Задумали новую тему - получили непривычные для меня уравнения.

Помимо прочего, нужно будет решать уравнения теории упругости в статической постановке для перемещений (упругие волны описывать не хочу, хочу развитие напряжений в результате выделения тепла и механических ограничений). В смысле d(\sigma_{i j})/dx_j+f_i=0, где \sigma_{i j} выражены через перемещения и изменение температуры. Материал ортотропный, так что связь не самая простая. Задачка плоская, геометрия прямоугольная. Граничные условия смешанные - где-то жестко держим, где-то свободная граница. Получаем два уравнения второго порядка, в которых есть какие угодно производные от обеих компонент перемещения. Как бы с ними получше разобраться: как-то расцепить, чтобы дальше прогонкой? итерационными методами? В вариационные ввязываться не хочу. Книжку Победря уже смотрел, но ясности пока не достиг.

А можно поконкретней постановку? Выражение для тензора напряжений типа ЛЛ7, (6.2) с поправкой на анизотропию (см. (10.3), (10.11))? Что такое "ортотропный"? "Ромбический" по терминологии того же параграфа 10? Границы вдоль кристаллографических осей? Температура задана как функция координат? То есть запутанные неоднородные уравнения с неоднородными граничными условиями? И еще нужен небольшой ликбез: что понимается под прогонкой и зачем для этого расцеплять уравнения?

2 Winnie-the
А что известно насчет дифференциального оператора? Я может быть, неумную вещь скажу, но не имело бы смысл свести задачу к нестационарной? (Ну примерно как иногда задачу для уравнения Пуассона сводят к задаче для уравнения теплопроводности.) А там задать разумные начальные условия и смотреть, к чему будет сходиться.

а почему бы не попробовать мкэ? есть куча софта...

2peregoudov
Ортотропный вот в этом смысле + вклад теплового расширения (проще и точнее привести ссылку на матрицу, чем пытаться описать ее словами). Для упругой части задачи температура и постоянные упругости --- функции координат. Так-то она меняется со временем, потому что есть еще уравнения теплопроводности и хим. кинетики, которая и дает энерговыделение. Под прогонкой понимается стандартный метод решения уравнений, дающих трехдиагональную матрицу. Просто я привык к нестационарным уравнениям, в которых есть выделенная неизвестная, а остальные можно запихнуть в правую часть и взять с предыдущего шага/подшага (ну, еще для уравнений типа Пуассона у меня давно есть заготовка). Когда получаю систему из двух стационарных уравнений, в каждом из которых равноправно представлены все вторые производные от двух неизвестных, начинаю психовать. Возможно, необоснованно.

2Cartesy
Дело в том, что решать уравнения упругости нужно на каждом шаге по времени для уравнений теплопроводности и кинетики. Нестационарность, 2D --- если еще внутри стационирование сделать, очень медленно может получиться. По крайней мере, честное стационирование: скорость волн в твердом теле --- несколько км/с, а у меня характерное время процесса часы.

2tkm
В куче софта реализованы те модели, которые реализованы, а не те, которые мне нужны Если есть просто функция, решающая уравнения такого вида, конечно, можно встроить в свой код и воспользоваться. Я мкэ никогда не работал, поэтому начинать разбираться почти с нуля не хотелось бы, тем более, что реализовывать предстоит не мне, а студенту. Было бы хорошо свестись к чему-то конечно-разностному с трехдиагональной матрицей. Или итерационному, благо они обычно не очень трудные.

ортотропные материалы + тепловыделение точно есть... м.б. вы просто не те конечные элементы смотрели?
не претендую на звание эксперта, но по опыту прошлой работы, Ansys Mechanical/Multiphysics стоит все ж посмотреть...

Пока все-таки хочется сделать самим. Для этого и геометрия простая. Инициировавшая эту тему Scientist использовала Comsol, так что код, дающий картинку, есть Хочу сделать код, решающий ту задачу, которую ставили. По небольшому опыту с тем же Ansys: в научных задачах его стоит использовать с большой осторожностью. В инженерных он полезен, это да.

ну у меня был чисто инженерный опыт:
найти моды в демпфирующей вставке в вал газовой турбины, изготовленной из особого композита
стандартное средство решение у нас было - Ansys

P.S. правда,я эту задачу не доделал - уволилсся

Ну да, "ромбический" по Ландау, иногда еще орторомбическим называют.

