Äîêóìåíò âçÿò èç êýøà ïîèñêîâîé ìàøèíû. Àäðåñ îðèãèíàëüíîãî äîêóìåíòà : http://acoustics.phys.msu.su/teachers/rudenko_files/04acibragrus.pdf Äàòà èçìåíåíèÿ: Fri Oct 12 13:08:29 2007 Äàòà èíäåêñèðîâàíèÿ: Thu Feb 27 20:57:22 2014 Êîäèðîâêà: ISO8859-5

Ôôüûýð?æûôðò ìüú÷Ôó, 2004, êãß 50, < 4, â. 1-15

üáô 534.222

øÛÜ^Ûä äÛãÜã,,ã ÛâäãÞÈÑã,ÜÛfl âÛßßÒêÛØ , êÒãÛÛ ÜÒÞÛÜÒØÜÀi ,ãÞÜ
? 2004 ,,. ÷. ÿ. ðÇ,,Ûßã,, ù. ×. úëÒÜÝã*
åÒÜê ÛââÞÒã,ÜÛØ äã ,,ëääã,ãßë ÜÞÛÑë ýÒiÜãÞã,,Û~ÒâÝÛØ ÛÜâêÛêëê ÕÞÒÝÛÜ,,Ò 371 79 ôÞâÝãÜ, ?,Ò^Ûfl E-mail:nib@bth.se *þÛÑÛ~ÒâÝÛØ éÝëÞÈêÒê õãâÝã,âÝã,,ã ,,ãâëâê,ÒÜÜã,,ã ëÜÛ,ÒâÛêÒê Ûß. õ.×. óãßãÜãâã, 119992 õãâÝ,, óÒÜÛÜâÝÛÒ ,,ãÀ E-mail:rudenko@acs366.phys.msu.ru
øãâêëäÛÞ , ÒÝ^Û 10.02.2004 ,,.

øÒÞ,,Òêâfl äÛÜ^Ûä äÛãÜã,,ã ÛâäãÞÈÑã,ÜÛfl âÛßßÒêÛØ ÝÝ Üã,ÀØ äãiã Ý Ò?ÒÜÛ ÜÒÞÛÜÒØÜÀi Ñ~, ãâÜã,ÜÜÀØ Ü ÑëßÜãß ëâÞãÚÜÒÜÛÛ ßêÒßêÛ~ÒâÝãØ ßãÒÞÛ. ýÝãÒ ëâÞãÚÜÒÜÛÒ ~âêã äÛ,ãÛê Ý ,ãÑÜÛÝÜã,ÒÜÛ ãäãÞÜÛêÒÞÈÜãØ âÛßßÒêÛÛ Û, âÞÒã,êÒÞÈÜã, ãêÝÀ,Òê ,ãÑßãÚÜãâêÛ Þfl äãÛâÝ Üã,Ài ÜÞÛêÛ~ÒâÝÛi Ò?ÒÜÛØ. ôêÝã ÛÑÞãÚÒÜÀ ãâÜã,À ßÒêãã, ,,ëääã,ã,,ã ÜÞÛÑ Ñ~ ÜÒÞÛÜÒØÜãØ ÝëâêÛÝÛ. ×ãÑßãÚÜãâêÛ äãiã ÛÞÞâêÛã,ÜÀ êã~ÜÀßÛ Ò?ÒÜÛflßÛ, ÛßÒÛßÛ âßãâêãflêÒÞÈÜãÒ ÑÜ~ÒÜÛÒ Þfl êÒãÛÛ ,ãÞÜ.

1. ×,ÒÒÜÛÒ õêÒßêÛ~ÒâÝÛÒ ßãÒÞÛ éÛÑÛ~ÒâÝÛi äã^Òââã,, äãÞë~ÒÜÜÀÒ Ü ãâÜã,Ò ãÇÛi äÒâê,ÞÒÜÛØ ("ÛÑ äÒ,Ài äÛÜ^Ûäã,"), ~âêã ÛßÒê ã~ÒÜÈ âÞãÚÜÀØ ,Û. øÛßÒßÛ ßã,,ëê âÞëÚÛêÈ âÛâêÒßÀ ë,ÜÒÜÛØ ßÒiÜÛÝÛ âäÞã?ÜÀi âÒ ÛÞÛ ÞÒÝêãÛÜßÛÝÛ, ÝãêãÀÒ ã~ÒÜÈ êëÜã Ò?êÈ , ãÇÒß ,ÛÒ â äãßãÈ ÛÑ,ÒâêÜÀi ÜÞÛêÛ~ÒâÝÛi Û ~ÛâÞÒÜÜÀi ßÒêãã,, ãâãÇÒÜÜã Ýã,, ÜëÚÜã ë~ÒâêÈ ÜÒÞÛÜÒØÜãâêÈ, ÜÒãÜããÜãâêÈ, ÜâÞÒâê,ÒÜÜÀÒ Û ë,,ÛÒ â,ãØâê, ÒÞÈÜãØ âÒÀ. æâêÒâê,ÒÜÜã äãêãßë ßÝâÛßÞÈÜã ëäãêÈ ßãÒÞÈÜÀÒ ë,ÜÒÜÛfl, ë~ÛêÀ,fl âäÒ^ÛéÛÝë ÝãÜÝÒêÜãØ Ñ~Û. ôÚÒêâfl ã~Ò,ÛÜÀß, ~êã Þfl ÇãÞÒÒ äãâêÀi ßãÒÞÒØ ÞÒ,,~Ò äãÀâÝêÈ äãiãflÛØ ßÒêã Ò?ÒÜÛfl. üäãÒÜÛÒ ãâêÛ,,Òêâfl Ñ â~Òê Çâê,,Ûã,ÜÛfl ãê ßÒÜÒÒ âëÒâê,ÒÜÜÀi ÒêÞÒØ fl,ÞÒÜÛfl Û éãÝëâÛã,ÝÛ ,ÜÛßÜÛfl Ü ÜÛÇãÞÒÒ ,ÚÜÀi Ò,,ã â,ãØâê,i. ÙÞëÇãÝãÒ ãäÛâÜÛÒ ÛÒØ, ÞÒÚÛi , ãâÜã,Ò êÝã,,ã äãiã, Üã Ô.Ô. ÔÜãÜã,Àß, Ô.Ô. ×Ûêêãß Û û.?. ÿØÝÛÜÀß , Ûi ÝÞââÛ~ÒâÝãØ ßãÜã,,éÛÛ äã êÒãÛÛ ÝãÞÒÇÜÛØ [1]. ðâêãÛ~ÒâÝÛ ,ÚÜÀß äÛßÒãß ÛâäãÞÈÑã,ÜÛfl êÛi ÛÒØ , êÒãÛÛ ,ãÞÜ âÞëÚÛê Ñ,ÛêÛÒ ú.×. ÿãiÞã,Àß [2] ßÒêã ßÒÞÒÜÜã ÛÑßÒÜflÒ,,ãâfl äãéÛÞfl [3] , äãÑ,ãÞÛ,?Ò,,ã ÑÜ~ÛêÒÞÈÜã â?ÛÛêÈ ,ãÑßãÚÜãâêÛ ÜÞÛêÛ~ÒâÝã,,ã Ò?ÒÜÛfl ÜÒÞÛÜÒØÜÀi ,ãÞÜã,Ài Ñ~ [4] . ôÑÞãâÈ ÇÀ, ÛÜãØ äëêÈ - ëâÞãÚÜÒÜÛÒ ßãÒÞÛ â ^ÒÞÈ ãêÀâÝÜÛfl Ò?ÒÜÛØ ÛÜêÒÒâëÒØ Üâ ÇãÞÒÒ äãâêãØ Ñ~Û - Þã,,Û~ÒâÝÛ ÇâëÒÜ. ýÒß ÜÒ ßÒÜÒÒ, ÛÜã,, âÞãÚÜfl ßãÒÞÈ ÜÞÛÑÛëÒêâfl
1

äãÒ. ðÑ,ÒâêÜÀß , ÝëâêÛÝÒ äÛßÒãß êÝã,,ã "äãÞÒÑÜã,,ã ëâÞãÚÜÒÜÛfl" âÞëÚÛê ë,ÜÒÜÛÒ Õ,,Òâ (âß., ÜäÛßÒ, [4] Û äÛÜflêÀÒ êß ãÇãÑÜ~ÒÜÛfl): V V V ------ - V ------ = -------- . 2 z
2

áãÇ,ÞÒÜÛÒ , ä,ë ~âêÈ ",flÑÝã,,ã" ~ÞÒÜ, äãäã^ÛãÜÞÈÜã,,ã ,Àâ?ÒØ (,êããØ) äãÛÑ,ãÜãØ, ëÛ,ÛêÒÞÈÜÀß ãÇÑãß ÜÒ ëâÞãÚÜflÒê ÛâiãÜãÒ ë,ÜÒÜÛÒ äÒ,ã,,ã äãflÝ, ÜäãêÛ,, Òê ,ãÑßãÚÜãâêÈ Ò?ÛêÈ Ñ~ë. ôÝ ÛÑ,ÒâêÜã, ë,ÜÒÜÛÒ Õ,,Òâ â äãßãÈ äÒãÇÑã,ÜÛfl V = 2 ----- ln U ëÒêâfl ÞÛÜÒÛÑã,êÈ Û â,ÒâêÛ Ý ë,ÜÒÜÛ êÒäÞãäã,ãÜãâêÛ Þfl U. ñêÒß ßãÚÜã âã,Ò?ÛêÈ äÒÒÞÈÜÀØ äÒÒiã 0 Û äãÞë~ÛêÈ éÛÑÛ~ÒâÝÛ ÝãÒÝêÜãÒ Ò?ÒÜÛÒ âããê,Òêâê,ëÒØ Ñ~Û Þfl "ÜÒ,flÑÝãØ" âÒÀ. ?êãê äÛßÒ, ÝãÜÒ~Üã, âÞë~ÒÜ Û ÜÒ Òê ãÇÒ,,ã äãiã. ùÜÝã ãäÀê ,,ëääã,ãØ ÝÞââÛéÛÝ^ÛÛ ÛééÒÒÜ^ÛÞÈÜÀi ë,ÜÒÜÛØ äãÝÑÀ,Òê, ~êã ã~ÒÜÈ ~âêã ëâÞãÚÜÒÜÛÒ ßãÒÞÛ ãÇã,,Òê ÒÒ Üã,ÀßÛ âÛßßÒêÛflßÛ. ÷äãêÛ,, ëäãÒÜÛÒ ßãÚÒê äÛ,ÒâêÛ Ý äãêÒÒ fl â,ãØâê, âÛßßÒêÛÛ, äÛâëÛi ÇãÞÒÒ ãÇÒØ ßãÒÞÛ, Û Ý ëêêÒ éÛÑÛ~ÒâÝÛ ,ÚÜÀi Ò?ÒÜÛØ. ôÝ ÛÑ,ÒâêÜã, Ò,,ëÞflÜÀß Û ééÒÝêÛ,ÜÀß ßÒêããß ÜiãÚÒÜÛfl âÛßßÒêÛØ fl,ÞflÒêâfl êÒãÛfl ÜÒäÒÀ,ÜÀi ,,ëää óÛ [5, 6]. ýÛ^ÛãÜÜÀØ äëêÈ


2

ðÇ,,Ûßã,, úëÒÜÝã*

ÛâäãÞÈÑã,ÜÛfl ,,ëää óÛ Þfl ãêÀâÝÜÛfl ÜÞÛêÛ~ÒâÝÛi Ò?ÒÜÛØ ÛééÒÒÜ^ÛÞÈÜÀi ë,ÜÒÜÛØ âãâêãÛê , âÞÒëÒß. úââßêÛ,êâfl ÝãÜÝÒêÜÀÒ ë,ÜÒÜÛfl ÛÞÛ âÛâêÒßÀ ë,ÜÒÜÛØ. áÞfl ÜÛi ,À~ÛâÞflêâfl ,,ëääÀ âÛßßÒêÛÛ. ñêÒß êÛ ,,ëääÀ ÛâäãÞÈÑëêâfl Þfl äãâêãÒÜÛfl ~âêÜÀi êã~ÜÀi Ò?ÒÜÛØ, ÑÝãÜã, âãiÜÒÜÛfl, ÛÜ,ÛÜêã,. ÕãÞÒÒ âÞãÚÜãØ Û ÛÜêÒÒâÜãØ äÒâê,ÞflÒêâfl äãÇÞÒß ",,ëääã,ãØ ÝÞââÛéÛÝ^ÛÛ" ë,ÜÒÜÛØ, âãÒÚÛi ÜÒÛÑ,ÒâêÜÀÒ äßÒêÀ ÛÞÛ éëÜÝ^ÛÛ. øã ,,ëääã,ãØ ÝÞââÛéÛÝ^ÛÒØ äãÜÛßÒêâfl ,ÀÇã êÝÛi äßÒêã, (éëÜÝ^ÛØ), äÛ Ýãêããß ãäëâÝÒßfl ,,ëää ÇãÞÒÒ ?ÛãÝ, ~Òß ,,ëää âÛßßÒêÛÛ ÛâiãÜã,,ã ãÇÒ,,ã ë,ÜÒÜÛfl. ÷ êãß äëêÛ ëÚÒ äãÞë~ÒÜã ßÜãÚÒâê,ã ë,ÜÒÜÛØ, ãÇÞÛi éÛÑÛ~ÒâÝÛ ÛÜêÒÒâÜÀßÛ Ò?ÒÜÛflßÛ (âß., ÜäÛßÒ, [7-10]. ùäÛâÜÜÀØ ,À?Ò äãiã ßãÚÒê ÇÀêÈ ÜÑ,Ü äãâêÒÛãÜÀß, äãâÝãÞÈÝë ÜÞÛÑÛëêâfl ÜÜÀÒ âÛâêÒßÀ ë,ÜÒÜÛØ. × ÜâêãflÒØ ÇãêÒ äÒÞ,,Òêâfl äÛÜ^ÛäÛÞÈÜã ÛÜãØ Û ,ÒâÈß äãâêãØ äãiã Ý ,Àfl,ÞÒÜÛ Üã,Ài âÛßßÒêÛ~ÜÀi ßãÒÞÒØ, ãâÜã,ÜÜÀØ Ü ÑëßÜãß ëâÞãÚÜÒÜÛÛ ÜÜãØ ßãÒÞÛ ÇÒÑ äãêÒÛ ÒÒ éÛÑÛ~ÒâÝã,,ã âãÒÚÜÛfl. ùâÜã,ãØ êã,,ã äãiã, ÝãêãÀØ ßÀ ÜÑÀ,Òß äÛÜ^Ûäãß äÛãÜã,,ã ÛâäãÞÈÑã,ÜÛfl âÛßßÒêÛØ, fl,ÞflÒêâfl êÒãÒß ÷.ÿ.ðÇ,,Ûßã, ã äãÒÝ^Ûfli ,,ëää Ý,Û,ÞÒÜêÜãâêÛ (âß. ÑÒÞ 4.2). áÞfl Þë~?Ò,,ã äãÜÛßÜÛfl äãÇÞÒßÀ Ü~ÜÒß â ÛÑÞãÚÒÜÛfl âêÜêÜÀi ßÒêãã, ,,ëääã,ã,,ã ÜÞÛÑ ÛééÒÒÜ^ÛÞÈÜÀi ë,ÜÒÜÛØ, äêÛã,, Ò,,ã Ý ßãÒÞflß êÒãÛÛ ÜÒÞÛÜÒØÜÀi ,ãÞÜ Û ÜÒÞÛÜÒØÜãØ ÝëâêÛÝÛ. 2. ôêÝãÒ ÛÑÞãÚÒÜÛÒ ßÒêãã, ,,ëääã,ã,,ã ÜÞÛÑ 2.1. ×À~ÛâÞÒÜÛÒ âÛßßÒêÛØ ÛééÒÒÜ^ÛÞÈÜÀi ë,ÜÒÜÛØ úââßãêÛß ,ãÞ^ÛãÜÜãÒ ë,ÜÒÜÛÒ , ~âêÜÀi äãÛÑ,ãÜÀi ,êãã,,ã äãflÝ: u t = F ( t, x, u, u x, u xx ) , F --------- 0. u xx (1)

