Алексей Максимович многие годы работал в Институте астрономии Российской академии наук, одновременно плодотворно занимаясь научной и педагогической работой. Сфера его научных интересов чрезвычайно широка: это физика плазмы, гидродинамика, физика нелинейных волн, геодинамика, физика звездных и планетных систем, структура галактик. Он признанный мировой лидер в области исследования процессов в гравитирующих системах во Вселенной.

Он создал линейную теорию устойчивости классических фигур равновесия бесстолкновительных звездных систем и заложил основы нелинейной теории устойчивости и турбулентности гравитирующей среды; построил теорию переноса и теорию коллективных и резонансных процессов в системе неупруго сталкивающихся гравитирующих частиц, что позволило объяснить иерархическую структуру колец Сатурна, резонансную природу колец Урана и предсказать существование серии малых спутников. Им была создана гидродинамическая теория генерации спиральной структуры галактик; были предсказаны гигантские вихри в дисках спиральных галактик. Алексею Максимовичу принадлежит открытие двух сильнейших гидродинамических неустойчивостей в природе центробежной и неустойчивости сверхотражения. Его монографии на русском и английском языках широко используются всем мировым научным сообществом; огромны его заслуги в создании крупной научной школы.

Его труды и блестящие научные результаты по достоинству были оценены тремя Государственными премиями СССР и РФ, премией Триумф. Алексей Максимович навсегда останется в наших сердцах как очень обаятельный и интересный человек.