Ты имеешь в виду тот факт, что карты пересекаются в двух областях, и поэтому мы не можем путем пересечения выделить как открытое множество одну из этих областей (т.к. будут выбираться обе сразу)? Ну, в любом случае можно извратиться над множеством всех D(h) процедурами типа пересечения-объединения, чтоб "вытрясти" из него базу топологии. Я, собственно, про это говорил. Как там на спецкурсе у Трещева было: "Но я, не будучи педантом,.."

Во-первых, систему можно просто декларировать, что она есть. Во-вторых, весь вопрос в том, можно ли это сделать не прибегая к понятию карты, так, чтобы получить топологическое многообразие.

Просто задав ручками систему, "тыкнув пальцем" в стиле: "Вон эта точка - в этой окрестности, а вот эта - в той", ты получишь топологическое пространство. Фишка многообразия как раз в задании карт.

Точно. И именно на это я вам ответил:

Что такое твое D(h), я не знаю, но в любом случае на хороших многообразиях вроде листа мебиуса / цилиндра / гиперповерхности и т. д. база топологии, самое меньшее, счетна. Предбаза тоже. А карт я могу задать всего две. Или ты не про стандартную топологию, а про то, что по картам тоже можно ее построить? Так это совсем очевидно -- любой (совсем любой!) набор множеств, если только он целиком покрывает некое пространство, можно рассмотреть как предбазу некоторой топологии.

Это области задания карт.
Неужели это было не понятно из моих высказываний?
Ты все говорил: "Не совсем верно... Не очевидно..." А я сижу и думаю, что же не очевидно?...
Я и не предполагал, что из моих постов можно подумать, как-будто я говорю про что-либо, кроме некоторого весьма специфического конечного набора множеств, удовлетворяющего аксиомам топологии.

Если честно, не очень -- я вот, например, не понял. Ты написал, отвечая Мунину:
Мунин-то говорил про обычную топологию. И она тоже задается картами -- только чуть по-другому. А ввести с помощью карт такую абстрактную топологию, как предлагаешь ты -- ну, можно, конечно. Можно и вообще без карт -- дискретную, например, или кодискретную. На вопрос Мунина это ответа не даст.

У меня все плохо. Каким определением многообразия вы пользуетесь?

2 M_T
Я как-то не отличал "обычную топологию" от "абстрактной", полагал (и пока продолжаю полагать), что это одно и то же, и просто на "достаточно хороших" множествах (которые и называются многообразиями) "абстрактная топология" эквивалентна "обычной".

"Мебиуса лист - неориентируемая поверхность, у которой эйлерова характеристика равна нулю, а край представляет собой замкнутую линию" МЭ, т.3, стр.622. Определение, аднака. (определение многообразия надо еще раз повторять, нет?)
"Лист Мебиуса (другое название — Лента Мебиуса) — топологический объект, простейшая односторонняя поверхность с краем". Википедия

Но если Вы говорите о бесконечном листе Мебиуса, то я вынужден с Вами согласиться, там я допустил ошибку.




А чем Вас не устраивает МЭ? Там что-то не соответствует действительности? Она расходится с учебниками?

МТ
Все это замечательно. Но я так и не увидел из Вашего поста, почему кручение названо кручением. И почему при вращении плоскости в евклидовом пространстве частицы на этой плоскости, которыми мы заменили точки плоскости, движутся без ускорения. Они что, по прямой движутся? И почему ориентация плоскости меняется на противоположную при полном обороте плоскости, как это видно из эксперимента с нитями (куб восстанавливается при перевертывании повернутой грани)? И почему, наконец, Уилер пишет, что этот эксперимент не имеет математического объяснения (на то время); что, за последние 20 лет на этот счет появилось что-то принципиально новое?

Она не дает полной связной картины какой-либо конкретной области математики, со всеми ее логическими связями, построениями, подходами.