ÒÚÛê ,âÒ ãÇêÜÀÒ äÒãÇÑã,ÜÛfl, êãÚÒâê,ÒÜÜãÒ äÒãÇÑã,ÜÛÒ t = t, x = x, u = u, Û ÝãßäãÑÛ^ÛÛ ÞÇÀi ,ëi äãâÞÒã,êÒÞÈÜÀi äÒãÇÑã,ÜÛØ, êã ÒâêÈ t f ( t , x, u, b ) = f ( t, x, u, a + b ) , x g ( t , x, u, b ) = g ( t, x, u, a + b ) ,
= =

u h ( t , x, u, b ) = h ( t, x, u, a + b ) .
=

ýÝÛß ãÇÑãß, ,,ëää G ãäëâÝÒêâfl ë,ÜÒÜÛÒß (1), ÒâÞÛ äÒãÇÑã,ÜÛÒ (2) ,,ëääÀ G äÒÒ,ãÛê ÞÇãÒ Ò?ÒÜÛÒ u = u(t, x) ë,ÜÒÜÛfl (1) , Ò?ÒÜÛÒ u = u ( t , x ) ë,ÜÒÜÛfl u t = F ( t , x, u, u x, u xx ) , (3) ,,Ò F - ê ÚÒ âßfl éëÜÝ^Ûfl, ~êã Û , ë,ÜÒÜÛÛ (1). ûã,,ÞâÜã êÒãÛÛ óÛ, ÜiãÚÒÜÛÒ ,,ëääÀ âÛßßÒêÛÛ G Ý,Û,ÞÒÜêÜã ,À~ÛâÞÒÜÛ ÒÒ ÛÜéÛÜÛêÒÑÛßÞÈÜã,,ã äÒãÇÑã,ÜÛfl t t + a ( t , x, u ) , x x + a ( t , x, u ) , u u + a ( t , x, u ) , (4)

äãÞë~Òßã,,ã ÛÑ ãÇÛi éãßëÞ (2) Ûi ÑÞãÚÒÜÛÒß , fl ýÒØÞã äã äßÒêë a â ëÒÚÜÛÒß êãÞÈÝã ÞÛÜÒØÜÀi ~ÞÒÜã,. ûÞÒëfl óÛ, ëãÇÜã ,,ÒâêÛ âÛß,ãÞ äÒãÇÑã,ÜÛfl (4) - ÛééÒÒÜ^ÛÞÈÜÀØ ãäÒêã X = ( t, x, u ) ---- + ( t, x, u ) ----- + ( t, x, u ) ----- , t x u (5)

ÒØâê,ÛÒ Ýãêãã,,ã Ü ÞÇë ÛééÒÒÜ^ÛëÒßë éëÜÝ^Û J(t, x, u) Òêâfl éãßëÞãØ J J J X ( J ) = ( t, x, u ) ----- + ( t, x, u ) ----- + ( t, x, u ) ----- . (6) t x u ùäÒêã (5) ÜÑÀ,ê êÝÚÒ ÛÜéÛÜÛêÒÑÛßÞÈÜÀß ãäÒêããß ÛÞÛ ,,ÒÜÒêããß ,,ëääÀ G. øÒãÇÑã,ÜÛÒ (2), ãê,Ò~ÒÒ ãäÒêãë (5), ÜiãÛêâfl ÝÝ Ò?ÒÜÛÒ ë,ÜÒÜÛØ óÛ dt ----- = ( t , x, u ) , da du ----- = da t = t, x dx ----- = ( t , x, u ) , da ( t , x, u )

ùäÒÒÞÒÜÛÒ. ûã,ãÝëäÜãâêÈ G ãÇêÛßÀi äÒãÇÑã,ÜÛØ äÒÒßÒÜÜÀi t, x, u t = f ( t, x, u, a ) , x = g ( t, x, u, a ) , u = h ( t, x, u, a ) , (2)

(7)

â Ü~ÞÈÜÀßÛ ëâÞã,ÛflßÛ
a=0 a=0

= x,

u

a=0

= u.

Ñ,Ûâflfl ãê ÜÒäÒÀ,Üã,,ã äßÒê a, ÜÑÀ,Òêâfl ãÜãäßÒêÛ~ÒâÝãØ ,,ëääãØ, ãäëâÝÒßãØ ë,ÜÒÜÛÒß (1), ÛÞÛ ,,ëääãØ âÛßßÒêÛÛ ë,ÜÒÜÛfl (1), ÒâÞÛ ë,ÜÒÜÛÒ (1) âãiÜflÒê â,ã éãßë , Üã,Ài äÒÒßÒÜÜÀi t , x , u , êÝÚÒ ÒâÞÛ G âã-

ùÇêÛßâfl êÒäÒÈ âÜã, Ý ë,ÜÒÜÛ (3). ×ÀÚÒÜÛfl Þfl äãÛÑ,ãÜÀi u t , u x , u xx , ë,ÜÒÜÛÛ (3) äãÞë~êâfl â äãßãÈ äÒãÇÑã,ÜÛfl (2), ââßêÛ,Òßã,,ã ÝÝ ãÇÀ~Üfl ÑßÒÜ äÒÒßÒÜÜÀi. ñêÒß, ÑÞ,,fl ,ÀÚÒÜÛfl Þfl êÛi äãÛÑÔôüûýð?æûôðò ìüú÷Ôó êãß 50 < 4 2004


øÛÜ^Ûä äÛãÜã,,ã ÛâäãÞÈÑã,ÜÛfl âÛßßÒêÛØ

3

,ãÜÀi , fl äã äßÒêë a, äãÞë~Òß ÛÜéÛÜÛêÒÑÛßÞÈÜë éãßë äÒãÇÑã,ÜÛØ u t u t + a 0 ( t, x, u, u t, u x ) , u x u x + a 1 ( t, x, u, u t, u x ) , u xx u xx + a 2 ( t, x, u, u t, u x, u tx, u xx ) , ,,Ò éëÜÝ^ÛÛ 0, 1, 2 êâfl âÞÒëÛßÛ "éãßëÞßÛ äããÞÚÒÜÛfl" 0 = Dt ( ) - ut Dt ( ) - u x Dt ( ) , 1 = D x ( ) - ut D x ( ) - u x D x ( ) , 2 = D x ( 1 ) - u xx D x ( ) - u tx D x ( ) . ñÒâÈ Dt Û Dx ãÇãÑÜ~ê äãÞÜÀÒ äãÛÑ,ãÜÀÒ äã t Û x: D t = ---- + u t ----- + u tt ------ + u tx ------- , u ut ux t D x = ----- + u x ----- + u tx ------ + u xx ------- . u ut ux x øãâêÜã,Ý (4) Û (8) , ë,ÜÒÜÛÒ (3) Òê u t - F ( t , x, u, u x, u xx ) u t - F ( t, x, u, u x, u xx ) + F F F F F + a 0 - ------- 1 - --------- 2 - ------ - ------ - ------ . u xx t x u ux øãêãßë, , âÛÞë ë,ÜÒÜÛfl (1), ë,ÜÒÜÛÒ (3) äÛ,ãÛê Ý ëâÞã,Û F F F F F 0 - ------- 1 - --------- 2 - ------ - ------ - ------ = 0 , u xx t x u ux (10) (9) (8)

ÜÛfl fl,ÞflÒêâfl Þ,,ÒÇãØ óÛ. × ~âêÜãâêÛ, ÒâÞÛ L ÒâêÈ ÝãÜÒ~ÜãßÒÜãÒ äãâêÜâê,ã Lr â ÇÑÛâãß X1, ..., Xr, êã [Xi, Xj] = c ij Xk, ,,Ò c ij - ~ÛâÞ, ÜÑÀ,ÒßÀÒ âêëÝêëÜÀßÛ ÝãÜâêÜêßÛ Þ,,ÒÇÀ óÛ Lr. ñßÒêÛß, ~êã ë,ÜÒÜÛÒ (10) ãÞÚÜã ,ÀäãÞÜflêÈâfl êãÚÒâê,ÒÜÜã äã ãêÜã?ÒÜÛ Ýã ,âÒß ,iãflÛß , ÜÒ,,ã äÒÒßÒÜÜÀß t, x, u, ux, uxx, utx; äãâÞÒÜÛÒ ãÞÚÜÀ ââßêÛ,êÈâfl ÝÝ 6 ÜÒÑ,ÛâÛßÀi äÒÒßÒÜÜÀi. × ÒÑëÞÈêêÒ ãäÒÒÞflÒÒ ë,ÜÒÜÛÒ âäÒêâfl Ü âÛâêÒßë ÜÒâÝãÞÈÝÛi ë,ÜÒÜÛØ, Û äãÞë~Òêâfl äÒÒãäÒÒÞÒÜÜfl âÛâêÒß (ãÜ âãÒÚÛê ÇãÞÈ?Ò ë,ÜÒÜÛØ, ~Òß 3 ÜÒÛÑ,ÒâêÜÀi éëÜÝ^ÛÛ , , ). øãêãßë äÝêÛ~ÒâÝÛ ,âÒ,, ãäÒÒÞflÒÒ ë,ÜÒÜÛÒ ëÒêâfl ÞÒ,,Ýã Ò?ÛêÈ. áÞfl ëäãÒÜÛfl â~Òêã, ,ãâäãÞÈÑëÒßâfl âÞÒëÒØ ÞÒßßãØ. óÒßß. × âÞë~Ò ë,ÜÒÜÛfl ,Û (1) äÒãÇÑã,ÜÛÒ âÛßßÒêÛÛ (2) ÛßÒÒê ,Û t = f (t, a) , x = g(t, x, u, a) , u = h(t, x, u, a) . (12)
k k

?êã ãÑÜ~Òê, ~êã ÛÜéÛÜÛêÒÑÛßÞÈÜÀÒ âÛßßÒêÛÛ ßãÚÜã ÛâÝêÈ , ,ÛÒ X = ( t ) ---- + ( t, x, u ) ----- + ( t, x, u ) ----- . t x u (13)

,,Ò ut ÑßÒÜÒÜã Ü F(t, x, u, ux, uxx) , ,ÀÚÒÜÛfli Þfl 0, 1, 2. ü,ÜÒÜÛÒ (10) ãäÒÒÞflÒê ,âÒ ÛÜéÛÜÛêÒÑÛßÞÈÜÀÒ âÛßßÒêÛÛ ë,ÜÒÜÛfl (1) Û äãêãßë ÜÑÀ,Òêâfl ãäÒÒÞflÛß ë,ÜÒÜÛÒß. æ,,ã ëãÇÜã ÑäÛâêÈ , ÝãßäÝêÜãØ éãßÒ X [ u t - F ( t, x, u, u x, u xx ) ] = 0. (11) ñÒâÈ X ãÑÜ~Òê äããÞÚÒÜÛÒ ãäÒêã (5) Ü äãÛÑ,ãÜÀÒ äÒ,ã,,ã Û ,êãã,,ã äãflÝ: X = ---- + ----- + ----- + 0 ------ + 1 ------- + 2 --------- . t x u ut ux u xx ùäÒÒÞflÒÒ ë,ÜÒÜÛÒ (10) (ÛÞÛ Ò,,ã Ý,Û,ÞÒÜê (11)) fl,ÞflÒêâfl ãÜããÜÀß ÞÛÜÒØÜÀß ë,ÜÒÜÛÒß , ~âêÜÀi äãÛÑ,ãÜÀi ,êãã,,ã äãflÝ Þfl ÜÒÛÑ,ÒâêÜÀi éëÜÝ^ÛØ , , . øãêãßë ßÜãÚÒâê,ã L ,âÒi Ò?ÒÜÛØ ãäÒÒÞflÒ,,ã ë,ÜÒÜÛfl ãÇÑëÒê ,ÒÝêãÜãÒ äãâêÜâê,ã. ÕãÞÒÒ êã,,ã, ãÜã ÑßÝÜëêã ãêÜãâÛêÒÞÈÜã ,ÑflêÛfl Ýãßßëêêã, êã ÒâêÈ äãâêÜâê,ã L ,ßÒâêÒ â ãäÒêãßÛ X1, X2 L âãÒÚÛê êÝÚÒ Ûi Ýãßßëêêã [X1, X2] = X1X2 - X2X1. ?êã â,ãØâê,ã ãÑÜ~Òê, ~êã ßÜãÚÒâê,ã ,âÒi Ò?ÒÜÛØ ãäÒÒÞflÒ,,ã ë,ÜÒÔôüûýð?æûôðò ìüú÷Ôó êãß 50 < 4 2004

áãÝÑêÒÞÈâê,ã. ×ÀÒÞÛß , ãäÒÒÞflÒß ë,ÜÒÜÛÛ (10) ~ÞÒÜÀ, âãÒÚÛÒ äÒÒßÒÜÜë utx. ôÝ âÞÒëÒê ÛÑ éãßëÞ äããÞÚÒÜÛfl (9), utx âãÒÚÛêâfl êãÞÈÝã , 2, ÛßÒÜÜã, , äãâÞÒÜÒß Ò,,ã âÞ,,Òßãß utxDx(). ýÝ ÝÝ ãäÒÒÞflÒÒ ë,ÜÒÜÛÒ (10) ,ÀäãÞÜflÒêâfl êãÚÒâê,ÒÜÜã äã ,âÒß äÒÒßÒÜÜÀß t, x, u, ux, uxx, utx, ßãÚÜã ÑÝÞ~ÛêÈ, ~êã Dx() x + uxu = 0, ãêÝë x = u = 0. ýÝÛß ãÇÑãß, = (t) Û ,,ÒÜÒêã (5) äÛÜÛßÒê éãßë (13), ~êã Û ãÝÑÀ,Òê êÒãÒßë. ðêÝ, éãßëÞÀ äããÞÚÒÜÛfl (9) ÑäÛ?ëêâfl âÞÒëÛß ãÇÑãß: 0 = D t ( ) - u x D t ( ) - ' ( t ) u t , 1 = D x ( ) - u x D x ( ) , 2 = D x ( 1 ) - u xx D x ( ) D x ( ) - u x D x ( ) - 2 u xx D x ( ) .
2 2

(14)

2.2. ýã~ÜÀÒ Ò?ÒÜÛfl, äãÞë~ÒßÀÒ â äãßãÈ ,,ëää âÛßßÒêÛÛ õÒêãÀ ,,ëääã,ã,,ã ÜÞÛÑ ãêÝÀ,ê , ãâÜã,ÜÀi äëêÛ ÝãÜâêëÛã,ÜÛfl êã~ÜÀi Ò?ÒÜÛØ: ,,ëääã,ÀÒ äÒãÇÑã,ÜÛfl ÛÑ,ÒâêÜÀi Ò?ÒÜÛØ Û ÜiãÚÒÜÛÒ ÛÜ,ÛÜêÜÀi Ò?ÒÜÛØ. Ùëääã,ÀÒ äÒãÇÑã,ÜÛfl ÛÑ,ÒâêÜÀi Ò?ÒÜÛØ. ?êãê äëêÈ ãâÜã,Ü Ü êãß éÝêÒ, ~êã ,,ëää âÛßßÒêÛÛ äÒãÇÑëÒê ÞÇãÒ Ò?ÒÜÛÒ ÛââÞÒëÒßã,,ã ë,ÜÒÜÛfl , Ò?ÒÜÛÒ êã,,ã ÚÒ ë,ÜÒÜÛfl.


