Согласно Государственному образовательному стандарту послевузовского образования и в соответствии с Положением о проведении спецкурсов для аспирантов кафедры математики аспирант обязан прослушать три спецкурса по его выбору (согласованному с научным руководителем) и выдержать по ним устные экзамены.

Спецкурс кафедры математики представляет собой семестровый курс лекций (2 часа в неделю), сопровождаемый самостоятельными и практическими работами. Вместо спецкурса кафедры математики аспирант может прослушать и сдать экзамен по спецкурсу, читаемому для аспирантов физического факультета на другой кафедре. Полный перечень спецкурсов можно получить в отделе аспирантуры.

Математические модели и численные методы в динамике жидкости и газа

Лекторы: профессор Елизарова Т.Г.

Отчетность: устный экзамен.

Аннотация:

Программа курса:

1. Введение. Историческая справка о развитии математических моделей для описания течений жидкости и газа. Вывод уравнений газовой динамики на основе законов сохранения: Процедура осреднения. Пространственные и пространственно-временные средние. Уравнение неразрывности. Преобразование Галилея. Интегральные законы сохранения. Переход к дифференциальным уравнениям. Диссипативный характер уравнений.
2. Классический способ замыкания - уравнения Навье-Стокса. Уравнения Эйлера. Нетрадиционный способ замыкания - квазигидродинамическая и квазигазодинамическая (КГД) системы. Вектор плотности потока массы и параметр релаксации. Барометрическая формула Лапласа. Дивергентный и недивергентный вид уравнений. Преобразование Галилея на примере одномерного течения.
3. Основные понятия теории разностных схем по А.А.Самарскому - сеточный шаблон, виды аппроксимации, точность, или порядок аппроксимации в точке, устойчивость и сходимость разностных схем. Численные алгоритмы решения одномерных задач газовой динамики: Разностная аппроксимация одномерных нестационарных уравнений. Пример вязкого течения - задача о структуре ударной волны. Условия Рэнкина-Гюгонио. Расчет на основе КГД уравнений и уравнений Навье-Стокса. Сравнение с экспериментом для одноатомных газов. Введение искусственной диссипации. Пример невязкого течения - задача о распаде сильного разрыва.
4. Двумерные задачи газовой динамики и численные алгоритмы их решения: Вид уравнений в плоской геометрии. Задача о течении газа в канале. Начальные и граничные условия. Пример точного решения - течение Куэтта. Безразмерный вид уравнений. Упрощенные формы уравнений газовой динамики. Задача Блазиуса и приближение Прандтля. Параболизованные уравнения. Приближение Стокса.
5. Разностные алгоритмы решения 2Д уравнений газовой динамики. Запись уравнений в потоковом виде и метод контрольного объема. Численное решение уравнений на прямоугольных сетках. Аппроксимация граничных условий с помощью фиктивных узлов. Однородность разностной схемы. Искусственная диссипация. Особенности численного моделирования дозвуковых течений. Искусственная диссипация. Неотражающие граничные условия на свободных границах. Численное решение уравнений газовой динамики в областях сложной формы: Преобразование координат. Неструктурированные сетки и построение численного алгоритма. Примеры расчетов - нестационарное течение в канале со ступенькой в невязкой постановке. Течение в окрестности цилиндрического торца. Параметры торможения. Течение за обратным уступом. Течение в следе за цилиндром. Дорожка Кармана.
6. Элементы кинетической теории. Уравнение Больцмана. Интеграл столкновений. Н-теорема. Построение моментных уравнений. Равновесная функция распределения и уравнения Эйлера. Уравнения Навье-Стокса. Расчет средних величин в равновесном газе. Кинетические оценки для коэффициентов диффузии, вязкости и теплопроводности.
7. Релаксационный вид интеграла столкновений - БГК приближение и построение моментных уравнений. Варианты БГК-приближения и построение моментных уравнений для неравновестных газов. Уравнения для описания бинарной смеси нереагирующих газов. Численное моделирование течений разреженного газа. Свободномолекулярные течения. Течения с умеренными числами Кнудсена. Кнудсеновский слой и граничные условия Максвелла. Кинетическая модель разлет-столкновения. Метод прямого численного моделирования Монте-Карло. Демонстрация работы программы.
8. Разностная аппроксимация уравнения Больцмана. Кинетически-согласованные разностные схемы. Модельное кинетическое уравнение и его свойства. Кинетический вывод КГД уравнений. Пример построения КГД системы для одномерного плоского течения. Варианты КГД уравнений для моделирования неравновесных течений. Инвариантный вид КГД уравнений. Представление КГД уравнений в виде законов сохранения. Коэффициенты релаксации и их обобщения. Асимптотика стационарных КГД уравнений.
9. Моделирование течений вязкой несжимаемой жидкости: Уравнения Навье-Стокса и квазигидродинамические КГД уравнения. Теорема об энтропии. Уравнения КГД и Навье-Стокса для несжимаемого течения. Теорема о диссипации кинетической энергии. Вид уравнений для плоского двумерного течения. Примеры точных решений - закон Архимеда, течения Куэтта и Пуазейля, нестационарные задачи Стокса и Рэлея. Приближение Буссинеска и модель тепловой конвекции. Примеры точных решений - течения в плоском вертикальном и горизонтальном слое.
10. Численные алгоритмы для расчета вязких несжимаемых течений. Безразмерный вид. Естественные переменные и переменные 'функция тока - вихрь скорости'. Уравнения Пуассона для давления и функции тока. Особенности постановки граничных условий. Примеры расчетов - течение в квадратной каверне, течение за обратным уступом. Тепловая конвекция в квадратной полости, течение расплава при низких числах Прандтля и моделирование колебательных режимов. Многопроцессорные вычислительные системы, МВС 1000М. Замечания о параллельной реализации численных алгоритмов.

Литература:

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. Москва, Наука, 1986.
2. Берд Г.А. Молекулярная газовая динамика. Москва, 1981.
3. Самарский А.А. Теория разностных схем. Москва, 1987.
4. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. Москва, 1980.
5. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика т.10. Москва, Физматлит, 2002.
6. Калиткин Н.Н. Численные методы. М., Наука, 1978.
7. Шеретов Ю.В. Математическое моделирование течений жидкости и газа на основе квазигидродинамических и квазигазодинамических уравнений. Тверь, Тверской гос. Университет, 2000.
8. Шеретов Ю.В. Математические модели гидродинамики. Учебное пособие. Тверь, Тверской гос. Университет, 2004.
9. Елизарова Т.Г. Квазигазодинамические уравнения и методы расчета вязких течений. Москва, Научный мир, 2007.
10. Елизарова Т.Г. Математические модели и численные методы в динамике газа и жидкости. Лекции. М.: физич. ф-т МГУ, 2005

Доступные материалы:

• Экзаменационные вопросы (осенний семестр 2007-2008)