2 Munin
Стандартным. С картами и атласами. А что?

Вы, говоря об "обычной топологии" многообразия, наверное, имеете в виду, что у него столько-то дырок и т. п.? Я под топологией понимаю фиксацию системы множеств, которые называются (по определению) открытыми в данной топологии. Наверное, вы это называете "моей" "абстрактной топологией"? Если так, то дело вот в чем: определение топологии -- это второе. Но эта абстрактная топология как раз и определяет "топологические" (в вашем понимании) свойства многообразия. Так что это не два разных значения слова "топология", а одно и то же.Я в данном случае пользуюсь вашей терминологией. Насколько она стандартна, я не в курсе. Вы предлагали называть лентой мебиуса конечный цилиндр, разрезанный и склеенный с переворотом. А лист мебиуса, вы же сами говорили, это если цилиндр не конечный, а бесконечный. У него, как и у бесконечного цилиндра, края нет. Можете даже не ссылаться на МЭ, все равно не поверю.
Если связность индуцируется естественным образом, из параллельного переноса, кручения нет. А если мы, перенося вектор, его дополнительно подкручиваем, есть. Теперь давайте думать, почему кручение называется кручением...
Это ВООБЩЕ из другой оперы, вы уж простите. Частицы движутся без ускорения не на вращающейся плоскости, а просто на кривом многообразии, на сфере, например. Покоющейся! Почему ускорение ноль -- а какое же у свободной частицы ускорение? Точки многообразия я на частицы не менял. Вообще, частицы -- это просто иллюстрация математического факта на физическом примере, когда связность -- это ускорение. Ускорение -- связность БЕЗ кручения! И к ориентациям это не имеет никакого отношения, как и вообще понятие связности. Читайте учебники по дифференциальной геометрии, будет вам великое счастье.

Если это так, то в каком смысле вы употребляли словосочетания "обычная топология" и "абстрактная топология"? Ведь не я же начал их различать, я это из ваших высказываний взял.


Видимо, я не в курсе и стандартного определения. Если вы мне его приведете, я буду благодарен.

Присоединяюсь к вопросу. Я, если честно, понял это в том смысле, что "обычная топология" - топология, индуцированная метрикой в R^n, и состоящая из континуума множеств, а "абстрактная" - та, про которую говорил я, т.е. определенная лишь областями задания карт.

противоположно тому, как понял я... :-)

Определение многообразия:

Про обычную и абстрактную топологии.
Ну да, практически это я и имел ввиду. Только абстрактной я называю не только ту, которую предлагает Теоретик, а вообще любую.
На любом множестве можно ввести очень много разных ("абстрактных") топологий. Один из способов задать топологию -- с помощью метрики (метрическое пространство автоматически является топологическим, даже хорошим топологическим). Поэтому на многообразии уже есть некая топология. Другими словами это можно выразить так: многообразие мы всегда представляем себе вместе с его вложением в объемлющее евклидово пространство. И его топология индуцирует топологию на нашем многообразии -- ту самую, "обычную".
То, что обычно называется "топологическими свойствами многообразия", этим действительно определяются. Потому что топология позволяет определить непрерывность отображения, а больше нам ничего и не надо. Например, число дырок в двумерном компактном многообразии -- это число разных нетривиальных способов непрерывно отобразить окружность в многообразие (т. е. число гомотопических классов таких отображений), деленное пополам.
Если рассмотреть многообразие просто как множество точек и ввести на нем другую топологию, получится нечто с совсем другими топологическими свойствами. Например, если взять на сфере дискретную топологию (все множества открыты), получится как бы континуум отдельных точек (собственно, потому она и дискретная). Если взять кодискретную, получится фактически одна точка (в кодискретной топологии открыты только два множества: "все" и "ничего". Любое отображение в множество с такой топологией непрерывно, а потому, скажем, все гомотопические классы такого многообразия тривиальны. Потому что любое отображение непрерывно деформируется в отображение в точку.)
Поэтому если рассмотреть на многообразии не стандартную топологию, а ту, которая задается как предбазой введенными картами (как предлагает Теоретик), думаю, получится нечто, топологически сильно отличное от исходного многообразия. Ведь чем меньше открытых множеств, тем больше непрерывных отображений!

И в чем будут отличия?


И зачем тогда называть ее абстрактной?

А речь и не шла о полной и связной картине какой-то области математики, а наоборот - о простых определенях нескольких понятий. Разве нет?



Вы, видимо, не обратили внимания, но я исправил этот абзац и признал ошибку еще до того, как Вы ответили.
Тем не менее, хочу добавит сейчас, что речь, все же, о реально наблюдаемом объекте - ленте Мебиуса, тогда как лист Мебиуса - из того же разряда, что и многомерные пространства.