4

ðÇ,,Ûßã,, úëÒÜÝã*

ðßÒÜÜã, äëâêÈ (2) ÒâêÈ ,,ëää äÒãÇÑã,ÜÛØ âÛßßÒêÛÛ ë,ÜÒÜÛfl (1) Û äëâêÈ éëÜÝ^Ûfl u = ( t, x ) ÒâêÈ Ò?ÒÜÛÒ ë,ÜÒÜÛfl (1). øãâÝãÞÈÝë (2) ÒâêÈ äÒãÇÑã,ÜÛÒ âÛßßÒêÛÛ, Ò?ÒÜÛÒ (12) ßãÚÒê ÇÀêÈ ÑäÛâÜã , Üã,Ài äÒÒßÒÜÜÀi u = ( t, x ). ñßÒÜflfl ÑÒâÈ u , t , x â äãßãÈ (2), äãÞë~Ûß h ( t, x, u, a ) = ( f ( t, x, u, a ), g ( t, x, u, a ) ) . (15)

3.1. ×À~ÛâÞÒÜÛÒ ÛÜéÛÜÛêÒÑÛßÞÈÜÀi âÛßßÒêÛØ ùäÒÒÞflÒÒ ë,ÜÒÜÛÒ (10) ÛßÒÒê ,Û 0 - 2 - u 1 - u x = 0 , (19) ,,Ò 0, 1, 2 êâfl éãßëÞßÛ (14). ×ÀÒÞÛß Û äÛ,ÜflÒß ÜëÞ ~ÞÒÜÀ, âãÒÚÛÒ uxx. ðßÒfl , ,Ûë, ~êã ut ãÞÚÜã ÇÀêÈ ÑßÒÜÒÜã Ü uux + uxx, Û äãâê,Þflfl , 2 ,ÀÚÒÜÛfl D x ( ) = D x ( x + u u x ) =
2

úÒ?Û, êã ë,ÜÒÜÛÒ ãêÜãâÛêÒÞÈÜã u, äãÞë~Ûß ãÜãäßÒêÛ~ÒâÝãÒ (â äßÒêãß a) âÒßÒØâê,ã Üã,Ài Ò?ÒÜÛØ ë,ÜÒÜÛfl (1). ûÞÒã,êÒÞÈÜã, ÞÇãÒ ÛÑ,ÒâêÜãÒ Ò?ÒÜÛÒ ßãÚÒê âÞëÚÛêÈ Ûâêã~ÜÛÝãß ßÜã,,ãäßÒêÛ~ÒâÝã,,ã ÝÞââ Üã,Ài Ò?ÒÜÛØ äÛ ëâÞã,ÛÛ, ~êã ââßêÛ,ÒßãÒ ÛéÒÒÜ^ÛÞÈÜãÒ ë,ÜÒÜÛÒ ãäëâÝÒê ßÜã,,ãäßÒêÛ~ÒâÝë ,,ëääë âÛßßÒêÛÛ. × âÞÒëÒß ÑÒÞÒ ãäÛâÜÜfl äã^Òë ÛÞÞâêÛã,Ü Ü äÛßÒÒ ë,ÜÒÜÛfl Õ,,Òâ. ðÜ,ÛÜêÜÀÒ Ò?ÒÜÛfl. æâÞÛ ,,ëääã,ãÒ äÒãÇÑã,ÜÛÒ äÒÒ,ãÛê Ò?ÒÜÛÒ , âÒÇfl, äãÞë~Òß êÝ ÜÑÀ,ÒßãÒ ÛÜ,ÛÜêÜãÒ Ò?ÒÜÛÒ. øÛ ÛÑ,ÒâêÜãØ ÛÜéÛÜÛêÒÑÛßÞÈÜãØ âÛßßÒêÛÛ (5) ë,ÜÒÜÛfl (1), ÛÜ,ÛÜêÜãÒ Ò?ÒÜÛÒ äãÞë~Òêâfl âÞÒëÛß ãÇÑãß. ×À~ÛâÞflêâfl , ÜÒÑ,ÛâÛßÀi ÛÜ,ÛÜê J1 = (t, x) Û J2 = Å(t, x, u) äëêÒß Ò?ÒÜÛfl ë,ÜÒÜÛfl X(J) = 0 (âß. (6)) ÛÞÛ Ò,,ã iÝêÒÛâêÛ~ÒâÝãØ âÛâêÒßÀ du dt dx -------------------- = -------------------- = --------------------- . ( t , x, u ) ( t , x, u ) ( t , x, u ) (16)

= u u xx + uu u x + 2 xu u x + xx ,
2

D x ( ) = D x ( x + u u x ) =
2

(20)

= u u xx + uu u x + 2 xu u x + xx ,
2

äÛÒß Ý âÞÒëÒßë ë,ÜÒÜÛ: 2 u u x + 2 x - ' ( t ) = 0. ùÜã Òê , ë,ÜÒÜÛfl, ÛßÒÜÜã, u = 0 Û 2x - '(t) = 0. ûÞÒã,êÒÞÈÜã, Ñ,ÛâÛê êãÞÈÝã ãê t, x Û ÛßÒÒê ,Û 1 = -- ' ( t ) x + p ( t ) . 2
2

(21)

ðÑ (21) âÞÒëÒê D x () = 0. ýÒäÒÈ ãäÒÒÞflÒÒ ë,ÜÒÜÛÒ (19) â,ãÛêâfl Ý âÞÒëÒØ éãßÒ: 1 1 2 u x uu + -- ' ( t ) u + -- '' ( t ) x + p' ( t ) + 2 xu + u x + 2 2 + u x + xx - t = 0 Û âäÒêâfl Ü êÛ ë,ÜÒÜÛfl
uu

ñêÒß âÞÒëÒê ,ÀÑÛêÈ ãÛÜ ÛÑ ÛÜ,ÛÜêã, ÝÝ éëÜÝ^Û ë,,ã,,ã Å = (), (17)

= 0, (22)

Ò?ÛêÈ ë,ÜÒÜÛÒ (17) ãêÜãâÛêÒÞÈÜã u Û äãâê,ÛêÈ äãÞë~ÒÜÜãÒ ,ÀÚÒÜÛÒ , ë,ÜÒÜÛÒ (1). ôÝ äãÝÑÞ ÒÒ óÛ, , ÒÑëÞÈêêÒ äãÞë~Òêâfl ãÇÀÝÜã,ÒÜÜãÒ ÛééÒÒÜ^ÛÞÈÜãÒ ë,ÜÒÜÛÒ Þfl ÜÒÛÑ,ÒâêÜãØ éëÜÝ^ÛÛ () ãÜãØ äÒÒßÒÜÜãØ. ?ê äã^Òë ëßÒÜÈ?Òê ~ÛâÞã ÜÒÑ,ÛâÛßÀi äÒÒßÒÜÜÀi Ü ÒÛÜÛ^ë. áÞÈÜÒØ?ÒÒ ëäãÒÜÛÒ ßãÚÒê ÇÀêÈ ãâêÛ,,Üëêã ââßãêÒÜÛÒß ÛÜ,ÛÜêÜÀi Ò?ÒÜÛØ, äããÚÒßÀi ,ëßfl ÛÜéÛÜÛêÒÑÛßÞÈÜÀßÛ âÛßßÒêÛflßÛ. 3. ü,ÜÒÜÛÒ Õ,,Òâ ÝÝ äÛßÒ õÒêãÀ, ãäÛâÜÜÀÒ , äÒÀëÒß ÑÒÞÒ, ÛÞÞâêÛã,ÜÀ ÜÛÚÒ Ü äÛßÒÒ ë,ÜÒÜÛfl Õ,,Òâ [11] u t = uu x + u xx . (18)

1 1 -- ' ( t ) u + -- '' ( t ) x + p' ( t ) + 2 xu + = 0 , 2 2 u x + xx - t = 0.

øÒ,ãÒ ë,ÜÒÜÛÒ (22) Òê = (t, x)u + Å(t, x), äÛ êãß ,êããÒ ë,ÜÒÜÛÒ (22) âêÜã,Ûêâfl êÝÛß: 1 ' ( t ) + u + 1 '' ( t ) x + p' ( t ) + 2 + Å = 0 , --x 2 2 ãêÝë 1 = - -- ' ( t ) , 2 1 Å = - -- '' ( t ) x - p' ( t ) . 2

ýÝÛß ãÇÑãß, ßÀ ÛßÒÒß 1 1 = - -- ' ( t ) u - -- '' ( t ) x - p' ( t ) . 2 2 (23)

Ôôüûýð?æûôðò ìüú÷Ôó êãß 50 < 4 2004


øÛÜ^Ûä äÛãÜã,,ã ÛâäãÞÈÑã,ÜÛfl âÛßßÒêÛØ

5

÷ÝãÜÒ^, äãâêÜã,Ý (23) , êÒêÈÒ ë,ÜÒÜÛÒ (22) Òê 1 -- ''' ( t ) x + p'' ( t ) = 0 , 2 ãêÝë '''(t) = 0, p''(t) = 0 Û äãêãßë ( t ) = C1 t + 2 C2 t + C3 ,
2

äÒÒßÒÜÜãØ a , ë,ÜÒÜÛfli óÛ): C1 = -1/t. ýÝÛß ãÇÑãß, t t = ------------- . 1 - at (26)

p ( t ) = C4 t + C5 .

øãâê,Þflfl (26) ,ã ,êããÒ ë,ÜÒÜÛÒ óÛ, ÜØÒß x x = ------------- . 1 - at (27)

øÛÜÛßfl ,ã ,ÜÛßÜÛÒ (21) Û (23), ßÀ , ÝãÜÒ~Üãß â~ÒêÒ äÛiãÛß Ý âÞÒëÒßë ãÇÒßë Ò?ÒÜÛ ãäÒÒÞflÒ,,ã ë,ÜÒÜÛfl (19): (t) = C 1 t + 2 C 2 t + C 3 ,
2

= C 1 tx + C 2 x + C 4 t + C 5 ,

= - ( C1 t + C2 ) u - C1 x - C4 . ùÜã âãÒÚÛê äflêÈ äãÛÑ,ãÞÈÜÀi ÝãÜâêÜê Ci. ?êã ãÑÜ~Òê, ~êã ÛÜéÛÜÛêÒÑÛßÞÈÜÀÒ âÛßßÒêÛÛ ë,ÜÒÜÛfl Õ,,Òâ (18) ãÇÑëê äflêÛßÒÜë Þ,,ÒÇë óÛ, "ÜêflÜëêë" Ü âÞÒëÛÒ ÞÛÜÒØÜã ÜÒÑ,ÛâÛßÀÒ ãäÒêãÀ: X 1 = ---- , t X 2 = ----- , x X 4 = 2 t ---- + x t 2 X 5 = t ---- + tx ----t x X 3 = t ----- - ----- , x u ----- - u ----- , x u - ( x + t u ) ----- . u

ü,ÜÒÜÛfl (26) Û (27) ãäÒÒÞflê âäÒ^ÛÞÈÜë ,,ëääë äãÒÝêÛ,Üã,,ã äÒãÇÑã,ÜÛfl (äÒãÇÑã,ÜÛÒ õfiÇÛëâ) Ü äÞãâÝãâêÛ. øãâê,Þflfl (26) Û (27) , êÒêÈÒ ë,ÜÒÜÛÒ óÛ, äãÞë~Ûß ÞÛÜÒØÜãÒ ÜÒãÜããÜãÒ ë,ÜÒÜÛÒ t du x ----- + ------------- u + ------------- = 0. da 1 - at 1 - at ðÜêÒ,,Ûëfl êã ë,ÜÒÜÛÒ â Ü~ÞÈÜÀß ëâÞã,ÛÒß: u = u äÛ a = 0, ÜØÒß u = u ( 1 - at ) - ax . (28)

(24)

ðâäãÞÈÑëfl äãÒÝêÛ,ÜÀÒ äÒãÇÑã,ÜÛfl (26)- (28) Û äÛßÒÜflfl ë,ÜÒÜÛÒ (15) Ý ÞÇãßë ÛÑ,ÒâêÜãßë Ò?ÒÜÛ u = (t, x) ë,ÜÒÜÛfl Õ,,Òâ, ßãÚÜã äãÞë~ÛêÈ âÞÒëÒÒ ãÜãäßÒêÛ~ÒâÝãÒ âÒßÒØâê,ã Üã,Ài Ò?ÒÜÛØ: x 1 t ax u = ------------- + ------------- -------------, ------------- . 1 - at 1 - at 1 - at 1 - at (29)

3.2. úÒ?ÒÜÛfl, äãÞë~ÒßÀÒ â äãßãÈ ,,ëääÀ âÛßßÒêÛÛ ÷ÒêëÜã ÜØêÛ äÒãÇÑã,ÜÛÒ (12) ,,ëääÀ, ãäëâÝÒßãÒ ë,ÜÒÜÛÒß Õ,,Òâ, äëêÒß Ò?ÒÜÛfl ë,ÜÒÜÛØ óÛ Þfl ãâÜã,ÜÀi ÛÜéÛÜÛêÒÑÛßÞÈÜÀi âÛßßÒêÛØ (24). áÞfl ,,ÒÜÒêãã, (24) ë,ÜÒÜÛfl óÛ (7) ÛßÒê "êÒë,,ãÞÈÜë" éãßë dt ----- = ( t ) , da dx ----- = ( t , x ) , da du ----- = ( t , x, u ) , (25) da

Ýãêãfl ëãÇÜ Þfl äãâÞÒã,êÒÞÈÜã,,ã ÛÜêÒ,,Ûã,ÜÛfl â ÛâäãÞÈÑã,ÜÛÒß âããê,Òêâê,ëÛi Ü~ÞÈÜÀi ëâÞã,ÛØ (âß. (7)) úââßãêÛß, ÜäÛßÒ, ,,ÒÜÒêã X5 ÛÑ ÜÇã (24). ü,ÜÒÜÛfl óÛ (25) Þfl êã,,ã âÞë~fl ÛßÒê ,Û dt 2 ----- = t , da dx ----- = tx , da du ----- = - ( x + t u ) . da

×ÀÚÒÜÛÒ (29) ÛßÒÒê ,ÚÜÀØ éÛÑÛ~ÒâÝÛØ âßÀâÞ. ùÜã ãäÛâÀ,Òê ,ÑÛßãÒØâê,ÛÒ âÛ,,ÜÞ u = (t, x) â ÞÛÜÒØÜÀß ë~âêÝãß äãéÛÞfl äÛÞããÇÑÜãØ ,ãÞÜÀ. ÷äÛßÒ, ÒâÞÛ ,ÀâãÝã~âêãêÜÀØ ^ë,, Ý,ÑÛ,,ßãÜÛ~ÒâÝã,,ã âÛ,,ÜÞ äãßÒÒÜ Ü ÑÜÛØ "âÝÞãÜ äÛÞÀ", ÝëêÛÑÜ Ýãêãã,,ã , äã^ÒââÒ âäãâêÜÒÜÛfl ,ãÞÜÀ ëÇÀ,Òê (ãêÛ^êÒÞÈÜÀÒ ÑÜ~ÒÜÛfl ÝãÜâêÜêÀ a), äãÛâiãÛê ëßÒÜÈ?ÒÜÛÒ ßäÞÛêëÀ âÛ,,ÜÞ Û Ò,,ã ~âêãêÀ. ÷äãêÛ,, Ü ëÝë~Òßâfl äÒÒÜÒß âÝÞãÜÒ ÜÛÑÝã~âêãêÜãØ ,ãÞÜÀ (ÝãÜâêÜê a äãÞãÚÛêÒÞÈÜ) âÛ,,ÜÞ ëâÛÞÛ,Òêâfl, ~âêãê Ò,,ã âêÒê. ?êÛ fl,ÞÒÜÛfl ãäÛâÜÀ êÒãÒêÛ~ÒâÝÛ Û ÜÇÞÞÛâÈ , ÝâäÒÛßÒÜêi (âß. [12, 13] ). øÛßÒ 1. õãÚÜã äãÞë~ÛêÈ ßÜãÚÒâê,ã Üã,Ài Ò?ÒÜÛØ, ,ÀÇÛfl , Ý~Òâê,Ò ÛâiãÜã,,ã u = (t, x) ÞÇãÒ ÛÜ,ÛÜêÜãÒ Ò?ÒÜÛÒ. ×ãÑÈßÒß, Ý äÛßÒë, Ò?ÒÜÛÒ, ÛÜ,ÛÜêÜãÒ ãêÜãâÛêÒÞÈÜã â,Û,, ,ãÞÈ ÝããÛÜêÀ x, ,,ÒÜÒÛëÒßãÒ ãäÒêããß X2 ÛÑ (24). × êãß âÞë~Ò ÛÜ,ÛÜêßÛ Çëëê = t, Å = u, Û ë,ÜÒÜÛÒ (17) ÑäÛ?Òêâfl ÝÝ u = (t). øãâêÜã,Ý êã,,ã ,ÀÚÒÜÛfl , ë,ÜÒÜÛÒ Õ,,Òâ äÛ,ãÛê Ý êÛ,ÛÞÈÜãßë Ò?ÒÜÛ , ,ÛÒ ÝãÜâêÜêÀ: u = k. ùÜã äÒãÇÑëÒêâfl äã éãßëÞÒ (29)

ðÜêÒ,,Ûã,ÜÛÒ äÒ,ã,,ã ë,ÜÒÜÛfl Òê 1 t = - -------------- . a + C1 ýÒÇëfl , âããê,Òêâê,ÛÛ â Ü~ÞÈÜÀß ëâÞã,ÛÒß Þfl ë,ÜÒÜÛØ óÛ, ~êãÇÀ t = t äÛ a = 0, ÜØÒß ÑÜ~ÒÜÛÒ äãâêãflÜÜãØ C1 (ÝãÜâêÜêÀ äã ãêÜã?ÒÜÛ Ý
Ôôüûýð?æûôðò ìüú÷Ôó êãß 50 < 4 2004


