Математическое моделирование волноведущих систем

Одной из крупных научных групп кафедры математики является группа, занимающаяся математическим моделированием широкого класса волноведущих систем. Руководителем этой группы является крупнейший специалист в области вычислительной электродинамики и математической физики заслуженный деятель науки Российской Федерации, лауреат Государственной премии и Ломоносовской премии МГУ, академик РАЕН, заслуженный профессор Московского Государственного Университета А. Г. Свешников. В состав группы входят: доктор физико-математических наук лауреат Ломоносовской премии МГУ профессор А. Н. Боголюбов, доктор физико-математических наук профессор А. Л. Делицын, кандидаты физико-математических наук: И. А. Буткарев, М. Д. Малых, Д. В. Минаев, И. Е. Могилевский, Н. Е. Шапкина.

Под волноведущей системой обычно понимают либо специальное устройство - волновод, либо канал в неоднородной среде, по которому могут распространяться волны различной природы: акустические (в акустических волноводах), электромагнитные (в радиоволноводах, световодах), сейсмические и т. п. Благодаря фундаментальным работам А. Н. Тихонова, А. А. Самарского, В. Г. Кисунько, П. Е. Краснушкина, А. Г. Свешникова и ряда других ученых высокочастотная электродинамика волноведущих систем из чисто технической области радиофизики превратилась в строгую математическую теорию, определяющую новое научное направление в математической физике.

Разработанная на основе этой теории методика позволила построить алгоритмы для расчета волноведущих систем со сложным неоднородным и анизотропным заполнением, в частности, анизотропным, гиромагнитным и киральным.

Изучение нерегулярных волноводов, то есть волноводов, содержащих различные включения или изогнутой формы, потребовало разработки специальных математических методов. Одним из таких методов является предложенный А. Г. Свешниковым в начале 60-х годов неполный метод Галеркина, давший возможность достаточно точно и математически обоснованно моделировать многие электродинамические структуры. В развитие, обоснование и реализацию неполного метода Галеркина для исследования широкого круга задач о распространении коле-баний в различных волноведущих системах внесли вклад как безвременно скончавшийся в 2005 году профессор нашей кафедры В. П. Моденов, так и его многочисленные ученики.

В последние годы жизни В. П. Моденов уделял большое внимание математическому моделированию резонаторов. Объемным резонатором называется колебательная электромагнитная система, представляющая собой область, ограниченную либо металлической поверхностью, либо поверхностью, соприкасающейся с менее плотной электромагнитной средой, либо их комби-нацией. Сейчас его ученики продолжают исследование резонансных структур совместно с сотрудниками кафедры радиофизики, имеющими мощную экспериментальную базу, а также сотрудниками Центра магнитной томографии и спектроскопии МГУ, руководителем которого является профессор Ю. А. Пирогов.

Одной из весьма важных и сложных задач, требующих глубокого математического изучения, является задача о расчете электромагнитного поля в волноведущих системах при наличии ребер на их границах. Подобные задачи возникают при расчете металлических радиоволноводов, полосковых линий, систем интегральной и волоконной оптики. В нашей научной группе развита методика исследования поведения электромагнитного поля вблизи ребристых участков границы волновода.