Ну да, если подкручиваем, то, конечно, кручение. Но я имел ввиду, как это название связано с антисимметричной частью символов Кристоффеля? И почему в евклидовом пространстве, где кручения нет, наблюдаются кривые и закрученные поверхности? (Вы уж простите, если я чего-то не понимаю в связности, индуцированной метрикой).



Ну, тогда Вы просто опять подменили тему. Я-то говорил о поворотах плоскости вокруг неподвижной точки. Вы вообще все время соскальзываете на многообразия сами по себе ("свободные частицы"!). А я - о конкретных вложенных и имеющих относительное движение поверхностях (свободные частицы не относительны, они покоятся в собственной СО, взятые сами по себе; так и ваши многообразия - сами по себе, но толку от них ни для чего нет, рази что чисто абстрактный интерес). И если у Вас нет ответов об этой другой опере, то так и скажите, а не сводите все к определениям многообразий.

Если из общих соображений, то должно получится нечто среднее между нормальным многообразием и многообразием, схопнувшимся в одну точку. Потому что мы радикально уменьшили число открытых множетсв, а значит, теперь гораздо большенепрерывных отображений. Конкретно это может выражаться в том, что какой-нибудь гомотопический класс другой будет. С ходу я ответа не скажу, это надо думать, а у меня сейчас совсем нет времени. В принципе, возможно, что классы и не поменяются, но это будет довольно удивительный результат.Как раз чтобы отличать произвольную, заданную руками топологию, от "обычной". Чего здесь такого?
Да, действительно, не обратил.
А если речь о "реально наблюдаемом" листе мебиуса, например, склеенном из бумаги, то у него есть толщина, поэтому точки на противоположных "сторонах" разные. И его поверхность изоморфна поверхности цилиндра. То есть ориентируема.
Ну вот так и связано. Если у коэффициентов связности антисимметричной части нет, то с точки зрения внешней геометрии она выглядит как параллельный перенос, без дополнительного подкручивания. Кстати, по-моему, символами Кристоффеля все-таки называют именно связность, согласованную с метрикой, и у нее антисимметричнй части нет никогда. Так что лучше говорить "антисимметричная часть коэффициентов связности".
Про разные оперы. Я имел ввиду, что в том, что я сказал, не было ни слова про движущиеся многообразия и т. п. Я не знаю, где вы говорили про повороты плоскости относительно неподвижной точки, но я, когда описывал физическую иллюстрацию математической конструкции "связность", нигде никакие многообразия не крутил. По вашим вопросам я вижу, что вы то рассуждение то ли не поняли, то ли пытаетесь притянуть его к своей задаче (к которой оно не имеет отношения). Вот я вам сразу и сказал, что это совершенно про другое.

Да, кстати: объясните мне, пожалуйста, что такое поверхности, имеющие относительное движение?
Что касается реального мира, то в нем я не видел ни одного многообразия. Поэтому вопрос об ориентируемости многообразия я понимаю как вопрос из математики, а не из феноменологии. Если угодно, в реальном мире неориентируемых многообразий нет.

Не могу с Вами согласиться. При склейке ЛМ точки противоположных сторон реально отождествляются (а иначе Вы и цилиндр бы не смогли реальный склеить, он оставался бы прямоугольником, и ЛМ не имел бы при разрезании вдоль осевой линии своих реальных свойств, отличных от свойств разрезаемого цилиндра).



А на какой же мой пост Вы тогда отвечали? Я думал, что на ##65 и 94 .



Это поверхности, точки которых описывают некоторые траектории в системе координат, связанной с точкой объемлющего пространства, не принадлежащей данной поверхности, либо принадлежащей ей, но неподвижной в этой СК.



И опять вынужден возразить. Понятие многообразия, хоть и сформулировано на языке математики, но все же взято не из головы, а из реального мира и наблюдаемых в нем линий и поверхностей. Так же, как и понятие ориентации. И простые физические операции с листом бумаги это наглядно показывают, на что еще Мимохожий обращал Ваше внимание.

Не понял, чем уменьшили, в какой момент? Какое хоть одно открытое множество отсутствует в одном случае и присутствует в другом?