6

ðÇ,,Ûßã,, úëÒÜÝã*

, âÞÒëÒÒ ãÜãäßÒêÛ~ÒâÝãÒ âÒßÒØâê,ã Ò?ÒÜÛØ: k + ax u = -------------- , 1 - at ÛâäãÞÈÑëÒßÀi , ÜÒÞÛÜÒØÜãØ ÝëâêÛÝÒ Þfl ãäÛâÜÛfl ,,ÞÝÛi ë~âêÝã, äãéÛÞfl äÛÞããÇÑÜÀi ,ãÞÜ [4]. øÛßÒ 2. ùÜÛß ÛÑ ÜÛÇãÞÒÒ ÛÜêÒÒâÜÀi â éÛÑÛ~ÒâÝãØ êã~ÝÛ ÑÒÜÛfl Ò?ÒÜÛØ fl,ÞflÒêâfl âê^ÛãÜÜãÒ Ò?ÒÜÛÒ u = ( x ), äãÞë~ÒÜÜãÒ ÛÑ ëâÞã,Ûfl ÛÜ,ÛÜêÜãâêÛ ãêÜãâÛêÒÞÈÜã ,,ëääÀ äÒÒÜãâã, äã ,ÒßÒÜÛ, ,,ÒÜÒÛëÒßãØ ãäÒêããß X1. øãâêÜã,Ý , ë,ÜÒÜÛÒ Õ,,Òâ äÛ,ãÛê Ý ãÇÀÝÜã,ÒÜÜãßë ÛééÒÒÜ^ÛÞÈÜãßë ë,ÜÒÜÛ '' + ' = 0. (30) ðÜêÒ,,Ûëfl Ò,,ã ãÛÜ Ñ: ' + 2/2 = C1 Û ÛÜêÒ,,Ûëfl âÜã,, äãÞ,,fl ÝãÜâêÜêë ,ÜãØ C1 = 0, C1 = = 2 > 0, C1 = -2 < 0, äãÞë~Ûß 2 = ------------ , x+C = th C + -- x , 2

X5. ÿÝêÒÛâêÛ~ÒâÝfl âÛâêÒß (16) ÑäÛ?Òêâfl êÝ: du dx dt ---- = ----- = - ------------- . 2 x + tu tx t úÒ?fl ÒÒ, ÜØÒß , ÛÜ,ÛÜê = x/t, Å = x + tu. ýÝÛß ãÇÑãß, ãÇÒÒ ,ÀÚÒÜÛÒ (17) Þfl ÛÜ,ÛÜêÜã,,ã Ò?ÒÜÛfl äÛßÒê ,Û x1 u = - -- + -- ( ) , tt x = -- . t (33)

øãâê,Þflfl êã ,ÀÚÒÜÛÒ , ë,ÜÒÜÛÒ Õ,,Òâ (18), äãÞë~Ûß Þfl () , êã~ÜãâêÛ ë,ÜÒÜÛÒ (30). ûÞÒã,êÒÞÈÜã, Ò,,ã ãÇÒÒ Ò?ÒÜÛÒ äãÞë~Òêâfl ÛÑ (31) ÑßÒÜãØ x Ü . ûããê,Òêâê,ëÛÒ ÛÜ,ÛÜêÜÀÒ Ò?ÒÜÛfl äãÞë~êâfl äãâêÜã,ÝãØ , (33) ÒÑëÞÈêê Þfl (). ÷äÛßÒ, ÛâäãÞÈÑëfl Þfl () ,êãë éãßëÞë (31) Û äãÞ,,fl , ÜÒØ = , äÛiãÛß Ý Ò?ÒÜÛ 1 x u = -- - x - th C + ----- , t 2t (34)

= tg C - -- x . 2

(31)

,À,ÒÒÜÜãßë ú.×.ÿãiÞã,Àß äëêÒß éÛÑÛ~ÒâÝÛi ââëÚÒÜÛØ (âß., ÜäÛßÒ, [14], ,,Þ. 9, ? 4). ñßÒêÛß, ~êã éãßëÞ (34) äãÞë~Òêâfl êÝÚÒ ÛÑ ,êããØ éãßëÞÀ (32), ÒâÞÛ äãÞãÚÛêÈ = -a Û ëâêÒßÛêÈ a Ý ÇÒâÝãÜÒ~ÜãâêÛ. øÛßÒ 5. úÒ?ÒÜÛfl, ÛÜ,ÛÜêÜÀÒ ãêÜãâÛêÒÞÈÜã ,,ëääÀ âêflÚÒÜÛØ, ,,ÒÜÒÛëÒßãØ ãäÒêããß X4, , éÛÑÛ~ÒâÝãØ ÞÛêÒêëÒ ~âêã ÜÑÀ,ê ,êãßãÒÞÈÜÀßÛ Ò?ÒÜÛflßÛ. × êãß âÞë~Ò iÝêÒÛâêÛ~ÒâÝfl âÛâêÒß dt dx du ---- = ----- = - ----2t x u Òê âÞÒëÛÒ ÛÜ,ÛÜêÀ: = x/ t , Å = t u. ûÞÒã,êÒÞÈÜã, ÛÜ,ÛÜêÜãÒ Ò?ÒÜÛÒ ÜëÚÜã ÛâÝêÈ , ,ÛÒ 1 u = ----- ( ) , t x = ----- . t

ñßÒêÛß, ~êã äÒãÇÑã,ÜÛÒ ÙÞÛÞÒfl t = t, x = x + at, u = u - a, ,,ÒÜÒÛëÒßãÒ ãäÒêããß X3, ãêãÇÚÒê X1 , âëßßë X1 + cX2. ûããê,Òêâê,ÒÜÜã, ãÜã ãêãÇÚÒê âê^ÛãÜÜãÒ Ò?ÒÜÛÒ , ÇÒ,,ëë ,ãÞÜë u = u(x - ct), ÞÒ,,Ýã äãÞë~Òßë ÛÑ Ò?ÒÜÛØ (31). ôÝ ÛÑ,ÒâêÜã, Ò?ÒÜÛÒ , ,ÛÒ ",,ÛäÒÇãÞÛ~ÒâÝã,,ã êÜ,,ÒÜâ" ãäÛâÀ,Òê ãÛÜã~Üë ëÜë ,ãÞÜë â ÝãÜÒ~ÜãØ ?ÛÛÜãØ éãÜê [4, 14]. øãéÛÞÛ ë,,Ûi ,ëi âê^ÛãÜÜÀi ,ãÞÜ (31) âãÒÚê ãâãÇÒÜÜãâêÛ; äãêãßë êÛ Ò?ÒÜÛfl , éÛÑÛ~ÒâÝÛi Ñ~i ÛâäãÞÈÑëêâfl ÒÚÒ. øÛßÒ 3. æâÞÛ äÛßÒÜÛêÈ äÒãÇÑã,ÜÛÒ (29) Ý âê^ÛãÜÜÀß Ò?ÒÜÛflß (31), äãÞë~êâfl âÞÒëÛÒ Üã,ÀÒ ÜÒâê^ÛãÜÜÀÒ Ò?ÒÜÛfl: 2 ax u = ------------- + ------------------------------- , 1 - at x + C ( 1 - at ) 1 x u = ------------- ax + th C + --------------------- , 1 - at 2 ( 1 - at ) 1 x u = ------------- ax + tg C - --------------------- . 1 - at 2 ( 1 - at ) øÛßÒ 4. ÷ØÒß ÛÜ,ÛÜêÜÀÒ Ò?ÒÜÛfl Þfl äãÒÝêÛ,ÜãØ ,,ëääÀ, ,,ÒÜÒÛëÒßãØ ãäÒêããß (32)

× ÒÑëÞÈêêÒ äãÞë~Òêâfl ë,ÜÒÜÛÒ [4] Þfl ÜiãÚÒÜÛfl ,êãßãÒÞÈÜÀi Ò?ÒÜÛØ ë,ÜÒÜÛfl Õ,,Òâ: 1 '' + ' + -- ( ' + ) = 0. 2 ðÜêÒ,,Ûëfl Ò,,ã ãÛÜ Ñ, äãÞë~Ûß 12 ' + -- ( + ) = C . 2
Ôôüûýð?æûôðò ìüú÷Ôó êãß 50 < 4 2004

(35)


øÛÜ^Ûä äÛãÜã,,ã ÛâäãÞÈÑã,ÜÛfl âÛßßÒêÛØ

7

øÛ C = 0 êã ë,ÜÒÜÛÒ ÞÒ,,Ýã ÛÜêÒ,,ÛëÒêâfl Û Òê Ò?ÒÜÛÒ, Ûâ~ÒÑÒÒ Ü Á (âß. [14], ,,Þ. 9, ?4 ÛÞÛ [10], ê. 1, âÒÝ^.11.4): x exp - ---- 4 t 2 u = -------- ------------------------------- , x t B + erf -------- 2 t
2 z

2 2 erf ( z ) = ------ exp ( - s ) ds ,


0

,,Ò B - äãÛÑ,ãÞÈÜfl ÝãÜâêÜê Û erf - éëÜÝ^Ûfl ã?ÛÇãÝ. øÛßÒ 6. ôãÜâêëÛã,ÜÛÒ êã~ÜÀi Ò?ÒÜÛØ ßãÚÒê ÇÀêÈ ãâÜã,Üã ÜÒ êãÞÈÝã Ü ãâÜã,ÜÀi ÛÜéÛÜÛêÒÑÛßÞÈÜÀi âÛßßÒêÛfli (24), Üã êÝÚÒ Ü Ûi ÞÛÜÒØÜÀi ÝãßÇÛÜ^Ûfli. úââßãêÛß, Ý äÛßÒë, ãäÒêã 2 X 1 + X 5 = ( 1 + t ) ---- + tx ----- - ( x + t u ) ----- . t x u (36)

,Û,ÞÒÜêÜãâêÛ (âß. ãäÒÒÞÒÜÛÒ 2 , ÑÒÞÒ 4.2.), êã ,,ëää âÛßßÒêÛÛ ÜiãÛêâfl ÝÝ äãiãflfl äã,,ëää ,,ëääÀ Ý,Û,ÞÒÜêÜãâêÛ. × äãêÛ,Üãß âÞë~Ò ââßêÛ,Òßfl ÜÒÞÛÜÒØÜfl ßãÒÞÈ ãÇãÇÒêâfl äëêÒß ÒÒ "äã,,ëÚÒÜÛfl" , ÇãÞÒÒ ?ÛãÝë ßãÒÞÈ ãâêêã~Üã "ÑëßÜÀß" ãÇÑãß, ~êãÇÀ ÜÒ äãêÒflêÈ ÛâiãÜÀØ éÛÑÛ~ÒâÝÛØ âßÀâÞ Û , êã ÚÒ ,Òßfl ãâêÛ~È ÚÒÞÒßã,,ã â?ÛÒÜÛfl ,,ëääÀ Ý,Û,ÞÒÜêÜãâêÛ. øÛ êãß ÜÒÞÛÜÒØÜãâêÈ ßãÒÞÛ âëÒâê,ÒÜÜ, êÝ ÝÝ ãÜ äÛÒê ãâêêã~Üë ,,ÛÇÝãâêÈ , äãÇãÒ ßãÒÞÛ Û ãÇÒâäÒ~Û,Òê ãÇÜãâêÈ ßÒêã. 4.1. øã,,ëÚÒÜÛÒ Û äÛßÒÜÒÜÛÒ ÛÜ,ÛÜêã, óäÞâ úââßãêÛß ë,ÜÒÜÛÒ ðÜ?ãë (âß., ÜäÛßÒ, [15]): v v 2 -------- - c 1 + ------ 2 t
2 -( + 1 ) 2

ÿÝêÒÛâêÛ~ÒâÝfl âÛâêÒß Òê âÞÒëÛÒ ÛÜ,ÛÜêÀ: x = ---------------- , 2 1+t tx 2 Å = ---------------- + u 1 + t . 2 1+t x = ---------------- . 2 1+t (37)

v -------- = 0 , 2

(38)

ýÝÛß ãÇÑãß, ÛÜ,ÛÜêÜãÒ Ò?ÒÜÛÒ ÛßÒÒê ,Û 1 tx u = - ------------ + ---------------- ( ) , 2 2 1+t 1+t

ãäÛâÀ,ÒÒ , äÒÒßÒÜÜÀi ó,,ÜÚ ãÜãßÒÜãÒ ,ÛÚÒÜÛÒ âÚÛßÒßã,,ã ,,Ñ. þÛÑÛ~ÒâÝÛØ âßÀâÞ äÒÒßÒÜÜÀi: v - âßÒÒÜÛÒ ~âêÛ^ âÒÀ, c - âÝããâêÈ Ñ,ëÝ, - äãÝÑêÒÞÈ ÛÇêÀ , ë,ÜÒÜÛÛ âãâêãflÜÛfl. ü,ÜÒÜÛÒ (3) ßãÚÒê ÇÀêÈ ÞÛÜÒÛÑã,Üã "äÒãÇÑã,ÜÛÒß ,,ãã,,é": x = v , y = v t, = X ( x, y ) , t = u ( x, y ) , (39) êã ÒâêÈ Þ,,ÜÚÒ, ÝããÛÜê Û ,Òßfl t â~Ûêêâfl éëÜÝ^ÛflßÛ Üã,Ài ÜÒÑ,ÛâÛßÀi äÒÒßÒÜÜÀi x, y - äÒ,Ài äãÛÑ,ãÜÀi ãê ÛâÝãßãØ éëÜÝ^ÛÛ v. ûããê,Òêâê,ëÒÒ ÞÛÜÒÛÑã,ÜÜãÒ ë,ÜÒÜÛÒ ÛßÒÒê ,Û u 2 ------- - c ( 1 + x ) 2 x
2 -( + 1 )

øãâê,Þflfl êã ,ÀÚÒÜÛÒ , ë,ÜÒÜÛÒ Õ,,Òâ, äÛÒß Ý âÞÒëÒßë ë,ÜÒÜÛ Þfl (): '' + ' + = 0. ðÜêÒ,,Ûëfl (37) ãÛÜ Ñ, äãÞë~Ûß 12 2 ' + -- ( + ) = C 1 . 2 (39) (38)

ôã,, äãâêãflÜÜfl C1 = 0, Ò?ÒÜÛÒ êã,,ã ë,ÜÒÜÛfl ëÒêâfl ,ÀÑÛêÈ ~ÒÒÑ éëÜÝ^ÛÛ ÕÒââÒÞfl: d = 2 ----- ln d J
1/4

u ------- = 0. 2 y
2

(40)

- + C Y --- 4
2

1/4

- , --- 4
2

øÛ ßÞãß ÝëâêÛ~ÒâÝãß ~ÛâÞÒ õi |vx| = |x| ë,ÜÒÜÛÒ (40) ääãÝâÛßÛëê ÇãÞÒÒ äãâêÀß ë,ÜÒÜÛÒß u u 2 ------- - c [ 1 - ( + 1 ) x ] ------- = 0. 2 2 y x
2 2

,,Ò C - ,êãfl ÝãÜâêÜê. 4. õÒêã äÛãÜã,,ã ÛâäãÞÈÑã,ÜÛfl âÛßßÒêÛÛ × ÑÒÞÒ 3 ÜÀ äÛßÒÀ ÛâäãÞÈÑã,ÜÛfl ,,ëää âÛßßÒêÛÛ. ÷ã ,ã ßÜã,,Ûi Ñ~i ,,ëää âÛßßÒêÛÛ ãêâëêâê,ëÒê ÛÞÛ ÇÀ,Òê ÜÒãâêêã~Üã ?ÛãÝãØ Þfl Ò?ÒÜÛfl ÜÜã,,ã ßãÒÞÈÜã,,ã ë,ÜÒÜÛfl. øÒÞ,,ÒßÀØ ßÒêã Ü^ÒÞÒÜ Ü äãâêãÒÜÛÒ ßãÒÞÒØ â äã,À?ÒÜÜãØ âÛßßÒêÛÛ ÇÒÑ äãêÒÛ éÛÑÛ~ÒâÝã,,ã âãÒÚÜÛfl ÛâiãÜãØ ßãÒÞÛ. ûëêÈ ßÒêã âãâêãÛê , âÞÒëÒß. æâÞÛ ßãÒÞÈ âãÒÚÛê "äãÛÑ,ãÞÈÜÀÒ ÞÒßÒÜêÀ" Û ãäëâÝÒê ãâêêã~Üã ?ÛãÝë ,,ëääë ÝÔôüûýð?æûôðò ìüú÷Ôó êãß 50 < 4 2004

(41)

