Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://en.cs.msu.ru/sites/cmc/files/docs/kollokvium-bilety.doc Дата изменения: Tue Oct 6 14:49:58 2015 Дата индексирования: Sat Apr 9 23:52:51 2016 Кодировка: koi8-r

Билет 1.
1. Доказательство корректности определения суммы и произведения двух
вещественных чисел.
2. Определение, свойства и график функции [pic].
3. Определение ограниченного (сверху, снизу) числового множества.
4. Дать определение по Гейне: существует [pic].
5. Дать определение:[pic].


Билет 2.
1. Теорема о пределе монотонной ограниченной последовательности.
2. Определение, свойства и график функции [pic].
3. Определение точной верхней грани числового множества [pic].
4. Дать определение по Гейне: неверно, что [pic].
5. Дать определение:[pic]Ђ0.


Билет 3.
1. Понятие числовой последовательности. Определения ограниченной и
неограниченной, бесконечно большой и бесконечно малой
последовательности. Примеры.
2. Определение, свойства и график функции [pic].
3. Определение точной нижней грани числового множества [pic].
4. Дать определение по Коши: существует [pic].
5. Дать определение:[pic]+0.


Билет 4.
1. Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности
(критерий Коши).
2. Определение, свойства и график функции [pic].
3. Определение - число [pic] не является точной верхней гранью
множества [pic].
4. Дать определение по Коши: неверно, что [pic].
5. Дать определение:[pic].


Билет 5.
1. Теорема о точках разрыва монотонной функции.
2. Определение, свойства и график функции [pic].
3. Определение - число [pic] не является точной нижней гранью
множества [pic].
4. Дать определение по Гейне: [pic].
5. Дать определение:[pic].


Билет 6.
1. Предельный переход в неравенствах для последовательностей.
2. Определение, свойства и график функции [pic].
3. Определение предела числовой последовательности.
4. Дать определение по Гейне: неверно, что [pic].
5. Дать определение:[pic].
Билет 7.
1. Критерий Коши существования предельного значения функции.
2. Определение, свойства и график функции [pic].
3. Определение ограниченной (неограниченной) последовательности.
4. Дать определение по Коши: [pic].
5. Определение функции, непрерывной в точке a.


Билет 8.
1. Понятие непрерывности функции в точке и на множестве. Арифметические
операции над непрерывными функциями. Классификация точек разрыва.
2. Определение, свойства и график функции [pic].
3. Определение бесконечно малой (не бесконечно малой) числовой
последовательности.
4. Дать определение по Коши: неверно, что [pic].
5. Определение функции, непрерывной в точке a справа.


Билет 9.
1. Счетные множества. Их свойства. Доказательство того, что множества
целых и рациональных чисел являются счетными.
2. Выделение полного квадрата. Формула корней квадратного уравнения.
3. Определение бесконечно большой (не бесконечно большой) числовой
последовательности.
4. Дать определение по Гейне: [pic].
5. Определение функции, непрерывной в точке a слева.


Билет 10.
1. Теорема об обратной функции.
2. Свойства степеней с натуральными и целыми показателями.
3. Определение монотонной последовательности.
4. Дать определение по Гейне: неверно, что [pic].
5. Сформулировать теорему о монотонной и ограниченной
последовательности.


Билет 11.
1. Число е.
2. Свойства степеней с рациональными показателями.
3. Определение фундаментальной последовательности.
4. Дать определение по Коши: [pic].
5. Определение точки устранимого разрыва функции.


Билет 12.
1. Вещественные числа и правила их сравнения.
2. Доказательство неравенства [pic], [pic]- рациональное, [pic].
3. Последовательность [pic] удовлетворяет (не удовлетворяет) условию
Коши
4. Дать определение по Коши: неверно, что [pic].
5. Определение точки разрыва функции II рода.
Билет 13.
1. Два определения предельного значения функции (по Гейне и по Коши) и
доказательство их эквивалентности.
2. Определение [pic] для произвольного вещественного [pic].
Монотонность функции [pic].
3. Функция [pic] удовлетворяет (не удовлетворяет) условию Коши при
стремлении [pic] к [pic].
4. Дать определение по Гейне: [pic].
5. Сформулировать теорему о монотонной и ограниченной
последовательности.