Да ничего, просто я тогда опять не понимаю, что такое в ваших высказываниях "обычная" топология: для меня любая топология произвольна и задана в конечном счете руками.

Если взять сами карты в качетсве предбазы некой топологии, в этой топологии будет конечное число открытых множеств. Конкретно: если на листе Мебиуса выбрать две карты A и B, в получающейся топологии ровно 5 открытых множеств (все, A, B, A пересечь с B и 0). И этим он ничем не будет отличаться от цилиндра, тоже покрытого двумя картами. В "обычной" топологии открыты множеств гораздо больше. Даже база уже счетна.Я не про отождествление точек при склейке. Поверхность бумажного (имеющего толщину) листа мебиуса изоморфна поверхности цилиндра. И если вы смогли бы разрезать бумажный лист мебиуса "вдоль по длине" (т. е. разделив бумажный лист на два еще более тонких листа), вы получили бы этот самый цилиндр. Но он, опять же, будет толстый, и его поверхность будет изоморфна двум отдельно взятым цилиндрам. И т. д.
Круто. Первый раз вижу такую "физическую" терминологию в теории многообразий. Между прочим, точки многообразий никуда вроде не движутся. Вот есть у сферы полюс, и есть. По-моему, такие рассуждения ни к чему хрошему вас не приведут.

Мне даже в голову не могло прийти называть такое топологией на листе Мебиуса. Спасибо. Я думал, о чем-то серьезном идет речь.

Ну так вроде ясно написано:

Я это как-то пропустил. Думал, что карты используются вместе со своей метрикой, чтобы брать метрические окрестности... Презумпция немаразма.

А, тогда понятно, чем вам не нравилось мое стремление различать обычную топологию и ту, которая задается картами "по методу Теоретика"...

Ну и разобрались. Значит, на многообразии бывает не более одной нормальной (в житейском смысле) топологии.

А что Вы понимаете под цилиндром? Поверхность, у которой только одна сторона (т.е., точки которой принадлежат сразу обеим сторонам поверхности, а сами стороны ничем не различаются)? Если да, то почему он цилиндр, а не ЛМ или плоскость?



А для чего нужна теория многообразий, если не применительно к физике?
А в физике многообразия - это вложенные поверхности. И эти вложенные поверхности таки движутся относительно точек объемлющего пространства. И только это движение, в том числе и выраженное в терминах взаимодействий, может нас практически интересовать.

Далеко не всегда.


Тоже не всегда.

Ну я даже не знаю, что ответить. Под цилиндром люди обычно понимают , наделенное топологией прямого произведения. А вы?

Под цилиндром люди обычно понимают вид шляпы с высокой тульей и плоским верхом...

+1

Например?



Ну да, примерно так...
"Цилиндр - тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя плоскостями, пересекающими ее.
Цилиндрическая поверхность - поверхность, образуемая движением прямой, перемещающейся параллельно самой себе и пересекающей данную линию (направляющую)." Направляющей может быть эллипс, мнимый эллипс, гипербола и парабола.
МЭ, аднака. Или она Вас тоже чем-то не устраивает?

Ну, скажем, пространство-время. Хотя вам оно, кажется, чем-то не нравилось. Почему? Оно ненаблюдаемо?
Меня -- всем устраивает. Но если вы так любите смотреть в МЭ, зачем спрашиваете? Неужели там не написано, почему цилиндр -- это не лист мебиуса и не плоскость?

"Аднака."

Например, группы симметрии калибровочных полей.

Кстати, да. +1.

Ну, пространство-время - это четырехмерная поверхность (причем, даже имеющая определенную метрику), вложенная в пятимерное пространство
Что касается групп, то они не отвечают понятию многообразия. т.е., не являются геометрическими объектами, имеющими структуру векторного пространства.



Там просто не написано, что это - лист Мебиуса. А у Вас - написано. Аднака.

Это кто вам сказал, что в пятимерное?


Отвечают.


Пардон? Какую-какую структуру?

2 Лама
Где у меня написано, что цилиндр -- это лист мебиуса?!

А про структуру векторного пространства вы хорошо загнули. Ну-ка, что получится, если сложить южный полюс сферы с северным?