ùÜÝã ÜÛ ë,ÜÒÜÛÒ (40), ÜÛ Ò,,ã ëäãÒÜÜfl ,ÒâÛfl (41) ÜÒ Ò?êâfl, äãâÝãÞÈÝë ÜÒ ãÇÞê ãâêêã~Üã ?ÛãÝãØ ,,ëääãØ âÛßßÒêÛÛ. øãêãßë ,ÀÇÒÒß ääãÝâÛßÛëÒÒ ë,ÜÒÜÛÒ ÜÒ äã äãâêãêÒ Ò,,ã ,Û, äã äÛÜ^Ûäë ÜÞÛ~Ûfl âÛßßÒêÛÛ, ãâêêã~ÜãØ Þfl Ò,,ã ÑÒ?ÛßãâêÛ. ðßÒÜÜã, ââßãêÛß ,,ÛäÒÇãÞÛ~ÒâÝãÒ ë,ÜÒÜÛÒ u 2 2 u ------- - c ( x ) ------- = 0 , 2 2 y x
2 2

(42)


8

ðÇ,,Ûßã,, úëÒÜÝã*

ãÇãÇÒÒ (40) Û (41) Û ÑÛßâfl ^ÒÞÈ ÜØêÛ êÝë éëÜÝ^Û (x), Ýãêãfl, ,ã-äÒ,Ài, âã,äÞ ÇÀ äÛ ßÞÀi |x| â âããê,Òêâê,ëÒØ éëÜÝ^ÛÒØ , ÛâiãÜãß ë,ÜÒÜÛÛ Û, ,ã-,êãÀi, ãêÝÀ,Þ ,ãÑßãÚÜãâêÈ ÜØêÛ ãÇÒÒ Ò?ÒÜÛÒ ë,ÜÒÜÛfl (42). ×ÀÇÒÒß (x) êÝ, ~êãÇÀ ë,ÜÒÜÛÒ (42) ãäëâÝÞã ßÝâÛßÞÈÜã ?ÛãÝë ,,ëääë. ÿãã?ã ÛÑ,ÒâêÜã, ~êã ë,ÜÒÜÛÒ ,,ÛäÒÇãÞÛ~ÒâÝã,,ã êÛä u u u ------------- + A ( , ) ------ + B ( , ) ----- + P ( , ) u = 0 (43)
2

ðêÝ, ë,ÜÒÜÛÒ (42) â ßÝâÛßÞÈÜã ?ÛãÝãØ ,,ëääãØ âÛßÒêÛÛ ÛßÒÒê ,Û u 2 -4 u ------- - c [ l + s x ] ------- = 0. 2 2 y x
2 2

û,ÜÛ,fl Ò,,ã â ë,ÜÒÜÛÒß (41), ,ÛÛß, ~êã ÜëÚÜã äãÞãÚÛêÈ ÝãÜâêÜêÀ ,ÜÀßÛ l = 1, s = ( + 1)/4. ýÝÛß ãÇÑãß, ÜiãÛß ÛâÝãßãÒ ÑÒ?ÛßãÒ ë,ÜÒÜÛÒ u 2 ------- - c 1 + -- x 2 2 x
2 -4 2

u ------- = 0 , 2 y

+1 = ----------- , 2

(50)

ãäëâÝÒê ßÝâÛßÞÈÜã ?ÛãÝë ,,ëääë [16, 17] Û êÒß âßÀß ßãÚÒê ÇÀêÈ Ò?ÒÜã â,ÒÒÜÛÒß Ý ãÇÀ~Üãßë ,ãÞÜã,ãßë ë,ÜÒÜÛ, ÒâÞÛ ÛÜ,ÛÜêÀ óäÞâ [18] Þfl ë,ÜÒÜÛfl (43) A h = ------ + AB - P , B k = ------ + AB - P (44)

ÝãêããÒ ääãÝâÛßÛëÒê ë,ÜÒÜÛÒ (40) â ãâêêã~ÜãØ âêÒäÒÜÈ êã~ÜãâêÛ äÛ |x| 1. áÞfl Ò?ÒÜÛfl ë,ÜÒÜÛfl (50) äÒÒäÛ?Òß Ò,,ã , ÝÜãÜÛ~ÒâÝãØ éãßÒ (46) 1 u u u -------------- + ------------ ------ + ----- = 0. +
2

(51)

ãÇêâfl , ÜëÞÈ. øãêãßë ,À~ÛâÞÛß ÛÜ,ÛÜêÀ óäÞâ ë,ÜÒÜÛfl (42), äÒÒäÛâ, Ò,,ã , iÝêÒÛâêÛ~ÒâÝÛi äÒÒßÒÜÜÀi = c ( x ) dx - y ,



= c ( x ) dx + y .



(45)

ûã,,ÞâÜã ãÇÒØ êÒãÛÛ, ë,ÜÒÜÛÒ (51) â,ãÛêâfl Ý äãâêÒØ?Òßë ,ãÞÜã,ãßë ë,ÜÒÜÛ w = 0 ÑßÒÜãØ w = ( + )u. øãêãßë ãÇÒÒ Ò?ÒÜÛÒ ë,ÜÒÜÛfl (51) Òêâfl éãßëÞãØ 1 u ( , ) = ------------ [ 1 ( ) + 2 ( ) ] + (52)

× êÛi äÒÒßÒÜÜÀi (42) äÛÜÛßÒê ÝÜãÜÛ~ÒâÝë éãßë (43) ' ( x ) u ------------- + ------------------ 4 c 2 ( x )
2

u u ------ + ----- = 0

(46)

â ,ëßfl äãÛÑ,ãÞÈÜÀßÛ éëÜÝ^ÛflßÛ 1, 2. ýÒäÒÈ ßãÚÜã ,ÒÜëêÈâfl , (52) Ý äÒÒßÒÜÜÀß x, y. þãßëÞÀ (45) ê 2c = - --------------------------- + y , ( 1 + x /2 ) 2c = - --------------------------- - y , ( 1 + x /2 )

â ÝãééÛ^ÛÒÜêßÛ ' ( x ) A = B = ------------------- , 2 4c ( x ) P = 0, (47)

4c + = - --------------------------- . ( 1 + x /2 ) øãâêÜã,Ý êÛi ,ÀÚÒÜÛØ , ë,ÜÒÜÛÒ (52) â ÑßÒÜãØ ÜÒâëÒâê,ÒÜÜã,,ã ÑÜÝ , äãÛÑ,ãÞÈÜÀi éëÜÝ^Ûfli Òê âÞÒëÒÒ ãÇÒÒ Ò?ÒÜÛÒ ë,ÜÒÜÛfl (50): ( 1 + x /2 ) u ( x, y ) = --------------------------- ç 4c 2c 2c ç 1 --------------------------- + y + 2 --------------------------- - y . ( 1 + x /2 ) ( 1 + x /2 )

,,Ò x ,ÀÚÒêâfl ~ÒÒÑ Û âã,,ÞâÜã (45), ÛßÒÜÜã x = (z),
-1

+ z = ------------ = ( x ) ( x ) d x . (48) 2c



ðÑ ë,ÜÒÜÛØ (47) Û (48) ÜiãÛß
2 A z B 1 A A ' '' ------ = ------ ---- = ----------------- ------ = -------------- - -------------- = ------ . 23 24 x zx 2c( x ) x 8c 4c

(53)

øãÞÈÑëflâÈ êÛß âããêÜã?ÒÜÛÒß, ,À~ÛâÞflÒß ÛÜ,ÛÜêÀ óäÞâ (44) Þfl ë,ÜÒÜÛfl (46): 1 32 h = k = -------------- '' - -- ' . 2 4 2 8c (49)

ûëßßÛëfl, ßãÚÜã ÝãÜâêêÛã,êÈ, ~êã Ò?ÒÜÛÒ (53) ëÞãâÈ ÜØêÛ äëêÒß "äã,,ëÚÒÜÛfl" ÛÜêÒÒâëÒØ Üâ ßãÒÞÛ (38) , ÇãÞÒÒ ãÇë ßãÒÞÈ v 2 2 v v -------- - c ------ -------- = 0. 2 2 t
2 2

(54)

ûÞÒã,êÒÞÈÜã, ëâÞã,Ûfl h = k = 0 â,ãflêâfl Ý ãÜãßë ë,ÜÒÜÛ, Ò?ÒÜÛÒ Ýãêãã,,ã ( x ) = (l + sx ) ,
-2

s, l = const.

×ÚÜã äã~ÒÝÜëêÈ, ãÜÝã, ~êã ,ãÑßãÚÜãâêÈ äãâêãÒÜÛfl Ò?ÒÜÛfl (53) âëÒâê,ÒÜÜã â,flÑÜ â êÒß âÞë~ØÜÀß ãÇâêãflêÒÞÈâê,ãß, ~êã ë,ÜÒÜÛÒ (38) Û Ò,,ã ãÇãÇÒÜÛÒ (50) ÞÛÜÒÛÑëêâfl äÒãÇÑã,Ôôüûýð?æûôðò ìüú÷Ôó êãß 50 < 4 2004


øÛÜ^Ûä äÛãÜã,,ã ÛâäãÞÈÑã,ÜÛfl âÛßßÒêÛØ

9

ÜÛÒß (39). øãêãßë, iãêfl êãê äÛßÒ Ü,,ÞflÜã ÛÞÞâêÛëÒê ÛÒ äã,,ëÚÒÜÛfl Û äãÝÑÀ,Òê, ÝÝ ãÇãÇÒÜÛÒ ßãÒÞÛ ßãÚÒê äÛ,ÒâêÛ Ý ÒÒ ÑÒ?ÛßãâêÛ, Üã ãÜ ÒÒ ÜÒ Òê äÝêÛ~ÒâÝã,,ã ßÒêã, äãÑ,ãÞflÒ,,ã ãêÇÛêÈ ÛÑ ãÇãÇÒÜÜãØ ßãÒÞÛ ÜÛÇãÞÒÒ âÛßßÒêÛ~ÜÀÒ ë,ÜÒÜÛfl. ýÝãØ ßÒêã ãÇâëÚÒêâfl , âÞÒëÒß ÑÒÞÒ Ü ÝãÜÝÒêÜãß äÛßÒÒ. 4.2. õÒêã, ãâÜã,ÜÜÀØ Ü êÒãÒßÒ ã äãÒÝ^Ûfli ýÒãÒß ã äãÒÝ^Ûfli ÇÀÞ ãÝÑÜ ÷.ÿ. ðÇ,,Ûßã,Àß , 1987 ,,ãë [19] Û ÑêÒß ÛâäãÞÈÑã,Ü , Ñ~i ,,ëääã,ãØ ÝÞââÛéÛÝ^ÛÛ [20], âê, ãâÜã,ãØ ßÒêã "äÒ,ÛêÒÞÈÜãØ ,,ëääã,ãØ ÝÞââÛéÛÝ^ÛÛ" (âß.êÝÚÒ [21-23]). øÒÒØÒß êÒäÒÈ Ý ãâÜã,ÜÀß äÛßÒß, ÛÞÞâêÛëÛß ,ãÑßãÚÜãâêÛ äÒÞ,,Òßã,,ã äãiã. ?êÛ äÛßÒÀ ÛÜêÒÒâÜÀ Û âßÛ äã âÒÇÒ, äãâÝãÞÈÝë ââßêÛ,êâfl Üã,ÀÒ ÜÒÞÛÜÒØÜÀÒ ë,ÜÒÜÛfl. ði éÛÑÛ~ÒâÝãÒ âãÒÚÜÛÒ ãÇâëÚÒêâfl , âÞÒëÒß ÑÒÞÒ. ÷~ÜÒß â ÜÒÞÛÜÒØÜã,,ã ë,ÜÒÜÛfl u u ---- ----- - u ----- = - u , -t t x X 1 = ---- , t X 2 = ----- , x = const 0. (55)

Q, F) äÒÒiãÛê , ë,ÜÒÜÛÒ êã,,ã ÚÒ âÒßÒØâê,, êã ÒâêÈ u u ---- ----- - Q ( x, u ) ----- = F ( x, u ) , -t t x ,,Ò, ,ããÇÒ ,,ã,ãfl, éëÜÝ^ÛÛ Q , F ÜÒ âã,äê â Q, F. ÙÒÜÒêãÀ ,,ëääÀ Ý,Û,ÞÒÜêÜãâêÛ ÛßÒê ,Û 1 2 1 2 Y = ---- + ----- + ----- + Å ------ + ------ , u t x Q F ,,Ò = ( t , x, u ) ,
1 1 1 1

(59)

= ( t , x, u ) , i = 1, 2.

Å = Å ( t, x, u, Q, F ) ,

ùÜã ãäëâÝÒê êÒißÒÜë Þ,,ÒÇë óÛ â ÇÑÛâãß X 3 = t ---- - x ----- + 2 u ----- . (56) t x u

ùÜÛ ãÇÑëê Þ,,ÒÇë óÛ, Ýãêãfl ÜÑÀ,Òêâfl Þ,,ÒÇãØ Ý,Û,ÞÒÜêÜãâêÛ Û ãÇãÑÜ~Òêâfl ÝÝ L. × ãäÒêãÒ (59) Û ÒÒ ÝããÛÜêi éëÜÝ^ÛÛ Q, F ââßêÛ,êâfl ÝÝ Üã,ÀÒ äÒÒßÒÜÜÀÒ Üflë â éÛÑÛ~ÒâÝÛßÛ äÒÒßÒÜÜÀßÛ t, x, u. ôÝ äãÝÑÞ ó.×.ù,âflÜÜÛÝã, [8], Þ,,ÒÇë Ý,Û,ÞÒÜêÜãâêÛ ßãÚÜã ÜØêÛ â äãßãÈ ÛÜéÛÜÛêÒÑÛßÞÈÜãØ êÒiÜÛÝÛ óÛ (âß. ÑÒÞ 2.1), ãäÒÒÞÛ, ,,ëääë Ý,Û,ÞÒÜêÜãâêÛ ÝÝ ,,ëääë, ãäëâÝÒßë âÞÒëÒØ â?ÛÒÜÜãØ âÛâêÒßãØ, ,ÜãâÛÞÈÜãØ âÒßÒØâê,ë ë,ÜÒÜÛØ ,Û (58): u tx - Qu tt - Q u u t - F = 0 ,
2

ûããê,Òêâê,ÒÜÜã, ë,ÜÒÜÛÒ (55) ÜÒ Çã,,êã ÛÜ,ÛÜêÜã-,,ëääã,ÀßÛ Ò?ÒÜÛflßÛ; Ûi ÝÞââ ã,,ÜÛ~ÒÜ Ò?ÒÜÛflßÛ êÛä ÇÒ,,ëÛi ,ãÞÜ, äãâêãÒÜÜÀßÛ â äãßãÈ ,,ÒÜÒêãã, äÒÒÜãâ X1, X2, Û ,êãßãÒÞÈÜÀßÛ Ò?ÒÜÛflßÛ, äãâêãÒÜÜÀßÛ â äãßãÈ ,,ÒÜÒêã âêflÚÒÜÛfl X3. øãêãßë ÛâäãÞÈÑëÒß ÛÒ äã,,ëÚÒÜÛfl, ââßêÛ,fl , êÛä ßãÒÞÒØ, ãÇãÇÛi ë,ÜÒÜÛÒ (55). øÒ,fl ÛÑ ÜÛi ÛßÒÒê ,Û u u ---- ----- - P ( u ) ----- = F ( x, u ) , -t x t , Ý~Òâê,Ò ,êããØ ,ãÑÈßÒß u u ---- ----- - Q ( x, u ) ----- = F ( x, u ) . -t x t (57)

Q t = 0,

F t = 0. (60)

÷Òâßãêfl Ü äÛÜ^ÛäÛÞÈÜãÒ âiãâê,ã â ÝÞââÛ~ÒâÝãØ êÒãÛÒØ óÛ, ÛßÒêâfl ÑÜ~ÛêÒÞÈÜÀÒ êÒiÜÛ~ÒâÝÛÒ ÑÞÛ~Ûfl ßÒÚë ,À~ÛâÞÒÜÛÒß ÛÜéÛÜÛêÒÑÛßÞÈÜÀi âÛßßÒêÛØ Û ,,ÒÜÒêãã, (59) ,,ëääÀ Ý,Û,ÞÒÜêÜãâêÛ. øããÇÜÀÒ ,À~ÛâÞÒÜÛfl ßãÚÜã ÜØêÛ , [20] Û [21]. ðâäãÞÈÑëfl êãê äãiã, ßãÚÜã ,À~ÛâÞÛêÈ, ~êã Þfl ë,ÜÒÜÛfl (58) ,,ÒÜÒêãÀ (59) ,,ëääÀ Ý,Û,ÞÒÜêÜãâêÛ ÛßÒê âÞÒëÛÒ ÝããÛÜêÀ: = C1 t + ( x ) ,
1