Так у вас еще и упругие постоянные от координат зависят. Тогда уж точно ничего разделить не получится. Можно только рассуждать об эффективности численных алгоритмов. Насколько я понял, вы хотите как-то использовать тот факт, что матрица системы редкая? Если считать сетку квадратной и обозначить число узлов через n*n, то какой сложности алгоритм вас бы устроил?

Насколько я понимаю, непосредственно трехдиагональная матрица возникает при решении одномерного уравнения. Здесь же возникает матрица, у которой три тройки ненулевых диагоналей, сдвинутые друг относительно друга на "n" позиций. Дальнейших ваших рассуждений не понял.

А что вы понимаете под "итерационными методами"?

ну... типа есть метод конечных элементов на треугольниках.

гуглите Spectral Element Method, Irrregular Meshes (Triangular Meshes)

Так, стал разбираться подробнее, понял, что мало что понимаю. Если считать по обычным уравнениям теории упругости (см. мой начальный пост), то смещения/деформации/напряжения можно посчитать в любой момент (они зависят от температуры, но не влияют на нее), только надо выбрать температуру недеформированного состояния, чтобы посчитать \epsilon_{T}=\alpha*\Delta T. С этим закавыка: некоторые авторы считают недеформированным состоянием состояние с максимальной температурой в процессе отверждения композита, и таким образом учитывают только деформацию в ходе охлаждения, а другие обоснованно (имхо) говорят, что так нехорошо. Есть пара статей, в которых как-то накапливают смещения и напряжения в течение всего процесса и получают ненулевую остаточную деформацию после возвращения к исходной температуре. Какие в точности уравнения они при этом решают - пока не рассек. Кто-нибудь с таким сталкивался?

Я не сталкивался, но мне кажется, теория упругости в принципе не способна решить задачу "отверждения". Она исходит из того, что твердое тело уже есть. Видимо, проблема в том, как это твердое тело возникает при отверждении, но это выходит за рамки теории упругости.

Проблемы с начальной температурой в том, что, с одной стороны, используется лагранжево описание, то есть неявно введено некоторое "недеформированное состояние" тела, а, с другой стороны, деформации считаются малыми. Деформации при изменение температуры можно трактовать двояко: и как "истинные" деформации и как "перенормировку" недеформированного состояния, отсюда и неоднозначность.

Это действительно так. Есть специальные разделы: плавление и отвердевание, там совсем другие системы уравнений.

А ссылка на другие системы уравнений есть? Понятно, разбираться буду в основном по статьям композитной тематики, но посмотреть, что вокруг, тоже любопытно.

Попробую прикрутить мануал для Ansys 14, если получиться... Пока проблемы, там 250 мег документов, если не получиться у Вас скачать в другом месте, то буду делать вырезки.

Спасибо, мануал для Ansys я и сам смогу добыть. Я просто не подумал о нем.
Господи, куда же мы катимся: специалисты по моделям турбулентности советуют смотреть уравнения и константы в мануале Ansys, уравнения для напряжений при отверждении среды предлагается искать там же, когда на конференции спрашиваешь, чем считали, отвечают: Ansys. А если его разработчики в один прекрасный день перемрут? Кто новый писать будет?

Черт возьми! Я всегда об этом и говорю! Последние 3 года перешел (перехожу) на Linux CentOS, там сам собираешь gnu c++/c/fortran/ada/java, потом транслируешь OpenFOAM... еще много чего... но если разработчики и перемрут (тьфу-тьфу-тьфу, многия им лета!) то исходники у нас останутся....

Нестационарность не страшна - можно использовать логарифмический набор шагов, который дает огромную скорость сходимости к стационарному решению.

Двухмерность (при нестационарности) тоже не страшна - можно применить факторизацию, которая расщепит соответствующий разностный оператор с пятидиагональной матрицей на произведение двух разностных операторов с трехдиагональными матрицами, для которых можно применить прогонку, что даст огромный выигрыш по времени вычислений.

Немного не в тему, но все же:

http://urss.ru/cgi-bin/db.pl?id=158886&...u&page=Book

Такой книги в электронном виде нет ни у кого?