Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://lib.mexmat.ru/pr/matan_luk_2.ps Дата изменения: Tue Sep 14 22:24:53 2004 Дата индексирования: Sat Dec 22 14:42:55 2007 Кодировка: Windows-1251

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. 2 семестр. ЛукашенкоТ. П. http://lib.math.msu.su
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
проф. Т. П. Лукашенко
1 курс, 2 семестр.
Определ?нные интегралы Римана, Мак-Шейна и КурцвейляХенстока. Основная лемма о
существовании разбиений. Простейшие свойства интегралов. Критерии Коши интегрируемо-
сти. Интегрируемость на подотрезках. Необходимое условие интегрируемости по Риману. Ад-
дитивность интегралов по отрезкам. Интегрируемость производных по КурцвейлюХенстоку.
Формула НьютонаЛейбница и следствия из не?.
Верхняя мера Лебега и е? свойства. Множества меры нуль по Лебегу. Интегрируемость
ограниченных и непрерывных почти всюду функций по Риману и по Мак-Шейну. Ограничен-
ность и непрерывность почти всюду интегрируемых по Риману функций. Связь интегралов
Римана и Мак-Шейна. Критерий Лебега интегрируемости по Риману и следующие из него
дополнительные свойства интеграла Римана.
Интегрируемость по Мак-Шейну функции, равной нулю почти всюду. Два определения
измеримых на отрезке функций, их эквивалентность. Интегрируемость по Мак-Шейну огра-
ниченных измеримых функций. Интеграл с переменным верхним пределом. Принадлежность
классу Липшица при условии ограниченности. Дифференцируемость в точке. Существование
первообразных.
Леммы СаксаХенстока. Непрерывность интеграла КурцвейляХенстока с переменным
верхним пределом. Интегрируемость по модулю функций, интегрируемых по Мак-Шейну.
Покрытие в смысле Витали. Теоремы Витали. Дифференцируемость почти всюду интеграла
КурцвейляХенстока с переменным верхним пределом.
Определ?нные интегралы РиманаСтилтьеса, Мак-ШейнаСтилтьеса и Курцвейля
ХенстокаСтилтьеса; их простейшие свойства. Критерии Коши интегрируемости. Интегриру-
емость на подотрезках. Аддитивность интегралов Стилтьеса по отрезкам. Функции ограни-
ченной вариации и их свойства. Функции ограниченной вариации как разность неубывающих
функций. Интегрируемость в смысле РиманаСтилтьеса непрерывных функций по функци-
ям ограниченной вариации. Интегрирование по частям в интеграле РиманаСтилтьеса. Све-
дение интеграла РиманаСтилтьеса к интегралу Римана. Интегрирование по частям и заме-
на переменной в интеграле Римана. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной
форме. Первая и вторая теоремы о среднем.
Несобственные интегралы. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов. Абсо-
лютная и условная сходимости. Признаки сходимости.
Метрические пространства. Нормированные пространства. Пространство R n , норма и
метрика в н?м. Открытые и замкнутые множества, их свойства. Компакты, их свойства.
Критерий компактности в R n . Теорема БольцаноВейерштрасса о существовании предель-
ной точки. Последовательности в метрических, нормированных пространствах и в R n , их
пределы, свойства. Полные метрические пространства. Принцип вложенных шаров. Полно-
та R n .
Предел функции и его свойства (в метрических и нормированных пространствах). Непре-
рывные функции и их свойства (в метрических и нормированных пространствах). Принцип
сжимающих отображений. Связные множества в метрических и нормированных простран-
ствах и их свойства. Путь, длина пути и е? свойства в метрических, нормированных про-
странствах и в R n .
Дифференцируемость отображений нормированных пространств. Дифференцируемость
функций нескольких переменных. Дифференциал. Частные производные. Геометрический
смысл дифференцируемости функций нескольких переменных. Достаточные условия диф-
ференцируемости. Производная по направлению. Градиент. Правила дифференцирования.
Частные производные и дифференциалы высших порядков. Равенство смешанных произ-
водных.
Формула Тейлора функции нескольких переменных с остаточным членом в форме Ла-
гранжа, интегральной и Пеано. Локальный экстремум функции нескольких переменных.
1

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. 2 семестр. ЛукашенкоТ. П. http://lib.math.msu.su
Необходимые и достаточные условия его существования. Теоремы о существовании и диффе-
ренцируемости неявной функции. Условный экстремум. Метод неопредел?нных множителей
Лагранжа его отыскания.
2