= ( x ),
2

= ( C1 + C2 ) u + ( x ) , (58) Å = - ' ( x ) + [ C 1 - ' ( x ) ] Q ,
1 2

(61)

Å = [ C 2 - ' ( x ) ] F ,

×À~ÛâÞÒÜÛfl äãÝÑÀ,ê, ~êã ,êããÒ ãÇãÇÒÜÛÒ ÜÛÇãÞÒÒ ë~Üã Û fl,ÞflÒêâfl Ûâêã~ÜÛÝãß ,,ëääÀ âÛßßÒêÛÛ, Ýãêãfl ÑÜ~ÛêÒÞÈÜã Çã,,~Ò, ~Òß ë ë,ÜÒÜÛØ (55) Û (57). øãêãßë ßÀ äãÛÞÞâêÛëÒß ãâÜã,ÜÀÒ äãÞãÚÒÜÛfl ßÒêã äÛãÜÀi âÛßßÒêÛØ ÛßÒÜÜã Ü ßãÒÞÛ (58). ùäÒÒÞÒÜÛÒ 2. Ùëää äÒãÇÑã,ÜÛØ (2) ÜÑÀ,Òêâfl ,,ëääãØ Ý,Û,ÞÒÜêÜãâêÛ, ÒâÞÛ ÝÚãÒ ë,ÜÒÜÛÒ ÜÜã,,ã âÒßÒØâê, (, ââßêÛ,Òßãß âÞë~Ò âÒßÒØâê, (58) â ÞÇÀßÛ éëÜÝ^ÛflßÛ
Ôôüûýð?æûôðò ìüú÷Ôó êãß 50 < 4 2004

,,Ò , , - äãÛÑ,ãÞÈÜÀÒ éëÜÝ^ÛÛ ãê x. ?êã ãÑÜ~Òê, ~êã ë,ÜÒÜÛÒ (58) ÛßÒÒê ÇÒâÝãÜÒ~ÜãßÒÜë Þ,,ÒÇë L â ÇÑÛâãß Y 1 = ( x ) ---- - ' ( x ) ------ , t Q Y 2 = ( x ) ----- - ' ( x ) Q ------ - ' ( x ) F ------ , x Q F Y 3 = ( x ) ----- , Y 4 = t ---- + u ----- + Q ------ , u t u Q

(62)


10

ðÇ,,Ûßã,, úëÒÜÝã*

Y 5 = u ----- + F ------ . u F ñßÒ~ÜÛÒ 1. ÔÜÞã,,Û~Üã ßãÚÜã äãÝÑêÈ, ~êã ë,ÜÒÜÛÒ (57) ÛßÒÒê âÒßÛßÒÜë Þ,,ÒÇë L, ÜêflÜëêë Ü ãäÒêãÀ Y 1 = ---- , t Y 2 = ----- , x Y 3 = ----- , u (63)

âêÜÀi äãÛÑ,ãÜÀi äÒ,ã,,ã äãflÝ Þfl éëÜÝ^ÛØ Q(x, u), F(x, u): Q ( x ) ------ + [ ( C 1 + C 2 ) u + ( x ) x + [ ' ( x ) - C 1 ] Q + ' ( x ) = Q ] ------ + u 0,

(70)

Y 4 = t ---- + u ----- + P ------ , t u P Y 6 = x ---- - ------ , t P

Y 5 = u ----- + F ------ , u F

F F ( x) ------ + [(C 1 + C 2 ) u + ( x)] ------ + [ '( x) - C 2 ] F = 0. x u ñßÒ~ÜÛÒ 2. ?ê êÒãÒß éãßëÞÛëÒêâfl ÜÞã,,Û~Üã Þfl ë,ÜÒÜÛfl (57) â ÑßÒÜãØ ãäÒêãã, (62) Ü ãäÒêãÀ (63), ë,ÜÒÜÛØ (68) Ü P = P(u), C 1 = 1, F = F ( x, u ) . ( x) = k - x, øÛßÒ 1. ×ãÑÈßÒß , (61) ( x ) = 0, C 2 = 0, ( x ) = 0,

Y 7 = x ----- - P ------ - F ------ . x P F

áÞÈÜÒØ?ÛÒ ,À~ÛâÞÒÜÛfl ãâÜã,ÜÀ Ü êÒãÒßÒ ã äãÒÝ^Ûfli, ëäãßflÜëêãØ , Ü~ÞÒ ÑÒÞ 4.2. ùÇãÑÜ~Ûß ~ÒÒÑ X, Z äãÒÝ^ÛÛ ,,ÒÜÒêã (59) ,,ëääÀ Ý,Û,ÞÒÜêÜãâêÛ Ü éÛÑÛ~ÒâÝÛÒ äÒÒßÒÜÜÀÒ t, x, u Û äÒÒßÒÜÜÀÒ x, u, Q, F äãÛÑ,ãÞÈÜÀi ÞÒßÒÜêã,, âããê,Òêâê,ÒÜÜã: X = pr Z = pr
( t , x, u )

êã ÒâêÈ ,ÀÇÒÒß Y' L ~âêÜã,,ã ,Û Y ' = t ---- + ( x - k ) ----- + u ----- - F ------ . t x u F (71)

1 2 ( Y ) ---- + ----- + ----- , t x u

(64)

( x, u, Q, F )(Y

2 1 2 ) ----- + ----- + Å ------ + Å ------ . (65) x u Q F

ýã,, Ò?ÒÜÛÒß âÛâêÒßÀ ë,ÜÒÜÛØ (70) äãÞë~Òß éëÜÝ^ÛÛ u Q = ---------- , x - k 1 u F = ---------- ---------- , x - k x-k (72)

øãâê,Þflfl (61) , (64) Û (65), äãÞë~Ûß äãÒÝ^ÛÛ, ãäÒÒÞÒÜÜÀÒ ÝãÒÝêÜã , êãß âßÀâÞÒ, ~êã ÝããÛÜêÀ X Ñ,Ûâflê êãÞÈÝã ãê t, x, u, ÝããÛÜêÀ Z - ãê äÒÒßÒÜÜÀi x, u, Q, F: X = [ C 1 t + ( x ) ] ---- + ( x ) ----- + x t + [ ( C 1 + C 2 ) u + ( x ) ] ----- , u Z = ( x ) ----- + [ ( C 1 + C 2 ) u + ( x x + [ - ' ( x ) + ( C 1 - ' ( x ) Q ) ] ------ + ( C 1 - Q ) ] ----- + u

,,Ò , - äãÛÑ,ãÞÈÜÀÒ éëÜÝ^ÛÛ ãÜã,,ã ,,ëßÒÜê. ýÒãÒß ã äãÒÝ^Ûfli Òê, ~êã ë,ÜÒÜÛÒ (58) ,Û u u u 1 u ---- ----- - ---------- ----- = ---------- ---------- -- x - k t t x x - k x - k (73)

(66)

(67) ' ( x ) ) F ------ . F

ãäëâÝÒê, Üflë â ã~Ò,ÛÜÀß ,,ÒÜÒêããß äÒÒÜãâ äã ,ÒßÒÜÛ X0 = /t, ãÛÜ ãäãÞÜÛêÒÞÈÜÀØ ãäÒêã X' = t ---- + ( x - k ) ----- + u ----- . t x u ðÑ ë,ÜÒÜÛfl X'(J) = 0 ÜiãÛß ÛÜ,ÛÜêÀ t = ---------- , x-k u Å = ---------- . x-k (74)

øÛßÒÜÛêÒÞÈÜã Ý ë,ÜÒÜÛ (58) êÒãÒß ã äãÒÝ^Ûfli Ñ,ë~Ûê êÝ. ýÒãÒß ã äãÒÝ^Ûfli. ùäÒêã X, ãäÒÒÞÒÜÜÀØ éãßëÞãØ (66), fl,ÞflÒêâfl ÛÜÛéÛÜÛêÒÑÛßÞÈÜãØ âÛßßÒêÛÒØ ë,ÜÒÜÛfl (58) â éëÜÝ^ÛflßÛ Q = Q ( x, u ) , F = F ( x, u ) (68) êã,, Û êãÞÈÝã êã,,, Ýã,, âÛâêÒß ëß,ÜÒÜÛØ (68) ÛÜ,ÛÜêÜ ãêÜãâÛêÒÞÈÜã ,,ëääÀ â ,,ÒÜÒêããß Z, ãäÒÒÞÒÜÜÀß éãßëÞãØ (67), êã ÒâêÈ Ýã,, Z [ Q - Q ( x, u ) ] = 0, Z [ F - F ( x, u ) ] = 0, (69) ,,Ò äÒÒßÒÜÜÀÒ Q, F Üã ÑßÒÜÛêÈ Ü éëÜÝ^ÛÛ Q(x, u), F(x, u) , âããê,Òêâê,ÛÛ â ë,ÜÒÜÛflßÛ (68). ×,Ûë (67), ë,ÜÒÜÛfl (69) ßãÚÜã äÒÒäÛâêÈ , ,ÛÒ âÞÒëÒØ âÛâêÒßÀ ÞÛÜÒØÜÀi ë,ÜÒÜÛØ , ~-

ðÜ,ÛÜêÜãÒ Ò?ÒÜÛÒ u = (x - k)G() ë,ÜÒÜÛfl (73) ãÞÚÜã ëã,ÞÒê,ãflêÈ ãÇÀÝÜã,ÒÜÜãßë ÛééÒÒÜ^ÛÞÈÜãßë ë,ÜÒÜÛ G'' + ( ( G ) G' )' + ( G ) = 0. ðÜêÒÒâ äÒâê,ÞflÒê ~âêÜÀØ âÞë~Ø ë,ÜÒÜÛfl (73) â ÞÛÜÒØÜÀßÛ éëÜÝ^ÛflßÛ , , âããê,Òêâê,ëÛØ äãfl,ÞÒÜÛ , ÞÒ,ãØ ~âêÛ ë,ÜÒÜÛfl (73) Ý,êÛ~Üã-ÜÒÞÛÜÒØÜã,,ã ~ÞÒÜ: u u u u ---- ----- - ---------- ----- = - ----------------- . --2 t x k - x t (k - x) (75)

Ôôüûýð?æûôðò ìüú÷Ôó êãß 50 < 4 2004


øÛÜ^Ûä äÛãÜã,,ã ÛâäãÞÈÑã,ÜÛfl âÛßßÒêÛØ

11

?êãê âÞë~Ø ãêÒÞÈÜã ââßãêÒÜ , ÑÒÞÒ 5. øÛßÒ 2. øÛ,ÒÒß êÒäÒÈ äÛßÒ ë,ÜÒÜÛfl, ÛßÒÒ,,ã ,Ò ãäãÞÜÛêÒÞÈÜÀÒ âÛßßÒêÛÛ. áÞfl êã,,ã Üã ,ÑflêÈ , ,,ÒÜÒêã Ý,Û,ÞÒÜêÜãâêÛ, ãÇÑëÛi ,ëßÒÜë Þ,,ÒÇë. × Ý~Òâê,Ò äÒ,ã,,ã ÛÑ ÜÛi ,ÀÇÒÒß âÜã, (71), ,êããØ ,,ÒÜÒêã Y'' ÜØÒß, äãÞãÚÛ, , (61) C 1 = 0, C 2 = 1, ( x ) = ( x ) = ( x ) = x - k, êã ÒâêÈ ,ÀÇÒÒß Y '' = ( x - k ) ---- + ----- + ( u + x - k ) ----- - ( 1 + Q ) ------ . t x u Q ùäÒêãÀ Y', Y'' ÝãßßëêÛëê Û, ÑÜ~Ûê, ãÇÑëê ÇÒÞÒ,ë Þ,,ÒÇë óÛ. øÛßÒÜÛ, Ý êÛß ,ëß ãäÒêãß êÒãÒßë ã äãÒÝ^Ûfli, êã ÒâêÈ Ü äÝêÛÝÒ Ò?Û, ë,ÜÒÜÛfl (70) â ÝããÛÜêßÛ ãäÒêã Y'' Û â éëÜÝ^ÛflßÛ Q, F ,Û (70), äãÞë~Ûß: u Q = - 1 + A exp - ---------- , x - k B u F = ---------- exp ---------- , x - k x-k

øãâêãflÜÜfl L ÜiãÛêâfl äãâêÜã,ÝãØ , ë,ÜÒÜÛÒ (76). øÛßÒ 3. ýÒäÒÈ ãÇêÛßâfl Ý ë,ÜÒÜÛ (57) Û äÛßÒÜÛß êÒãÒßë ã äÒÝ^Ûfli Ý ÝãßÇÛÜ^ÛÛ Y = Y3 + Y5 + Y6 + Y7 ÇÑÛâÜÀi ãäÒêãã, (63), êã ÒâêÈ Ý âÞÒëÒßë ,,ÒÜÒêãë Ý,Û,ÞÒÜêÜãâêÛ: Y = x ---- + x ----- + ( 1 + u ) ----- - ( 1 + P ) ------ . t x u P øã éãßëÞß, ÜÞã,,Û~ÜÀß (64) Û (65), äãÞë~Òß Ò,,ã äãÒÝ^ÛÛ X = x ---- + x ----- + ( 1 + u ) ----- . t x u Z = x ----- + ( 1 + u ) ----- - ( 1 + P ) ------ . x u P (78) (79)

úÒ?Û, ë,ÜÒÜÛfl Z[P(u) - P] = 0, Z[F(x, u) - F] = 0 (â. (69) Û âß. ñßÒ~ÜÛÒ 2), ÝãêãÀÒ ÛßÒê ÝãÜÝÒêÜÀØ ,Û dP ( 1 + u ) ------ + ( 1 + P ) = 0 , du ÜiãÛß x F = ----------- , 1 + u K P = ----------- - 1 , 1+u K = const. F F x ------ + ( 1 + u ) ------ = 0 , x u

A, B = const. øã êÒãÒßÒ ã äãÒÝ^Ûfli, ë,ÜÒÜÛÒ u u u ---- ----- + 1 - A exp - ---------- ----- = - x - k t t x B u = ---------- exp ---------- x - k x-k ãäëâÝÒê , ãäãÞÜÛêÒÞÈÜÀi ãäÒêã: X' = t ---- + ( x - k ) ----- + u ----- , x u t X'' = ( x - k ) ---- + ----- + ( u + x - k ) ----- . t x u

ûÞÒã,êÒÞÈÜã, ë,ÜÒÜÛÒ (76) u x K u ---- ----- + 1 - ----------- ----- = ----------- -- 1 + u t t x 1+u (80)

(77)

,Û (57) ãäëâÝÒê, Üflë â X0 = /t, ãäãÞÜÛêÒÞÈÜÀØ ãäÒêã X, ãäÒÒÞÒÜÜÀØ , (78). ×ãâäãÞÈÑëÒßâfl Ûß, ~êãÇÀ äãâêãÛêÈ ÛÜ,ÛÜêÜãÒ Ò?ÒÜÛÒ. ÷Øfl ÛÜ,ÛÜêÀ = t - x, Å = (u + 1)/x ãäÒêã X, ÛßÒÒß âÞÒëÛØ ,Û ÛÜ,ÛÜêÜã,,ã Ò?ÒÜÛfl: u = x(), = t - x. øãâêÜã,ÝãØ , (80) ÜiãÛêâfl ãÇÀÝÜã,ÒÜÜãÒ ÛééÒÒÜ^ÛÞÈÜãÒ ë,ÜÒÜÛÒ K ( '/ )' + ' = ( ) . (81) ñßÒêÛß, ~êã äÛ ßÞÀi u ë,ÜÒÜÛÒ (80) fl,ÞflÒêâfl iãã?ÒØ ääãÝâÛß^ÛÒØ, ãÇÞÒØ ãäãÞÜÛêÒÞÈÜãØ âÛßßÒêÛÒØ, Þfl ßãÒÞÒØ, ãäÛâÀ,ÒßÀi ë,ÜÒÜÛflßÛ êÛä (55). 5. ×À,ã ë,ÜÒÜÛØ Û ãÇâëÚÒÜÛÒ éÛÑÛÝÛ äã^Òââã, õãÒÞÈ (55) ,ãÑÜÛÝÒê , ÜÒâÝãÞÈÝÛi Ñ~i. úââßãêÛß ,Ü~ÞÒ ÝãÞÒÇÜÛfl âÚÛßÒßã,,ã ,,Ñ ,ÜëêÛ ^ÛÞÛÜ â äãäÒÒ~ÜÀß âÒ~ÒÜÛÒß S, ÝãêãÀØ ÑÝÀê äã,ÛÚÜÀß äã?ÜÒß ßââÀ m. áÜã ^ÛÞÛÜ (x = 0) ÜÒäã,ÛÚÜã, ÝããÛÜê x ãêâ~ÛêÀ,Òêâfl ,ãÞÈ ãÇÑëÒØ ,,Òi. øã?ÒÜÈ ßã-

