Пятница, 12.05-12.50, ауд. 790, с 20 сентября

Специальный курс для студентов 3-5 курсов, читается в осеннем и весеннем семестрах.

Лекции – 68 часов.
Экзамен в весеннем семестре.
За курс отвечает кафедра нелинейных динамических систем и процессов управления.
Автор программы: проф. Смольяков Э.Р.
Лектор: проф. Смольяков Э.Р. 

Аннотация

Основу спецкурса составляют те разделы вариационного исчисления и теории оптимального управления, которые по разным причинам не стали достоянием традиционно читаемых курсов лекций, но по существу являются наиболее важными как в рамках идеологии этих дисциплин, так и с точки зрения значимости их для эффективного развития науки и техники в целом. Эти спецразделы касаются, во-первых, проблем поиска глобального максимума, с необходимостью привлечения аппарата обобщенных управлений; во-вторых, нетрадиционного подхода к наиболее трудно поддающимся решению вариационным задачам с фазовыми ограничениями; в-третьих, понятий оптимальности, обобщающих известные понятия, и конструктивных необходимых условий оптимальности для них, позволяющих решать задачи, которые раньше даже не ставились, такие, например, как задача оптимального перехода между сопряженными комплексными пространствами Минковского.

Содержание курса

Лекции, осенний семестр

1. Основные результаты классического вариационного исчисления

Обзор истории развития вариационного исчисления, охватывающий период 16-18 столетий. Задачи Лагранжа, Майера и Больца с ограничениями в виде равенств и неравенств. Выпуклые и невыпуклые задачи вариационного исчисления и условия использования обобщенного управления.

2. Оптимальное управление и проблемы поиска глобального максимума

Принцип максимума Понтрягина, его возможности и ограничения. Глобальный максимум в задачах оптимального управления и его поиск на основе понятия обобщенного управления. Проблемы синтеза оптимального и оптимального обобщенного управления

Необходимые условия оптимальности в классе обобщенных управлений: формулировка результатов и примеры. Доказательство необходимых условий оптимальности вариационных задач в общей постановке в классе обобщенных управлений. Слабые и сильные вариации. Конусы вариаций. Методики выяснения необходимости использования в вариационных задачах обобщенного управления, позволяющего находить глобальный максимум. Методы поиска вида обобщенного оптимального управления как функции фазовых координат и множителей Лагранжа. Подходы к решению вариационных задач в классе обобщенных управлений. Методики поиска обобщенного управления.

3. Вариационные задачи с фазовыми ограничениями и общие методы решения задач

Регулярные и нерегулярные задачи с фазовыми ограничениями. Необходимые условия оптимальности в задачах с фазовыми ограничениями, обеспечивающие (в отличие от классических результатов) существование непрерывных сопряженных переменных (множителей Лагранжа). Аналитические и численные методы решения задач с фазовыми ограничениями. Обзор численных методов оптимизации: методы Ньютона первого и второго порядков, градиентные методы - методы градиентного спуска. условного градиента и проекции градиента, метод штрафных функций. Скорости сходимости численных методов. Метод Ньютона решения операторных уравнений. Теорема о неподвижной точке и ее применение к решению операторных уравнений. Вариационные методы решения уравнений. Общие случаи эквивалентности задачи решения операторного уравнения задаче минимизации некоторого функционала в гильбертовом пространстве. Система конфликтных равновесий для игровых задач с побочными интересами участников в случае несовпадающих допустимых ситуаций участников.

4. Некоторые сложные задачи вариационного исчисления

Вариационный вывод обобщений уравнений Максвелла-Лоренца. Вариационный вывод уравнений движения в двойственных пространствах Минковского. Вариационный подход к теории размерностей.

5. Многокритериальные задачи

Оптимальность по Парето и Слейтеру. Парето-оптимальные игровые задачи. Определения и теоремы о свойствах оптимальных решений. Проблемы скаляризации векторных критериев и методики поиска решения. Дифференциальные игры.

6. Стохастические оптимальные динамические системы

Постановки задач управления стохастическими динамическими системами. Особенности оптимального управления стохастическими динамическими системами. Проблемы и недостатки любых методик поиска непосредственно оптимального стохастического управления и эффективная замена подобных задач задачами поиска приближенного синтеза оптимального управления в соответствующей линеаризованной детерминированной динамической задаче.

Литература

Основная литература

1. Смольяков Э.Р. Неизвестные страницы истории оптимального управления. М.: Едиториал УРСС. 2002.

2. Смольяков Э.Р. Оптимальное управление и численные методы оптимизации. М.: МГТУ. 1992.

3. Смольяков Э.Р. Методология определения оптимального управления. М.: МГТУ. 1996.

4. Смольяков Э.Р. Теория конфликтных равновесий.М.: Едиториал УРСС. 2005.

5. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука. 1976.

6. Смольяков Э.Р. Вариационные уравнения электродинамики // Дифференциальные уравнения. 2007. Т. 43. N 4. С. 475-480.

7. Динамика и энергетика переходов между двойственными пространствами // Доклады АН РФ. 2006. Т. 406. N 6. С. 734-737.

Дополнительная литература

1. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука. 1977.

2. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. М.: Наука. 1975.