Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://mmmf.msu.ru/archive/19992000/spivak67/s_isol2.html
Дата изменения: Sun Apr 10 01:31:17 2016
Дата индексирования: Sun Apr 10 01:31:17 2016
Кодировка: Windows-1251
Кружок А. В. Спивака | 1999-2000 | Архив | Малый мехмат МГУ

МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Избранные задачи домашних олимпиад
Часть II

308.  

На какое наименьшее число частей надо разрезать торт, чтобы его можно было раздать поровну как троим, так и четверым?
Предупреждение   Указание   Ответ

309.  

В скачках участвуют три лошади. Игрок может поставить некоторые (не обязательно одинаковые) суммы денег на каждую из них. Ставку на первую лошадь принимают в отношении 1 : 4. Это означает, что если первой прибежит первая лошадь, то игрок теряет деньги, поставленные на вторую и третью, но ему возвращают деньги, поставленные на первую, и еще четыре раза по столько же. На вторую лошадь ставки принимают в отношении 1 : 3, а на третью - 1 : 1. Можно ли поставить деньги так, чтобы выиграть при любом исходе скачек? (Разумеется, считайте, что хотя бы одна лошадь прибегает первой: ситуация, когда ни одна из лошадей не достигает финиша, очевидно проигрышная для игрока и поэтому ее не надо рассматривать.)
Ответ   Решение

310.  

Какое наибольшее число сторон может иметь многоугольник, являющийся пересечением четырехугольника и треугольника?
Ответ   Указание I   Указание II   Решение

311.  

а) Конь вышел с некоторого поля шахматной доски и через несколько ходов вернулся на него. Докажите, что он сделал четное число ходов.
Указание
б) Из шахматной доски выпилено угловое поле. Может ли конь обойти все оставшиеся поля по одному разу и вернуться на исходное поле?
Ответ   Указание
в) Может ли конь пройти из левого нижнего угла шахматной доски в правый верхний, побывав на каждом поле ровно один раз?
Ответ   Указание

312.  

Крест составлен из пяти равных квадратов. Разрежьте его на такие части, из которых можно (без дыр и перекрытий) составить квадрат.
Указание

313.  

Если от некоторого двузначного числа отнять 2, то результат разделится нацело на 3, а если отнять не 2, а 3, то разделится не на 3, а на 2. Если к этому числу прибавить 4, то результат разделится нацело на 5, а если от него отнять 5, то разделится на 4. Более того, если от этого числа отнять 5, то разделится нацело на 6, а если же от нашего числа отнять 6, то разделится на 5. И это еще не все: если к этому замечательному числу прибавить 7, то результат разделится на 8, а если прибавить 8, то разделится на 7. Что же это за число?
Ответ

314.  

Придумайте 10 натуральных чисел, у которых и сумма, и произведение равны 20.
Намек   Указание   Ответ

315.  

а) Когда комиссия приехала в больницу, там находились 3 врача и 1996 пациентов. Комиссия попросила каждого указать двух врачей. Каждый врач назвал двух других врачей, а пациенты называли кого угодно. Докажите, что комиссия смогла выявить хотя бы одного пациента.
Подсказка   Решение
б) В Конторе работают 200 психически здоровых и 1999 сумасшедших сотрудников. Однажды каждый сотрудник написал докладную записку, в которой перечислил 1999 своих коллег, по его мнению, сумасшедших. Каждый психически здоровый сотрудник верно указал всех сумасшедших, а каждый сумасшедший мог указать на кого угодно, кроме себя. Докажите, что на основании этих данных можно выявить по крайней мере 199 сумасшедших.
Указание   Решение

316.  

По кольцевой линии метро курсируют 24 поезда. Они идут в одном направлении с одинаковыми скоростями и равными интервалами. Сколько поездов надо добавить, чтобы при той же скорости уменьшить интервалы на 1/5?
Ответ

317.  

В одной из трех комнат сидит принцесса, в другой - тигр, а в третьей нет никого. На двери левой комнаты написано: 'Тигр в правой комнате', на двери средней: 'Левая комната пуста', на двери правой: 'Принцесса в средней комнате'. Известно, что надпись на двери комнаты, где сидит принцесса, истинна, надпись на двери комнаты, где сидит тигр - ложна, а надпись на двери пустой комнаты может быть как истинной, так и ложной. Где сидит принцесса, а где - тигр?
Ответ

318.  

Разрежьте изображенную на рисунке фигуру на а) четыре; б) пять одинаковых частей. (Резать можно не только по сторонам и диагоналям клеток.)
а) Первый способ   Второй способ   б) Ответ

319.  

Представьте число 203 в виде суммы нескольких натуральных чисел, произведение которых тоже равно 203.
Указание   Ответ

320.  

Какое наибольшее количество чисел можно выбрать из набора 1, 2,..., 1963, чтобы сумма любых двух выбранных чисел делилась на 26?
Ответ   Указание



Вы видите ошибку? Выделите ее и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS