот.....Вроде все так.

Конечно, на пальцах. Это вроде не такая сложная штука, чтобы совсем подробно расписывать. Ты же меня понял, правда?

Ладно. Все. Совсем строго:


Рассмотрим конкретную последовательность таких t, при которых этот предел бесконечен. Тем самым мы докажем, что такой предел не существует (повторюсь, мне совершенно все равно, равен ли он бесконечности или не существует вообще).

Для такого аргумента члены ряда, из которого состоит f(x), с некоторого момента все равны нулю. Так что к пределу по n я прекрасно перехожу, и получается именно что повторный предел, а не одновременный.

Не знаю, надо ли пояснять, что в последнем выражении слагаемые в скобках фактически с некоторого момента все друг другу равны. Вот и получается обещанный линейный рост.
Математики строгость любят, поэтому все-таки скажу и это строго.
"sin x ~ x при достаточно малых x" -- это нестрого.
А вот "sin x > x/2 при x<pi/2" -- это уже строго. Вот и все.

А все эти ваши повторные пределы, совместные, кратные... От лукавого.

Вот это уже доказательство. Только вот что:
Это совершенно новая идея. А нова она тем, что ты, удачно выбрав последовательность x, занунлил все члены ряда, начиная с m-ого. И поэтому смог считать переход к пределу по n уже сделанным (это действительно очень важно) - раньше у тебя этого не было, и я сомневаюсь, что ты это имел ввиду.
Но идея - действительно хорошая ....Любопытный результат...



Как сказал Парфенов К. В., настоящий теорфизик знает разницу между понятиями "доказать" и "строго доказать".

О, спасибо!

Ну, я, конечно, имел ввиду, что утверждение очевидно, а потому его не очень хотелось доказывать совсем уж строго. В этом ты прав.
Но, кстати, я изначально собирался рассматривать только точки такого вида -- см. пост N24. Потому что в них я хорошо понимаю, как устроен этот ряд, а в других -- плохо.

Да, но для других целей....И с ошибочными предположениями (ну, поначалу-то!).
Короче ладно, консенсус найден.
А вот как максимум ее (ну или минимум искать) - вот это конечно не ясно...Надо будет потом подумать...

Ну так я и говорю: