Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/content_root/programs/kaf/special/difgeompr/vved-sol.doc Дата изменения: Mon Nov 10 08:56:19 2008 Дата индексирования: Sun Apr 10 03:22:33 2016 Кодировка: koi8-r

ВВЕДЕНИЕ В ТОПОЛОГИЮ ЧЕТЫРЕХМЕРНЫХ МНОГООБРАЗИЙ

|проф. Ю.П. Соловьев, |


доц. А.Б. Скопенков
1 год, 3-5 курс
Цель спецкурса - создать базу для дальнейшего знакомства с топологией
четырехмерных многообразий - красивой, глубокой и бурно развивающейся части
математики (и физики), а также продемонстрировать основные методы
геометрической и алгебраической топологии в их взаимодействии. Большинство
идей четырехмерной топологии будет поясняться на доступных примерах
(меньшей размерности). Однако поскольку ясное изложение большей части
планируемого материала в имеющейся литературе отсутствует (либо
труднодоступно), спецкурс может быть также интересен аспирантам. Для
понимания спецкурса достаточно начальных знаний по топологии (например,
основ теории гомологии и топологии многообразий).
1. Примеры Артина заузленных двумерных сфер в [pic]. Примеры заузленных
двумерных торов в [pic]. Теорема Кервера о конкордантности узлов в [pic]
(без доказательства).
2. Нормальное расслоение. Стабильное нормальное расслоение. Тривиальность
нормального расслоения ориентируемого двумерного многообразия в [pic].
Примеры вложений в [pic] с различными нормальными расслоениями (без
доказательства).
3. Коэффициент зацепления. Кольца Борромео и неполнота коэффициента
зацепления. Инварианты взрезанного квадрата и высших взрезанных степеней.
Зацепление Уайтхеда и неполнота указанных инвариантов. Трехмерная
визуализация четырехмерных "пальцевых движений" Кэсcона. Примеры 2-
полиэдров. невложимых в [pic]. Препятствия взрезанного квадрата и ван
Кампена к вложимости в [pic]. Пример Фридмана-Крушкаля-Тайхнера неполноты
препятствий взрезанного квадрата и ван Кампена.
4. Примеры четырехмерных многообразий. Хирургия Дена. Хирургия и
кобордизм четырехмерных многообразий. Двойственность Пуанкаре для
четырехмерных многообразий.
5. Пример негомеоморфных односвязных четырехмерных многообразий с
одинаковыми группами гомологии. Геометрическое определение формы
пересечений четырехмерных многообразий. Реализация форм незамкнутыми
четырехмерными многообразиями.
6. Теорема Понтрягина-Уайтхеда. Свойства симметричных билинейных форм.
Теорема Фридмана о топологической классификации односвязных четырехмерных
многообразий (формулировка).
7. Первый и второй классы Штифеля-Уитни трехмерных и четырехмерных
многообразий как препятствия (конструкция Штифеля). Связь с формой
пересечений. Параллелизуемость ориентируемых трехмерных многообразий.
8. Сигнатура четырехмерных многообразий. Инвариантность сигнатуры при
кобордизме. Аддитивность сигнатуры. Теорема Рохлина о сигнатуре (без
доказательства). Инвариант Рохлина трехмерных гомологических сфер. Теорема
Хирцебруха о сигнатуре (без доказательства). Классификация четырехмерных
многообразий с точностью до кобордизма (без доказательства).
9. Реализация двумерных гомологических классов четырехмерных многообразий
вложенными поверхностями. Пример Кервера-Милнора комологического класса,
нереализуемого вложенной сферой.
10. Трюк Уитни и теорема Уитни о вложимости четырехмерных многообразий в
[pic]. Контрпример Кервера-Милнора к четырехмерному трюку Уитни.
11. Конструкция Понтрягина. Критерий Понтрягина реализуемости двумерных
гомологических классов четырехмерных многообразий отображениями в двумерную
сферу.
12. Приклеивающие инварианты Левина и Хефлигера для оснащенных и обычных
вложении [pic]. Классификация гладких вложений [pic] (без доказательства).