За последние годы произошло существенное расширение класса волноведущих систем. Большое распространение получили микроминиатюрные интегральные схемы на основе планарных и волоконных световодов, оптические датчики, диэлектрические и металлодиэлектрические волноводы нерегулярной геометрии и с неоднородным заполнением и различные систе-мы и устройства на их основе. Огромные возможности в плане создания эффективных числен-ных методов для расчета таких систем дает метод конечных разностей в прямой и вариационной постановках (метод конечных элементов), основополагающими работами в области которого являются работы А. Н. Тихонова и А. А. Самарского. На основе этого метода А. Г. Свешниковым, А. Н. Боголюбовым и их учениками выполнен большой цикл работ по решению задач математического моделирования широкого круга устройств высокочастотной электродинамики, волоконной и интегральной оптики. Наряду с задачами расчета характеристик волноведущих систем (задачами анализа) решались задачи их синтеза, то есть задачи математического проектирования для определения основных характеристик синтезируемого устройства, при которых оно обладает заданными физическими свойствами и отвечает требуемым техническим характеристикам. Задачи синтеза принадлежат к классу обратных задач. Наиболее полный и универсальный подход к решению задач синтеза волноведущих систем предложен в работах А. Г. Свешникова и А. С. Ильинского. Он заключается в рассмотрении указанных задач как математически некорректных с использованием для их решения метода регуляризации А. Н. Тихонова. Применяется вариационная постановка задачи синтеза, при которой строят оценивающий функционал и ищут его экстремум. При этом исходная задача рассматривается в наиболее полной физической постановке: требуется определить как геометрические, так и физические характеристики устройств и параметры способа возбуждения, дающие требуемое решение исходной задачи.

В последнее время в ряде областей физики и техники проявляется большой интерес к задачам идентификации с помощью рассеянного ими света наноразмерных объектов, находящихся в растворах и слоистых средах. Разработанные на кафедре математики совместно с ведущим научным сотрудником факультета ВМиК Ю. А. Ереминым (также выпускником кафедры математики физического факультета), методы дискретных источников позволили получить ряд очень интересных результатов в исследовании подобных проблем.

Разработанные методы исследования волноведущих систем позволяют рассматривать более сложные системы, в частности, системы с гиротропным (киральным) заполнением. Киральная среда - это среда, локальные макроскопические свойства которой неинвариантны относительно зеркальных отражений, то есть изменяются при некоторых зеркальных отображения. Отсутствие зеркальной симметрии называется киральностью. В категорию киральных попадают многие объекты, как природные, так и искусственные. Примерами могут служить молекулы сахаров, аминокислот, ДНК и органических полимеров, проволочная спираль, лист Мебиуса. Также одним из интереснейших направлений деятельности нашей группы является математическое моделирование фотонных кристаллов и волноведущих систем на их основе. В определенном спектральном диапазоне свет любой поляризации не может распространяться в фотонном кристалле ни в каком направлении в одном, двух или трех измерениях. Это и есть уникальное свойство фотонного кристалла, с которым принято связывать возможные революционные события в технике оптической связи, физике лазеров и оптической компьютерной технологии. Перспективным направлением является также исследование волноведущих систем с фрактальной структурой.

Члены научной группы принимают активное участие в работе научных семинаров кафедры, а также в работе межфакультетского научного семинара 'Численные методы электродинамики' под руководством проф. А. Г. Свешникова проф. А. С. Ильинского. Наша научная группа традиционно много работает со студентами, причем начиная с младших курсов. На кафедре работает научный семинар группы по математическому моделированию для студентов и аспирантов. За последние два года второкурсниками было успешно выполнено большое количество курсовых работ по тематике нашей группы, причем результаты ряда из этих работ докладывались на студенческой научной конференции 'Ломоносов' (например, доклад А. Ерохина и Р. Гущина в 2005 г. был признан одним из лучших на секции). Многие из этих второкурсников продолжили обучение на кафедре математики и сейчас активно участвуют в научных исследованиях. Студенты кафедры, работающие по тематике группы, выступают на научных семинарах и конференциях, публикуются в научных журналах, участвуют в грантах кафедры, а по окончании учебы многие из них поступают в аспирантуру. Ряд студентов нашей группы отмечен именными стипендиями, например, студент 6 курса Д. А. Петров отмечен стипендиями им. М. В. Ломоносова, РАО 'ЕЭС России' и правительства РФ. В последние годы аспирантами нашей группы успешно защищен ряд кандидатских диссертаций.

Сотрудники, аспиранты и студенты нашей группы ведут работу по грантам Российского фонда фундаментальных исследований и ряда других организаций. Исследования выполняются как по грантам внутри кафедры, так и совместно с Центром магнитной томографии и спектроскопии МГУ.