Аннотация
Курс посвящен изучению математически моделей физических явлений, приводящих к линейным дифференциальным уравнениям в частных производных второго порядка. Он знакомит слушателей с построением моделей, с методами решения соответствующих математических задач, со свойствами их решений и выяснением их физического смысла.
Общая информация
| Курс |
3 |
| Поток |
3 |
| Семестр |
5, 6 |
| Форма контроля |
Зачет в 5 семестре, экзамен в 6 семестре |
| Лекции |
60 часов |
| Семинары |
60 часов |
| Лектор 20014/20015 уч.г. |
доц. И. Н. Иновенков |
| Автор программы |
академик РАН Д. П. Костомаров |
Тематический план
| п/п |
Тема |
Лекции
(час.) |
Семинары
(час.) |
Самостоят.
работа (час.) |
| 1 |
Классификация линейных дифференциальных уравнений второго порядка |
2 |
2 |
2 |
| 2 |
Уравнения гиперболического типа |
12 |
12 |
12 |
| 3 |
Уравнения параболического типа |
12 |
12 |
12 |
| 4 |
Уравнения эллиптического типа |
26 |
26 |
26 |
| 5 |
Уравнения колебаний и теплопроводности в случае нескольких пространственных переменных |
8 |
8 |
8 |
|
Всего |
60 |
60 |
60 |
|
Итого |
180 |
Содержание курса
- Классификация линейных дифференциальных уравнений второго порядка.
Классификация уравнений. Характеристическое уравнение. Приведение уравнений разных типов к каноническому виду.
- Уравнения гиперболического типа.
Физические задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа. Уравнение колебаний. Математическая постановка задач для уравнения колебаний. Задача Коши. Формула Даламбера. Характеристики. Понятие классического и обобщенного решений. Задачи для полуограниченной струны с однородными граничными условиями первого и второго рода, их решение методом продолжения. Смешанная задача для уравнения колебаний на отрезке. Интеграл энергии, теорема единственности. Метод разделения переменных. Задача Штурма-Лиувиля на собственные значения и собственные функции. Задача с данными на характеристиках.
- Уравнения параболического типа.
Физические задачи, приводящие к уравнениям параболического типа. Уравнения теплопроводности и диффузии. Принцип максимального значения для решений однородного уравнения теплопроводности. Математическая постановка задач для уравнения теплопроводности. Теоремы единственности решения. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности. Задача Коши, запись ее решения через фундаментальное решение. Задачи на полуограниченной прямой с однородными граничными условиями первого и второго рода, их решение методом продолжения. Задача для полуограниченной прямой с неоднородным граничным условием первого рода, интеграл Дюамеля. Смешанная задача для уравнения теплопроводности на отрезке, ее решение методом разделения переменных.
- Уравнения эллиптического типа.
Физические задачи, приводящие к уравнениям эллиптического типа. Уравнения Лапласа и Пуассона. Формулы Грина, свойства гармонических функций, принцип максимального значения. Краевые задачи Дирихле и Неймана. Внутренняя и внешняя краевые задачи. Теорема единственности решения задачи Дирихле. Условие разрешимости и множество решений задачи Неймана. Методы решения краевых задач для уравнения Лапласа: метод разделения переменных, метод функции Грина, метод конформных отображений. Теория потенциалов. Сведение задачи Дирихле и задачи Неймана к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода. Теоремы существования решения этих задач. Уравнение Гельмгольца. Внутренние краевые задачи. Задача в неограниченном пространстве, условия излучение, теорема единственности решения.
- Уравнения колебаний и теплопроводности в случае нескольких пространственных переменных.
Задача Коши для трехмерного уравнения колебаний. Метод усреднения, формула Пуассона. Случай двумерного уравнения колебаний, метод спуска. Случай локального начального возмущения, различие между трехмерным и двумерным случаем.
Фундаментальное решение уравнения теплопроводности в случае трех и двух пространственных переменных. Принцип максимального и минимального значения. Задача Коши, ее решение.
Смешанные задачи для уравнения колебаний и теплопроводности в случае нескольких пространственных переменных. Метод разделения переменных. Задача на собственные значения и собственные функции.
Литература
- Тихонов А.Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Изд-во МГУ. 1999.
- Будак Б. М., Самарский А. А., Тихонов А. Н. Сборник задач по математической физике. М.: Изд-во МГУ. 1999.