Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://lib.mexmat.ru/pr/matan_tel_1.pdf Дата изменения: Tue Sep 14 03:33:40 2004 Дата индексирования: Sat Dec 22 14:44:31 2007 Кодировка: Windows-1251

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. 1 семестр. Теляковский С. А.

http://lib.math.msu.su

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
проф. С. А. Теляковский 1 курс, 1 семестр.

Действительные числа. Действительные числа как бесконечные десятичные дроби. Сравнение чисел. Арифметические действия над действительными числами. Точная верхняя и точная нижняя грани числового множества. Полнота множества действительных чисел в терминах теорем о точных гранях, вложенных отрезках и дедекиндовых сечениях. Счетность множества рациональных и несчетность множества действительных чисел. Операции над множествами. Пределы. Предел последовательности. Свойства пределов, связанные с неравенствами и арифметическими действиями. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Подпоследовательности, теорема БольцаноВейерштрасса. Частичные пределы, верхний и нижний пределы последовательности. Предел монотонной последовательности. Число e. Критерий Коши сходимости последовательности. Начальные сведения о рядах. Определения предела функции по Коши и по Гейне. Свойства пределов функции. Критерий Коши существования предела функции. Односторонние пределы. Пределы монотонной функции. Сравнение функций. O-большие и o-малые величины. Непрерывные функции. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва. Предел и непрерывность сложной функции. Непрерывность обратной функции. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, достижимость точной верхней и точной нижней граней значений, равномерная непрерывность. Модуль непрерывности функции. Теорема Коши о промежуточных значениях функций, непрерывных на промежутке. Показательная функция, элементарные функции. Производные и дифференциалы. Производная, односторонние производные. Дифференциал функции. Касательная к графику функции. Правила вычисления производных. Производная обратной функции. Производная сложной функции. Производные элементарных функций. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница для производной произведения. Вопрос об инвариантности формы дифференциалов. Свойства дифференцируемых функций. Возрастание и убывание функции в точке. Теорема Ферма. Теорема Дарбу о промежуточных значениях. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о среднем. Следствия из формулы конечных приращений Лагранжа. Возрастание и убывание функции на отрезке. Раскрытие неопределенностей. Правила Лопиталя. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и в форме Пеано. Поведение остаточного члена формулы Тейлора функций ex , sin x, cos x, ln(1 + x). Бином Ньютона. Необходимые условия и достаточные условия локального экстремума в терминах старших производных. Выпуклость функции в точке. Точки перегиба. Выпуклость функции на промежутке. Неравенства Иенсена, Г?льдера, Минковского и Чебышева для конечных сумм. Кривые в трехмерном пространстве. Непрерывность и дифференцируемость векторнозначных функций. Свойства производных. Непрерывные кривые, спрямляемость кривой. Длина дуги кривой. Гладкие кривые.

1