Пространство-время ни в какое пятимерное пространство не вложено, и, более того, не всегда вообще вкладываемо.

А то, что группы -- не многообразия, это тоже прикольно. Знаете, например, какая связь между SU(2) и сферой?

"Я сказал" (ц) А у Вас что, какие-то проблемы с вложением гладкого плоского пространства размерности n в гладкое плоское пространство размерности n+1 (или, по крайней мере, в пространство размерности 2n)? Или с получением 4-мерного пространства как гиперповерхности в 5-мерном?




Элементарно смотрите определение, данное МЭ. Она же Вас всем устраивает, не так ли?
ПС. Группа симметрии сферы и сфера, как поверхность, это не одно и то же, ИМХО.




Это не я загнул. Это МЭ, т.3, стр.734. Все претензии - к редакции источника



Здесь

Разумеется. +1 может не хватить. Например, двумерный плоский тор в трехмерное пространство не вкладывается, только в четырехмерное. И кстати, почему плоское, вы не слышали о кривизне пространства-времени?


Разумеется. Например, для двумерной сферы ее группа симметрии - уже трехмерная сфера. Но при этом все-таки сфера - многообразие.

2 Лама
Точно. И тем не менее, SU(2) -- это сфера. Только трехмерная.
Только я бы не сказал, что SU(2) -- это группа симметрии двумерной сферы. Это ведь все-ж таки не SO(3), а в два раза больше.
+1.
Сомневаюсь, чтобы в МЭ писали такой бред. Читайте внимательнее. Вы в курсе, что структура векторного пространства -- это когда точки (вектора) можно складывать? Так что вы уж все-таки сложите мне, пожалуйста, северный полюс с южным.
А разницы между этими двумя утверждениями вы не видите? Я же специально написал про "толщину" листа мебиуса.

Эээ, да. Я лажанул. Группа симметрии двумерной сферы - это не трехмерная сфера, это ее половина.

Я там упоминал еще, вроде, размерность 2n, Вы не заметили. Мы ж говорили о принципиальной вложимости поверхности в пространство большей размерности, и Ваш контрпример отвечал именно на этот мой тезис, нет (#132)?
Кривизна пространства-времени к делу не относится. Пространство-время - это Минковский. А Риман - это уже гравитация.
А вот что такое плоский тор, я, увы, не знаю. А обычный тор не кажется мне плоским Но он, насколько я могу судить, вполне таки вкладывается в R^3.

М_Т, извиняюсь, сейчас нет времени. Постараюсь ответить Вам завтра.

А этого я просто не помню. M_T пусть лучше скажет, сколько достаточно. Мне кажется, что это величина порядка n^2, но я могу и ошибаться.


Да ну? Мы говорили о принципиальной осмысленности этого вложения (которая прослеживается далеко не всегда), а также о практических фактах вложения конкретных многообразий (которые тоже не всегда).


Это ваше личное мнение.


Я имел в виду многообразие с топологией тора и всюду плоское, например, S^1xS^1.


Именно потому что плоский не вкладывается, вы неплоский и называете обычным.

2n + 1. Это, вроде, точная оценка: с одной стороны, всегда хватает,, а с другой, есть примеры, когда меньше не получается.
Нет, Мунин прав, мы говорили не про это, а про то, бывает ли, что многообразия встречаются в физике без конкретного выделенного вложения в объемлющее евклидово пространство.

Да? А мне казалось, что "А в физике многообразия - это вложенные поверхности." ( #127) имело ввиду просто обычную вложимость поверхностей...
А что "не всегда практические факты вложений"?



Эт потом, в качестве возражения мне. И оба контрпримера что-то не в масть. Например, насчет пространства-времени: "В физике многообразия играют роль моделей пространства-времени", при том, что "многообразие - геометрический объект, локально имеющий строение числового пространства R^n или другого ВЕКТОРНОГО пространства". Которые


"Любое топологическое, гладкое, или кусочно-линейное многообразие вкладывается в R^2n, а в R^(2n+1) множество вложений плотно в пространстве всех непрерывных отображений." (МЭ)

Насчет же примера с группой я не прав. Я как-то упустил из виду, что вторая операция в векторном (не унитарном) пространстве - это не умножение векторов, а умножение вектора на скаляр. Тогда группа действительно является многообразием. Но в таком случае она имеет представляющее пространство (поверхность) размерности n.



