10.2 Формулы Оорта
В формулах (10-5) - (10-6) неизвестными являются как постоянные R0 и ω0, так и функция ω(R), поэтому непосредственно их использовать затруднительно. Традиционно для исследования кинематических свойств галактического диска пользовались двумя вариантами приближенных формул, получаемых с помощью разложения правых частей основных формул в ряд по малым параметрам. Получим эти формулы. Считая, что функция ω(R) является непрерывной, можно разложить ее в ряд по степеням (R-R0):
Ограничимся первой степенью разложения и подставим этот отрезок ряда (10-7) в формулу (10-5). Получим:
Введя обозначение A = -1/2 R
0ω'
0 , где величина A носит название
постоянной Оорта, получаем
первую из приближенных формул, верную для объектов, мало уклоняющихся от круга Солнца:
Согласно теореме косинусов из треугольника S0OS можно записать:
Правую часть выражения (10-10) разложим в ряд, считая малым отношение
r/R0, и оставляя только линейный член разложения, получим
R - R0 = -r cos l. Подставив это выражение в разложение кривой вращения (10-7) и ограничиваясь первым членом ряда, получим:
Разность угловых скоростей из (10-11) подставим в выражение (10-5), заменим при этом
cos l sin l на 1/2
sin 2l, получим:
Вновь вводя постоянную Оорта
A = -1/2 R0ω'0 в выражение (10-12) и приводя объекты к галактической плоскости еще одним умножением на
cos b , получаем знаменитую
формулу двойной волны Оорта:
|
Считается, что формула (10-13) удовлетворительно описывает дифференциальное галактическое вращение до расстояний от Солнца порядка 1 кпк, для больших расстояний следует учитывать еще один член в разложении. В формуле (10-13) добавлен член K, не фигурировавший при ее выводе. Его ввели из тех соображений, что наблюдаемые лучевые скорости могут иметь систематическую составляющую, не связанную с вращением Галактики. Во всяком случае, практика показала, что при решении уравнения (10-13) методом наименьших квадратов, введение K-члена улучшает результаты расчётов. Появление K-члена в лучевых скоростях может вызываться многими причинами. Во-первых, определение лучевых скоростей - непростое дело, и вполне возможно появление систематических ошибок при получении лучевых скоростей из наблюдений спектров звёзд. Во-вторых, для некоторых типов звёзд, прежде всего - О-звёзд главной последовательности, заметным является гравитационное красное смещение, достигающее у звёзд класса O5V величины 3.5 км/с. В третьих, в движениях звёзд может присутствовать постоянная составляющая, вызываемая расширением или сжатием той подсистемы, кинематические свойства которой мы изучаем. Так, для ярких В-звёзд окрестностей Солнца K-эффект достигает величины +4.5 км/c и вызывается особенностями движений в Местной Системе - Поясе Гулда.
Наблюдаемая лучевая скорость в данной модели есть сумма из трех компонентов - следствия галактического вращения, движения Солнца в пространстве и пекулярной скорости объекта. Зная скорость Солнца в пространстве и расстояния до объектов, можно получить по наблюдаемым лучевым скоростям объектов оценку постоянной Оорта A. Величина A, характеризующая наклон касательной к кривой вращения, оказывается положительной и приблизительно равной 15 км/с/кпк. Положительность постоянной Оорта A означает отрицательность производной от угловой скорости вращения Галактики, значит в окрестностях Солнца угловая скорость вращения убывает с ростом галактоцентрического расстояния.
Рассмотрим теперь влияние дифференциального вращения Галактики на тангенциальные компоненты движения звёзд. Разность проекций круговых скоростей V и V
0 на плоскость, перпендикулярную лучу зрения (картинную плоскость) дает тангенциальную скорость:
Из рис.10-1 можно найти следующую связь:
с помощью которой можно выразить
cos(Θ + l) и, подставив его в (10-14), получить:
Заменив
V0/R0 через ω
0, а
V/R через ω, получим выражение:
для описания влияния дифференциального галактического вращения на тангенциальный компонент скорости по галактической долготе. Вновь используя соответствующие разложения, приходим к формуле Оорта для приближенного описания этого влияния при небольших, по сравнению с R0, расстояниях от Солнца:
где введено обозначение
B = -ω0 - 1/2ω'(R0)R0 -
вторая постоянная Оорта. По измеренным собственным движениям и расстояниям до объектов выборки постоянные Оорта A и B можно вычислить по формуле (10-18) методом наименьших квадратов. Из определения постоянных Оорта имеем:
Это выражение дает возможность найти частоту вращения Галактики на солнечном галактоцентрическом расстоянии. Эту задачу мы рассмотрим в 10.4.
