Кафедра математики Физического Факультета МГУ им. М.В. Ломоносова |

Кафедра математики физический факультет МГУ

English version

Главная

Новости

О кафедре

Обучение

Научная работа

Студенты,
Аспиранты

Сотрудники

Абитуриенту

АРХИВ

Главная

Обучение

Специальные курсы

Линейный и нелинейный функциональный анализ

Функциональный анализ и элементы математической физики

Читается с 7-ого по 9-ый семестр.
7,8-й семестры по 4 часа лекций в неделю, 9-й семестр по 2 часа лекций в неделю

Лекторы: Корпусов М.О., Панин А.А.

Отчетность: экзамен.
Курс функционального анализа читается в течение 3-х семестров (7-9) и содержит как традиционный материал по основам функционального и вещественного анализа, так и приложения в области линейных и нелинейных задач математической физики. Часть лекций (с номерами, помеченными литерами) посвящены рассмотрению примеров, а также развитию и углублению теоретического материала. В качестве домашнего задания студентам даются задачи средней сложности, непосредственно связанные с материалами каждого семинара. Решения задач студенты защищают перед лектором в устной форме. В 7-8 семестрах изучается теория меры и интеграл Лебега; свойства метрических, топологических, нормированных (в основном банаховых), гильбертовых и векторных топологических пространств. Достаточно подробно изучаются свойства линейных операторов в банаховых и гильбертовых пространствах (в т. ч. элементы спектральной теории), излагаются элементы теории двойственности банаховых и векторных топологических пространств. Изучаются пространства Лебега, Соболева, функций ограниченной вариации и их приложения к задачам математической физики. В 9 семестре продолжается изучение геометрических и топологических свойств банаховых пространств, а также излагаются идеи и методы нелинейного функционального анализа. Прежде всего, исследуются такие свойства нелинейных отображений, как дифференцируемость по Гато и по Фреше, непрерывность, компактность, вполне непрерывность и полная непрерывность. Вводится важное понятие оператора Немыцкого и теорема М. А. Красносельского. Затем рассматриваются различные вариационные методы, такие, как метод Люстерника-Шнирельмана в сочетании с принципом компактности Пале-Смейла, затем метод глобального расслоения С. И. Похожаева, метод рода множества М. А. Красносельского в сочетании с методом, основанном на теореме о горном перевале. После рассматриваются такие методы, как метод компактности, монотонности и теорем о неподвижной точке. В конце курса рассматриваются основные методы доказательства разрушения решений начальных и начально-краевых задач для уравнений в частных производных.

Литература:

Основная.

Арсеньев А. А. Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Ижевск: РХД, 2011.
Корпусов М.О., Свешников А.Г. Нелинейный функциональный анализ и математическое моделирование физики. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010.
Струве М. Вариационные методы. Приложения к нелинейным уравнениям в частных производных и гамильтоновым системам. М.: УРСС, 2011.

Дополнительная.

Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория. Т.1-3. М.:Издательство иностранной литературы. 1962-1974.
Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.1-4. М., Мир, 1977-1982.
В.И.Богачев. Основы теории меры. Тома 1-2. Научно-издательский центр 'Регулярная и хаотическая динамика'. Москва-Ижевск, 2003г.
С.С.Кутателадзе. Основы функционального анализа. Издательство 'Наука', Сибирское отделение. 1983г.
П.Халмош. Гильбертово пространство в задачах. ИО НФМИ. 2000г.
К.Иосида. Функциональный анализ. Издательство 'Мир', 1967г.
А.Я. Хелемский. Лекции по функциональному анализу. МЦНМОБ 2004г.
В.М. Федоров. Курс функционального анализа. 'Лань'. 2005г.
Шилов Г.Е., Гуревич Б.Л. Интеграл мера, производная. М.: Наука, 1964.
Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М.: , Наука, 1977.
Канторович Л.В, Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.
Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа. М.: Наука, 1982.
Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1976
П.Н.Князев. Фукциональный анализ. УРРС, 2003г
Ж.Дьедоне. Основы современного анализа. Москва. Мир. 1964г.
А.А.Кирилов. Теоремы и задачи функционального анализа. Москва. 'Наука'. 1988г
В.А.Треногин, Б.М.Писаревский, Т.С.Соболева. Задачи и упражнения по функциональному анализу. Москва. 'Наука'.1984г.
В.А.Треногин. Функциональный анализ. Москва. 'Наука'. 1993г.
У.Рудин. Функциональный анализ. Издательство 'Лань', 2005г.

Доступные материалы:

Первая дата является датой выкладки материала, вторая - датой последней перевыкладки после исправления замеченных опечаток. В случае восстановления материалов после технических проблем с сайтом ставится дата восстановления. В случае внесения несущественных технических правок (не связанных с содержанием материала) дата не обновляется