Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://higeom.math.msu.su/~asmish/Lichnaja-2010/Version2010-11-20/UchProcess-2011/ControlWork-2-updated.pdf Дата изменения: Tue May 17 16:21:08 2011 Дата индексирования: Sun Apr 10 01:38:16 2016 Кодировка: Windows-1251

Контрольная работа (май 2011 г.)

ВАРИАНТ A.

1a). Вычислить кривизну плоской кривой (заданной в полярных координатах):

r2 = a2 cos 2 (лемниската);
2а). Найти кривизну и кручение пространственной кривой:

r = (et , e-t , t 2);

3a). Вычислить первую квадратичную форму поверхности:

r = (s) + e(s)

(|e(s)| = 1)(линейчатая поверхность);

4a). Вычислить вторую квадратичную форму поверхности:

r = (a cos u cos v , a cos u sin v , c sin u) (эллипсоид вращения).
5a). Найти гауссову и среднюю кривизны поверхности:

r = (s)

(|| = 1, > 0) (коническая поверхность);

1


Контрольная работа (май 2011 г.)

ВАРИАНТ B.

1b). Вычислить кривизну плоской кривой (заданной в полярных координатах):

r = a(1 + cos ) (кардиоида);
2b). Найти кривизну и кручение пространственной кривой:

r = (et sin t, et cos t, et );
3b). Вычислить первую квадратичную форму поверхности:

r = (s) + n(s) cos + b(s) sin (n нормаль, b бинормаль) (каналовая поверхность);
4b). Вычислить вторую квадратичную форму поверхности:

r = ((a + b cos u) cos v , (a + b cos u) sin v , b sin u) (тор);
5b). Найти гауссову и среднюю кривизны поверхности:

r = (s) + b(s) (поверхность бинормалей).

2


Контрольная работа (май 2011 г.)

ВАРИАНТ c.

1c). Вычислить кривизну плоской кривой:

r(t) = (a cos3 t, a sin3 t) (астроида);
2c). Найти кривизну и кручение пространственной кривой:

r = (cos3 t, sin3 t, cos 2t);
3c). Вычислить первую квадратичную форму поверхности:

r = (s) + n(s) (поверхность главных нормалей);

4c). Вычислить вторую квадратичную форму поверхности:

xy z = a3 ;
5с). Найти гауссову и среднюю кривизны поверхности:

r = (s) + (s), (поверхность, образованная касательными линиями).

3