× ~âêÜãâêÛ, ßãÚÜã ÜØêÛ Ò?ÒÜÛÒ, ÛÜ,ÛÜêÜãÒ ãêÜãâÛêÒÞÈÜã ,ëiäßÒêÛ~ÒâÝãØ ,,ëääÀ âÛßßÒêÛÛ â ,ëßfl ,,ÒÜÒêãßÛ (77). Ô ÛßÒÜÜã, Üã Ò?ÛêÈ âÛâêÒßë ë,ÜÒÜÛØ X'(J) = 0, X''(J) = 0. ðÑ äÒ,ã,,ã ë,ÜÒÜÛfl äãÞë~Òß , ÛÜ,ÛÜê x-k = ---------- , t ,êããÒ ë,ÜÒÜÛÒ Òê Å = L + ln ----------- , 1 - L = const. u Å = -- , t

øãâê,Û, â ÑÜ~ÒÜÛfl Å, äãÞë~Òß êÝãØ ,Û ÛÜ,ÛÜêÜã,,ã Ò?ÒÜÛfl: x-k u = ( x - k ) L + ln ------------------ . t - x + k
Ôôüûýð?æûôðò ìüú÷Ôó êãß 50 < 4 2004


12 u 1' 10 2' - 0

ðÇ,,Ûßã,, úëÒÜÝã*

× ë,ÜÒÜÛÛ (84) ÛâäãÞÈÑã,ÜÀ ÇÒÑÑßÒÜÀÒ ãÇãÑÜ~ÒÜÛfl
1

p u = ------- , 2 c

= t + ,

t1 T = ------- ,

1 mg - = -- ----- , m

2 t

,,Ò t1 - "ßÒÞÒÜÜãÒ" ,Òßfl, ãäÛâÀ,ÒÒ ëâêÜã,ÞÒÜÛÒ ÝãÞÒÇÜÛØ , pÒÑãÜêãÒ, mg = SH - ßââ ,,Ñ , ^ÛÞÛÜÒ. ù~Ò,ÛÜã, ÑßÒÜãØ äÒÒßÒÜÜÀi Û äÒÒãÇãÑÜ~ÒÜÛÒß ÝãÜâêÜê t = - T , T = x, u = U ë,ÜÒÜÛÒ (83) ëÒêâfl äÒãÇÑã,êÈ Ý ,Ûë (55). øÛÇÞÛÚÒÜÜÀÒ Ò?ÒÜÛfl ë,ÜÒÜÛfl (83), ãê,Ò~ÛÒ éÛÑÛ~ÒâÝÛ ÛÜêÒÒâÜÀß äãâêÜã,Ýß Ñ~Û, äãÞë~ÒÜÀ , ÇãêÒ [25]. ùÜÝã Û fl êã~ÜÀi Ò?ÒÜÛØ ÛßÒÒê ,ÚÜÀØ éÛÑÛ~ÒâÝÛØ âßÀâÞ. úââßãêÛß, ÜäÛßÒ, êã~ÜãÒ Ò?ÒÜÛÒ, äãÞë~ÒßãÒ â äãßãÈ ,,ÒÜÒêã âêflÚÒÜÛfl X3 (56). ûããê,Òêâê,ëÛÒ ÛÜ,ÛÜêÀ Û ,êãßãÒÞÈÜfl éãß ÛßÒê ,Û = xt , Å = ux ,
2

-10

×ÞÛflÜÛÒ ÜÛÑÝã~âêãêÜãØ ÛâäÒâÛÛ Ü äã^Òââ ÛâÝÚÒÜÛfl ,ãÞÜÀ. øãéÛÞÛ äãâêãÒÜÀ Þfl ââêãflÜÛØ x = 0.2 (ÝÛ,ÀÒ 1 Û 1') Û x = 0.5 (ÝÛ,ÀÒ 2 Û 2'). ûäÞã?ÜÀÒ ÝÛ,ÀÒ ãäÛâÀ,êâfl ,êãßãÒÞÈÜÀß Ò?ÒÜÛÒß (84) Þfl = 3. ?êÛiã,ÀÒ ÝÛ,ÀÒ äãâêãÒÜÀ â ë~Òêãß êãÞÈÝã ÜÒÞÛÜÒØÜãâêÛ ( = 0, ÛâäÒâÛÛ ÜÒê) Û äÛ,ÒÒÜÀ Þfl â,ÜÒÜÛfl â äãéÛÞflßÛ, ÛÑãÇÚÒÜÜÀßÛ âäÞã?ÜÀßÛ ÝÛ,ÀßÛ.

1 u ( x, t ) = ---- ( ) . 2 x

øãâêÜã,Ý äãâÞÒÜÒ,,ã ,ÀÚÒÜÛfl , (55) äÛ,ãÛê Ý ãÇÀÝÜã,ÒÜÜãßë ÛééÒÒÜ^ÛÞÈÜãßë ë,ÜÒÜÛ '' + ' - '' + ' - = 0.
2

ÚÒê âã,Ò?êÈ ÝãÞÒÇÜÛfl, âßÒflâÈ Ü ââêãflÜÛÒ ãêÜãâÛêÒÞÈÜã âÒÜÒ,,ã äãÞãÚÒÜÛfl x = H. ûÛâêÒß, ãäÛâÀ,fl ,ÛÚÒÜÛÒ äã?Üfl â ë~Òêãß ÜÒÞÛÜÒØÜÀi ,ãÞÜã,Ài ,ÛÚÒÜÛØ ,,Ñ, ÛßÒÒê ,Û c ----- = p ( t - ) - p ( t + ) , t m --- ------- = p ( t + ) + p ( t - ) . (82) -S t2
2

æ,,ã ~âêÜÀß Ò?ÒÜÛÒß, , äÒÒÞÒ 0 äÒÒiãflÛß , Ò?ÒÜÛÒ u = -x/t Þfl ÛßÜã,Ài ,ãÞÜ, ÇëÒê 2 ( ) = - + -- , 6 2 t u ( x, t ) = -- t - -- . 6 x (84)

ñÒâÈ Û c - äÞãêÜãâêÈ Û âÝããâêÈ Ñ,ëÝ , ,,ÑÒ, p(t) - éãß ÞÇãØ ÛÑ ,ëi ÇÒ,,ëÛi Ü,âêÒ~ë ë,, ë,,ë ,ãÞÜ ÝëâêÛ~ÒâÝã,,ã ,ÞÒÜÛfl. Ô,,ëßÒÜêÀ âãÒÚê â,Û,, ,ã ,ÒßÒÜÛ, ãäÒÒÞflÒßÀØ ÞÛÜãØ H ÒÑãÜêã Û ÜÒÞÛÜÒØÜÀßÛ â,ãØâê,ßÛ ,,Ñ: H p t Á = t Á --- 1 - ------- . 2 c c ðâäãÞÈÑëfl âäãâãÇ äÒãÇÑã,ÜÛfl éëÜÝ^ÛãÜÞÈÜÀi ë,ÜÒÜÛØ êÛä (82) Ý ÛééÒÒÜ^ÛÞÈÜÀß ,ãÞ^ÛãÜÜÀß ë,ÜÒÜÛflß, ãäÛâÜÜÀØ , ÇãêÒ [24], , ãÝÒâêÜãâêÛ ãâÜã,Üã,,ã ÝëâêÛ~ÒâÝã,,ã ÒÑãÜÜâ H/c = + (,,Ò - ßÞfl ââêãØÝ ~âêãêÀ), ëÒêâfl äãÞë~ÛêÈ [25] U U U ----- ------- + ------- - U ------- = - U . T (83)

øã ÜÞã,,ÛÛ â ÛÑ,ÒâêÜãØ äã^ÒëãØ äãâêãÒÜÛfl äÛÞããÇÑÜã,,ã âÛ,,ÜÞ [4], , ÝãêããØ äÒÛãÛ~ÒâÝÛ äããÞÚÒÜÜãÒ Ò?ÒÜÛÒ u = -x/t ÛâäãÞÈÑëÒêâfl Þfl ãäÛâÜÛfl ,,ÞÝÛi ÞÛÜÒØÜÀi ë~âêÝã, äããéÛÞfl (âß. Ûâ. 1, ?êÛiã,ÀÒ ÝÛ,ÀÒ), ÑÒâÈ êÝÚÒ ÜÒãÇiãÛßã äããÞÚÛêÈ Ò?ÒÜÛÒ (84) â äÒÛããß 2. üÜÀÒ éãÜêÀ ÞãÝÞÛÑëêâfl , êã~Ýi 32 3 t n = ( 2 n + 1 ) + ----- - ----- - ---- , x x 3
2

n = 0, Á 1, Á 2, ... , ÝããÛÜêÀ ÝãêãÀi ,À~ÛâÞflêâfl ÛÑ ëâÞã,Ûfl ,ÒÜâê, ÜëÞ âÒÜÒ,,ã Ñ äÒÛã ÑÜ~ÒÜÛfl éëÜÝ^ÛÛ u(x, t). ôÝ äãÝÑÜã Ü Ûâ. 1, ë~Òê ÜÛÑÝã~âêãêÜãØ ÛâäÒâÛÛ ( 0) äÛ,ãÛê Ý ÜÒâÛßßÒêÛ~Üãßë ÛâÝÚÒÜÛ éãßÀ ,ãÞÜÀ. áÞÛêÒÞÈÜãâêÈ éÑÀ âÚêÛfl ãÝÑÀ,Òêâfl ÇãÞÒÒ ÝããêÝãØ, ÑÒÚÒÜÛfl - ë,ÒÞÛ~ÒÜÜãØ. ôÛ,ÀÒ Ü Ûâ. 1 äãâêãÒÜÀ Þfl = 3 Û ÇÒÑÑßÒÜÀi ââêãflÜÛØ x = 0.2 (ÝÛ,ÀÒ 1 Û 1'), x = 0.5 (ÝÛ,ÀÒ 2 Û 2'). úÑëßÒÒêâfl,
Ôôüûýð?æûôðò ìüú÷Ôó êãß 50 < 4 2004


øÛÜ^Ûä äÛãÜã,,ã ÛâäãÞÈÑã,ÜÛfl âÛßßÒêÛØ

13

äãâêãÒÜÛÒ âä,ÒÞÛ,ã ,äÞãêÈ ã ââêãflÜÛØ x 3 3 /. ùäÛâÀ,ÒßÀØ Ûâ. 1 iÝêÒ ÛâÝÚÒÜÛØ äãéÛÞfl ,ãÞÜÀ ÜÞã,,Û~ÒÜ ÜÇÞÒßãßë , ÝâäÒÛßÒÜêi â Ûé,,ÛëÛßÛ äë~ÝßÛ ÇãÞÈ?ãØ ÛÜêÒÜâÛ,ÜãâêÛ. ýÝãÒ ÚÒ äã,ÒÒÜÛÒ äÒâÝÑÀ,Òê êÒãÛfl (âß. [26, 14]). ðßÒÜÜã äãêãßë ,êãfl éÛÑÛ~ÒâÝfl Ñ~, â,flÑÜÜfl â ßãÒÞÈ (55), ãêÜãâÛêâfl Ý êÒãÛÛ ÜÒÞÛÜÒØÜÀi ÝëâêÛ~ÒâÝÛi äë~Ýã, [26]. úââßãêÛß ë,ÜÒÜÛÒ ÿãiÞã,-ñÇãÞãêâÝãØ , éãßÒ (âß. [14], âê. 346): p p 1 p 1 2 - - ------ ----- - ------- p ----- - -- ----- ------- + -- ------- + - x c 3 c x 2 r p p --+ ----- ------- + -- r r 2 c = -- p . 2

,,Ò a - ÛâiãÜfl ?ÛÛÜ äë~Ý. ñßÒêÛß, ~êã Þfl äãäÒÒ~ÜãØ âêëÝêëÀ, ãäÛâÀ,ÒßãØ éëÜÝ^ÛÒØ ÕÒââÒÞfl J0( 2 /a), äÒâê,ÞÒÜÛÒ (88) ãÝÑÀ,Òêâfl êã~ÜÀß. ðÑßÒÜflfl êÒäÒÈ ä,ë ~âêÈ (87) , âããê,Òêâê,ÛÛ â (88) Û ëâêÒßÞflfl Ý ÜëÞ, äãÞë~Ûß ë,ÜÒÜÛÒ, ãäÛâÀ,ÒÒ äãÞÒ ÝëâêÛ~ÒâÝÛi äë~Ýã, ,ÇÞÛÑÛ ãâÛ: p q' ( x ) p p ------ ----- - ----------- ----- - ------- p ----- + ( x ) p = - x c c 3 c2 = - ---- ( x ) p . 2 a

(89)

(85)

ü,ÜÒÜÛÒ (85) ãäÛâÀ,Òê Ýë,,ÞÀÒ , äãäÒÒ~Üãß âÒ~ÒÜÛÛ äë~ÝÛ, Þfl ÝãêãÀi 1 - = ------- + -- ---- , 2 r r r
2

× ~âêÜãâêÛ, Þfl âéãÝëâÛã,ÜÜãØ ,ãÞÜÀ, äãÞ,,fl = 1/(x - k), q' = 0 (k - éãÝëâÜãÒ ââêãflÜÛÒ), â,ÒÒß ë,ÜÒÜÛÒ (89) Ý ,Ûë (75), ,,Ò êÒäÒÈ u = = p(x - k), a = /c3, = c/a2. ñßÒÜãØ äÒÒßÒÜÜÀi 1 t = c + -- q ( x ) , c u = ------- exp ( ( x ) d x ) 3 c

x1 = t - -- - -- ( x, r ) , cc



= ( + 1)/2 - ÜÒÞÛÜÒØÜÀØ äßÒê, - ØÝãÜÞ. áÞfl ãÜããÜãØ âÒÀ ââêãflÜÛÒ x, äãØÒÜÜãÒ ,ãÞÜãØ, ãêâ~ÛêÀ,Òêâfl ,ãÞÈ ÜÒÝãêããØ äflßãØ; , ÜÒãÜããÜãØ âÒÒ x ßãÚÒê ÛÑßÒflêÈâfl ,ãÞÈ Þë~, fl,ÞflÒ,,ãâfl ãâÈ äë~Ý [27] . ù,,ÜÛ~Û,flâÈ ââßãêÒÜÛÒß äãÞfl ,ÇÞÛÑÛ ãâÛ, äãÞãÚÛß , (85) r 1 -------- + -- ------- = --- f ( x ) + q' ( x ) , r 2 x 2
2 2

ë,ÜÒÜÛÒ (89) â,ãÛêâfl Ý ÇãÞÒÒ äãâêãØ éãßÒ u u ( x) ---- ----- - Q ( x ) u ----- = - ------------- u , -2 t x t a
2

(90)

,,Ò Q ( x ) = exp ( - ( x ) d x ) . × ãÇÒß âÞë~Ò, Ýã,, ãê ÝããÛÜêÀ x ßã,,ëê Ñ,ÛâÒêÈ ,âÒ iÝêÒÛâêÛÝÛ âÒÀ, ,ÝÞ~fl äßÒê ÜÒÞÛÜÒØÜãâêÛ, ãÇãÇÒÜÜãÒ ë,ÜÒÜÛÒ ßãÚÜã ÑäÛâêÈ , ,ÛÒ u u ---- ----- - Q ( x, u ) ----- = F ( x, u ) . -t x t (91)



(86)

,,Ò f, q' - ÛÑ,ÒâêÜÀÒ éëÜÝ^ÛÛ, ãäÛâÀ,ÛÒ ÛÑßÒÜÒÜÛÒ äãÝÑêÒÞfl äÒÞãßÞÒÜÛfl , âÒÒ. ùäÒÒÞflfl ØÝãÜÞ ÛÑ (86), r = --- ( x ) + q ( x ) , 2
2 2

' + = f ,
2

äÛ,ÒÒß (85) Ý âÞÒëÒßë ,Ûë: p p f p 1 p f ------ ----- + --- ----- - -- ----- ---- -----2 + q' - ------- p ----- + p = - - -- -2 c 3 x c (87) 2 c 2 p 1 p - -= -- -------2 + -- ----- , 2 = r(x). × äÛÇÞÛÚÒÜÛÛ ÜÒÞÛÜÒØÜãØ ,,ÒãßÒêÛ~ÒâÝãØ ÝëâêÛÝÛ ä,ë ~âêÈ (85) ÛÞÛ (87) äãÞ,,ê ,ÜãØ ÜëÞ. õãÚÜã ëêã~ÜÛêÈ êã äÛÇÞÛÚÒÜÛÒ Û ë~ÒâêÈ ÛéÝ^ÛãÜÜÀÒ äãä,ÝÛ, ÒâÞÛ ,ãâäãÞÈÑã,êÈâfl Þfl ä,ãØ ~âêÛ (87) âÞÒëÒØ ßãÒÞÈ: 1 p p + -- ----- -------- - 2
2

× ë,ÜÒÜÛÛ (91) ë~êÒÜ êÝÚÒ ,ãÑßãÚÜãâêÈ äãfl,ÞÒÜÛfl ÇãÞÒÒ âÞãÚÜã,,ã ÜÒÞÛÜÒØÜã,,ã ãêÝÞÛÝ âÒÀ, ÜÒ ãäÛâÀ,Òßã,,ã ãÇÀ~ÜãØ Ý,êÛ~ÜãØ ÜÒÞÛÜÒØÜãâêÈ. æâÞÛ , ë,ÜÒÜÛÛ (91) äãÞãÚÛêÈ Q = - ---------- , k-x F = - ----------------- u , 2 (k - x)

ãÜã äÛßÒê ,Û (75) Û ÇëÒê ãäÛâÀ,êÈ éãÝëâÛã,Ýë äë~Ý , ãÜããÜãØ âÒÒ. ðÜ,ÛÜêÜãÒ Ò?ÒÜÛÒ, ãê,Ò~ÒÒ ãäÒêãë (74), ÒâêÈ u = (k - x )G(), t = ---------- . k-x

2 - ---- p , 2 a

(88)

þëÜÝ^Ûfl G() ëã,ÞÒê,ãflÒê ë,ÜÒÜÛ G'' - ( GG' ) + G = 0. (92)

Ôôüûýð?æûôðò ìüú÷Ôó êãß 50 < 4 2004


14

ðÇ,,Ûßã,, úëÒÜÝã*

ýã~ÜãÒ Ò?ÒÜÛÒ ë,ÜÒÜÛÒ (92) äÛ = 0 ÑäÛâÀ,Òêâfl ~ÒÒÑ éëÜÝ^ÛÛ ÕÒââÒÞfl G= C 1 J 1 ( 2 ) + C 2 Y 1 ( 2 ) , äÛ = 0 ãÜã ÛßÒÒê ,Û = - D 1 + D 2 ( G + D 1 ) - ( G + D 1 ) ln G + D 1 . úÑëßÒÒêâfl, Ý ßãÒÞflß (55), (57), (58) äÛ,ãflê ÜÒ êãÞÈÝã ãÇâëÚ,?ÛÒâfl ,À?Ò êÒ ,Ò Ñ~Û. ù~Ò,ÛÜã, ~êã ÞÇãØ ÞÛÜÒØÜãØ âäÒÒÞÒÜÜãØ âÛâêÒßÒ â ÜÛÑÝã~âêãêÜãØ ÛâäÒâÛÒØ, ãäÛâÀ,ÒßãØ ÑÝãÜãß k ( ) = --- - ---c ßãÚÜã âãäãâê,ÛêÈ ÛééÒÒÜ^ÛÞÈÜãÒ ë,ÜÒÜÛÒ u ---------- = - u . tx
2

ßãÚÜã "ãâêãÛêÈ" ßãÒÞÈ ã ÇãÞÒÒ âÛßßÒêÛ~ÜãØ äëêÒß ÒÒ ëâÞãÚÜÒÜÛfl. æâÞÛ âÞãÚÜfl ßãÒÞÈ ãäëâÝÒê äãiãflÒÒ êã~ÜãÒ Ò?ÒÜÛÒ, ÜÒãÇiãÛßÀÒ ëäãÒÜÛfl ßãÚÜã äãÛÑ,ÒâêÛ Ü Ñ,Ò?Òß êäÒ â~Òê, êã ÒâêÈ , ãÝãÜ~êÒÞÈÜÀi éãßëÞi. úÇãê ,ÀäãÞÜÒÜ , ßÝi áã,,ã,ã ã âãêëÜÛ~Òâê,Ò ßÒÚë ÝéÒãØ ÝëâêÛÝÛ éÛÑÛ~ÒâÝã,,ã éÝëÞÈêÒê õÙü Û åÒÜêãß ALGA BTH. ùÜ ~âêÛ~Üã äãÒÚÜ ,,ÜêßÛ ×ÒëÛi Üë~ÜÀi ?ÝãÞ, úÔ÷ Û úþþð. ûøðûùô óðýæúÔýüú?
1. ÔÜãÜã, Ô.Ô., ×Ûêê Ô.Ô., ÿØÝÛÜ û.?. ýÒãÛfl ÝãÞÒÇÜÛØ (3-Ò ÛÑ.). õ.: ÷ëÝ, 1981. 2. ÿãiÞã, ú.×. ô êÒãÛÛ ÜÒÞÛÜÒØÜÀi ,ãÞÜ , ÜÒÛâäÒ,,ÛëÛi ÞÛÜÛfli äÒÒ~Û // úÛãêÒiÜÛÝ Û ÞÒÝêãÜÛÝ. 1961. ý. 6. < 6. û. 917-926. 3. ÔißÜã, û.Ô. õÒêã ÿãiÞã, , êÒãÛÛ ÜÒÞÛÜÒØÜÀi ,ãÞÜ // üâäÒiÛ éÛÑ. ÜëÝ. 1986. ý. 149. < 3. û. 917-926. 4. úëÒÜÝã ù.×., ûãÞëflÜ û.ð. ýÒãÒêÛ~ÒâÝÛÒ ãâÜã,À ÜÒÞÛÜÒØÜãØ ÝëâêÛÝÛ. õ.: ÷ëÝ, 1975. 5. ûãÇÜÛÒ âã~ÛÜÒÜÛÒ ûãéëâ óÛ , 6-êÛ êãßi: Sophus Lie, Gesammelte Abhandlungen, 1-6, Leipzig-Oslo: B.G. Teubner-H. Aschehoug, 1922-37. 6. Lie S. Forlesungen uber Differentialglechungen mit bekannten infinitesimalen Transformationen. Bearbeitet und herausgegeben von Dr. Georg Scheffers, Leipzig: B.G. Teubner, 1891. 7. ù,âflÜÜÛÝã, ó.×. Ùëääã,ÀÒ â,ãØâê, ÛééÒÒÜ^ÛÞÈÜÀi ë,ÜÒÜÛØ. ÷ã,ãâÛÇÛâÝ, ðÑ. ûù Ô÷ ûûûú, 1962. 8. ù,âflÜÜÛÝã, ó.×. Ùëääã,ãØ ÜÞÛÑ ÛééÒÒÜ^ÛÞÈÜÀi ë,ÜÒÜÛØ. õ.: ÷ëÝ, 1978. 9. ðÇ,,Ûßã, ÷.ÿ. ÙëääÀ äÒãÇÑã,ÜÛØ , ßêÒßêÛ~ÒâÝãØ éÛÑÛÝÒ. õ.: ÷ëÝ, 1983. 10. Ibragimov N.H. (ed), CRC Handbook of Lie group analysis of differential equations. Boca Raton, Florida: CRC Press. Vol. 1: Symmetries, exact solutions and conservation laws, 1994. Vol. 2: Applications in engineering and physical sciences, 1995. Vol. 3: New trends in theoretical developments and computational methods, 1996. 11. Hopf E. The partial differential equation ut + uux = Åuxx // Comm. Pure Appl. Math. 1950. V. 3. P. 201-230. 12. úëÒÜÝã ù.×. ×ÑÛßãÒØâê,Ûfl ÛÜêÒÜâÛ,ÜÀi ?ëßã,Ài ,ãÞÜ // üâäÒiÛ þÛÑ. ÷ëÝ. 1986. ý. 149. < 3. û. 413-447. 13. õÝã, ?.÷., úëÒÜÝã ù.×. áÛÜßÛÝ ,ãÑßëÒÜÛØ ÜÒÞÛÜÒØÜÀi äÛÞããÇÑÜÀi ,ãÞÜ. ,,ÜÛ^À // ÔÝëâê. ÚëÜ. 1996. ý. 42. < 6. û. 824-828. 14. ×ÛÜã,,ã, õ.Õ., úëÒÜÝã ù.×., ûëiãëÝã, Ô.ø. ýÒãÛfl ,ãÞÜ (2-Ò ÛÑ.). õ.: ÷ëÝ, 1990. 15. ÔÝëâêÛÝ , Ñ~i (äã Ò. û.÷. ÙëÇêã, Û ù.×. úëÒÜÝã). õ.: ÷ëÝ, 1996. 16. Ibrabimov N.H. Elementary Lie Group Analysis and Ordinary Differential Equations. Chichester: Wiley, 1999.
Ôôüûýð?æûôðò ìüú÷Ôó êãß 50 < 4 2004

(93)

æâÞÛ ÜÒÞÛÜÒØÜãâêÈ âÞÇfl, âããê,Òêâê,ëÛØ ~ÞÒÜ ãÇ,ÞflÒêâfl , ,ãÞ^ÛãÜÜãÒ ë,ÜÒÜÛÒ ÛêÛ,Üã, Û (93) äÒÒiãÛê, ÜäÛßÒ, , (55). ñßÒêÛß, ~êã "ãÇfl" éãß (91) ,âÒ ÚÒ ãâêêã~Üã ÝãÜÝÒêÜ. æÒ â,ãØâê, âÛßßÒêÛÛ, ã~Ò,ÛÜã, ÇãÞÒÒ êã~Üã ãêÚê éÛÑÛÝë ÛââÞÒëÒßÀi äã^Òââã,, ~Òß, ÜäÛßÒ, âÛßßÒêÛÛ ëäãÒÜÜãØ ßãÒÞÛ (55) ÛÞÛ âã,Ò?ÒÜÜã ãÇÒØ ßãÒÞÛ u u u ---------- = G x, t, u, ----- , ------- , t t2 tx
2 2

Ýãêãë ßãÚÜã ÇÀÞã ÇÀ ÛÑë~êÈ äÒÞãÚÒÜÜÀß ßÒêããß, ÜÒ âÞÛ?Ýãß âÛÞÈÜã ã,,ÜÛ~Û,fl ÝÞââ ââßêÛ,ÒßÀi Ñ~. 6. ñÝÞ~ÒÜÛÒ × ãâÜã,Ò ÜÜãØ ÇãêÀ ÞÒÚÛê äãÝâÞÈÜãÒ, Ü äÒ,ÀØ ,Ñ,,Þfl, ëê,ÒÚÒÜÛÒ ã ^ÒÞÒâããÇÑÜãâêÛ ÜÞÛÑ ÛÜêÒÒâëÛi Üâ ÜÒÞÛÜÒØÜÀi Ñ~ äëêÒß Ûi "äã,,ëÚÒÜÛfl" , ÝÞââ ÇãÞÒÒ ãÇÛi Û, âÞÒã,êÒÞÈÜã, ÇãÞÒÒ âÞãÚÜÀi ßãÒÞÒØ. ùäÀê êÒãÛÛ ÜÒÞÛÜÒØÜÀi ÝãÞÒÇÜÛØ Û ,ãÞÜ, ãâÜã,ÜÜÀØ Ü éÛÑÛ~ÒâÝÛ ãÇãâÜã,ÜÜãß ëäãÒÜÛÛ ßãÒÞÒØ, ÝÑÞãâÈ ÇÀ, äãêÛ,ãÒ~Ûê ãäÛâÜÜãßë ,À?Ò äãiãë, , ãâÜã,Ò Ýãêãã,,ã - äÛÜ^Ûä äÛãÜã,,ã ÛâäãÞÈÑã,ÜÛfl âÛßßÒêÛØ. ×ßÒâêÒ â êÒß, Ñ ,ÜÒ?ÜÛßÛ ÑÞÛ~ÛflßÛ âÝÀêã ,ÜëêÒÜÜÒÒ ÒÛÜâê,ã ,ëi äãiãã,. ù~Ò,ÛÜã, ~êã ÇãÞÒÒ âÛßßÒêÛ~Üfl ßãÒÞÈ ãÞÚÜ âãÒÚêÈ ÇãÞÈ?Ò êã~ÜÀi Ò?ÒÜÛØ. ôÝ ßãÚÜã ãÇÛêÈâfl ÇãÞÈ?ÒØ âÛßßÒêÛÛ? û ãÜãØ âêããÜÀ, ßãÚÜã ,Û,,êÈâfl äã êÛ^ÛãÜÜãßë äëêÛ ëäãÒÜÛfl, "ãêâÒÝfl" ÞÒßÒÜêÀ ßãÒÞÛ, Üë?ÛÒ ÒÒ âÛßßÒêÛ (äÒÜÒÇÒ,,fl ÜÒÝãêãÀßÛ ~ÞÒÜßÛ ë,ÜÒÜÛfl ÛÞÛ ÝÝ-êã ,ÛãÛÑßÒÜflfl Ûi). û ë,,ãØ âêããÜÀ,


øÛÜ^Ûä äÛãÜã,,ã ÛâäãÞÈÑã,ÜÛfl âÛßßÒêÛØ 17. ðÇ,,Ûßã, ÷.ÿ. ûÒßÈ ßÛÜÛê äã ,,ëääã,ãßë ÜÞÛÑë // áÛééÒÒÜ^ÛÞÈÜÀÒ ë,ÜÒÜÛfl. 1993. ý. 29. < 10. û. 1739-1750. 18. Laplace P.S. Traite de Mechanique Celeste, t. 1, Paris, 1798. Reprinted in Ouvres completes, t. 1, Paris, Gauthier-Villars, 1878. English translation: New York, 1966. 19. Ibragimov N.H. Theorem on projections of equivalence Lie algebras. Unpublished. 1987. 20. Ôiêã, ð.?., ÙÑÛÑã, ú.ô., ðÇ,,Ûßã, ÷.ÿ. ÷ÒÞãÝÞÈÜÀÒ âÛßßÒêÛÛ. ?,ÛâêÛ~ÒâÝÛØ äãiã. ðêã,,Û ÷ëÝÛ Û ýÒiÜÛÝÛ, âÒ. ûã,. äãÇÞÒßÀ ßêÒßêÛÝÛ: Üã,ÒØ?ÛÒ ãâêÛÚÒÜÛfl, êãß 34, â. 3-83. õ.: ðÑ. ×ð÷ðýð, 1989. 21. Ibrabimov N.H., Torrisi M., Valenti A. Preliminary group classification of equations // J. Math. Phys. 1991. V. 32. < 11. P. 2988-2995. 22. Ibragimov N.H., Torrisi M. A simple method for group analysis and its application to a model of detonation // J. Math. Phys. 1992. V. 33. < 11. P. 3931-3937.

15

23. Ibragimov N.H., Safstrom N. The equivalence group and invariant solutions of a tumor growth model // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation (to be published). 24. úëÒÜÝã ù.×., ?ÜÛÜ. ÷ÒÞÛÜÒØÜÀÒ fl,ÞÒÜÛfl äÛ ëâêÜã,ÞÒÜÛÛ ÝãÞÒÇÜÛØ âÞãfl ÞÛÜÒØÜãØ ÛââÛäêÛ,ÜãØ âÒÀ, ,ãÑÇëÚÒßÀi ÝãÜÒ~ÜÀßÛ âßÒÒÜÛflßÛ Ò,,ã ,,ÜÛ^À // ÔÝëâê. ÚëÜ. 2000. ý.46. < 3. û. 392-400. 25. Rudenko O.V., Hedberg C.M. Interaction between low and high-frequency modes in a nonlinear system: gasfilled cylinder covered by movablw piston // Nonlinear Dynamics. 2003. V. 32. P. 405-416. 26. Rudenko O.V., Solyan S.I., Khokhlov R.V. Towards the nonlinear theory of paraxial sound beams // Sov. Physics Doklady. 1975. V. 225. < 5. P. 1053-1055. 27. úëÒÜÝã ù.×., ûëiãëÝã, Ô.ô., ûëiãëÝã, Ô.ø. ü,ÜÒÜÛfl ,ÀâãÝã~âêãêÜãØ ÜÒÞÛÜÒØÜãØ ÝëâêÛÝÛ ÜÒãÜããÜÀi âÒ // ÔÝëâê. ÚëÜ. 1994. ý. 40. < 2. û. 294-294.

Ôôüûýð?æûôðò ìüú÷Ôó êãß 50 < 4 2004