Билет 14.
1. Понятие сходящейся последовательности. Единственность предела
сходящейся последовательности, ограниченность сходящейся
последовательности.
2. Определение [pic] для произвольного вещественного [pic].
Доказательство того, что [pic].
3. Функция [pic] удовлетворяет (не удовлетворяет) условию Коши при
стремлении [pic] к [pic].
4. Дать определение по Гейне: неверно, что [pic].
5. Сформулировать теорему о непрерывности сложной функции.


Билет 15.
1. Пример несчетного множества (с доказательством несчетности).
Мощность континуума.
2. Определение [pic] для произвольного вещественного [pic].
Непрерывность функции [pic].
3. Функция [pic] удовлетворяет (не удовлетворяет) условию Коши при
стремлении [pic] к [pic].
4. Дать определение по Коши: [pic].
5. Сформулировать теорему Больцано-Вейрштрасса.


Билет 16.
1. Бесконечно малые и бесконечно большие (в данной точке) функции и
принципы их сравнения.
2. Определение [pic] для произвольного вещественного [pic]. Множество
значений функции [pic]
3. Функция [pic] удовлетворяет (не удовлетворяет) условию Коши при
стремлении [pic] к [pic].
4. Дать определение по Коши: неверно, что [pic].
5. Дать определение:[pic].


Билет 17.
1. Приближение вещественных чисел рациональными (3 леммы).
2. Определение, свойства и график функции [pic].
3. Функция [pic] удовлетворяет (не удовлетворяет) условию Коши при
стремлении [pic] к [pic].
4. Дать определение по Гейне: [pic].
5. Дать определение:[pic].

Билет 18.
1. Основные свойства бесконечно малых последовательностей.
2. Определение, свойства и график функции [pic].
3. Определение ограниченной (не ограниченной) функции на множестве
[pic].
4. Дать определение по Гейне: неверно, что [pic].
5. Дать определение:[pic].

Билет 19.
1. Определения разности и частного двух вещественных чисел;
доказательство их корректности.
2. Определение, свойства и график функции [pic].
3. Определение точной нижней грани функции на множестве [pic].
4. Дать определение по Коши: [pic].
5. Определение - число [pic] не является точной верхней гранью
множества [pic].


Билет 20.
1. Арифметические операции над функциями, имеющими предельное
значение. Предельный переход в неравенствах для функций.
2. Основное логарифмическое тождество. Логарифмы произведения,
частного, степени.
3. Определение фундаментальной последовательности.
4. Дать определение по Коши: неверно, что [pic].
5. Определение точки устранимого разрыва функции.


Билет 21.
1. Критерий непрерывности монотонной функции.
2. Основное логарифмическое тождество. Формула перехода к новому
основанию.
3. Определение точки разрыва функции I рода.
4. Дать определение по Гейне: [pic].
5. Определение точной нижней грани функции на множестве [pic].


Билет 22.
1. Понятие предельной точки последовательности. Теорема о
существовании верхнего и нижнего пределов у ограниченной
последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
2. Определение, свойства и график функции [pic].
3. Критерий Коши существования предельного значения функции в точке
[pic].
4. Дать определение по Гейне: неверно, что [pic].
5. Дать определение:[pic].


Билет 23.
1. Теорема о существовании точной верхней (нижней) грани у
ограниченного сверху (снизу) множества вещественных чисел.
2. Определение, свойства и график функции [pic].
3. Сформулировать теорему о непрерывности сложной функции.

4. Дать определение по Коши: [pic].

Билет 24.
1. Непрерывность сложной функции.
2. Определение, свойства и график функции [pic]
3. Определение фундаментальной последовательности.
4. Дать определение по Коши: неверно, что [pic].
5. Дать определение:[pic].


Билет 25.
1. Понятие сходящейся последовательности. Арифметические операции над
сходящимися последовательностями.
2. Определение, свойства и график функции [pic].
3. Определение функции на числовом множестве.
4. Дать определение по Гейне: [pic].
5. Определение точки разрыва функции I рода.

Билет 26.
1. Локальные свойства непрерывных функций (ограниченность, сохранение
знака).
2. Бином Ньютона.
3. Сформулировать теорему Больцано-Вейрштрасса.
4. Дать определение по Гейне: неверно, что [pic].
5. Дать определение:[pic]+0.


Билет 27.
1. Свойства вещественных чисел (доказать одно из свойств, связанных с
неравенствами).
2. Неравенство Бернулли.
3. Дать определение:[pic].
4. Дать определение по Коши: [pic].
5. Определение точки разрыва функции II рода.