А мне каЦЦа, Эйнштейна



Так точки, или вектора? В каждой точке, если не ошибаюсь, можно задать сколько угодно векторов. А сложить два вектора, если определен параллельный перенос, разве проблема? (А точную цитату из МЭ я привел - еще раз! - чуть выше).



А я специально спросил, что Вы понимаете под цилиндром. Если такой же бумажный, как ЛМ, то как Вы устанавливаете изоморфизм между ними? А если не имеющий толщины и "сторон", то почему он цилиндр, а не ЛМ, и почему двукратный (на угол 4п) обход ЛМ соответствует однократному обходу (на угол 2п) вашего цилиндра?




ОК. Но Вы же сами и сказали, что плоский тоже вкладывается, хотя бы и в 4-мерное. В чем же опровержение моего тезиса, что в физике многообразия - это всегда вложенные поверхности? (я, правда. не очень понимаю, какое отношение плоский тор имеет к физике ). А обычным я называю именно обычный тор - бублик, который знаком любому. Не потому, что он вкладывается в 3-мерное пространство, а потому, что он обыденно физичен, т.е., наблюдаем.

Хым. А оно как-нибудь соотносится с количестом независимых компонент тензора кривизны Римана? Их, вроде, больше.


Если бы оно это имело в виду, то так и говорило бы: "вложимые", а не "вложенные".


Имеет. Только она при этом ни во что не вложена.


Напрасно вам это каЦЦа. У Эйнштейна было мнение, что пространство-время - это тоже Риман (точнее, псевдо-Риман). А Минковский там только локально (на физическом языке) или в касательных пространствах (на математическом).


Тор - это математический объект (как сфера, цилиндр, гиперболоид, прямая). Говорить о его физичности?

По порядку. Точки векторного пространства называются "вектора". Так, к сведению. И именно их можно складывать.
А про вектора которые можно задать в каждой точке... Тогда сложите мне вектор, заданный в северном полюсе, с вектором, заданном в южном. Намек: вы опять путаетесь. Вектора, о которых вы говорите -- это точки касательного пространства к многообразию. Касательное пространство в каждой точке -- действительно векторное пространство. Это, можно сказать, и имеется в виду в МЭ. Касательное пространство целиком -- уже никакое не векторное пространство, в лучшем случае, прямая сумма векторных пространств. А само многообразие -- не векторное пространство ни в коем разе.

А сложить два вектора, если определен параллельный перенос, разве проблема?
Проблема! Параллельный перенос на многообразии называется "связность". Вы где-нибудь в определении многообразия это слово видели? Это -- дополнитеная структура на многообразии. И определение многообразия на нее ну уж никак не опирается.

2 M_T
А расскажите, что такое связность без метрики?

А в чем разница?



Я думаю, что группа как многообразие - это ее представляющее пространство. А оно всегда является подмногообразием другого многообразия, т.е. вложено.




А Риман не локально? Или у нас есть глобальная метрика?



Бублик - это физический объект? Форма, ИМХО, - это физическое свойство, сформулированное на языке математики. Если бы математика конструировала только нечто ненаблюдаемое, то это были бы просто знаковые системы на бумаге (хотя и они наблюдаемы), игра ума. Так что, говоря о поверхностях, я бы предпочел не отрываться от физики.



Разве я цитировал, что оно - векторное пространство? По-моему, что оно "локально имеет строение векторного пространства", нет? Локально - оно точка поверхности. В целом оно существует только когда задана связь точек, причем так, чтобы можно было преобразовать эти локальные векторные пространства друг в друга. Дык а для любой поверхности что, не то же самое?
Вся разница в том, что группа преобразований для всей поверхности одна, а для многообразия их множество для разных подмногообразий. И, значит, надо задавать унификацию этого множества, иначе у нас вообще не будет ничего определенного. Т.е., многообразие оказывается просто склейкой поверхностей, производимой по правилу, задающему множество групп преобразований. Ну, и что это меняет во всем прежде сказанном относительно листа Мебиуса?




См. предыдущий абзац.

И что насчет изоморфизма цилиндра листу Мебиуса?