Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://quantum.phys.msu.ru/sites/default/files/downloads/79/teoriya-kolebaniy.doc Дата изменения: Unknown Дата индексирования: Sat Apr 9 22:49:03 2016 Кодировка: koi8-r

Рабочая программа дисциплины

1. Теория колебаний

2. Лекторы.

2.1. Кандидат физико-математических наук, доцент, Елютин Павел
Вячеславович, кафедра квантовой электроники физического факультета
МГУ, pvelyutin@mtu-net.ru , 939-11-04.

3. Аннотация дисциплины.
Курс посвящен основам классической теории колебаний - теории регулярного
движения в динамических системах общего вида с одномерным, двумерным или
трехмерным (расширенным) фазовым пространством. В ходе изучения курса
студенты осваивают основные кинематические модели (гармоническое,
периодическое, двухчастотное квазипериодическое, модулированное
гармоническое и релаксационное движения), основные типы структур фазового
пространства (неподвижные точки, сепаратрисы седел, предельные циклы,
аттракторы и их бассейны, ловушки) и их бифуркаций, методы аналитического и
численного исследования динамических систем.
Основные разделы программы: кинематика теории колебаний, динамические
системы и их классификация, одномерные системы, двумерные системы, подкласс
интегрируемых систем, системы с предельными циклами, двумерные системы под
гармоническим воздействием, параметрический резонанс, системы с
отклоняющимся аргументом.


4. Цели освоения дисциплины.
Получить основные представления о классификации простых динамических систем
общего вида, о присущих им типах движения, и условиях их возникновения и
исчезновения при изменении параметров.

5. Задачи дисциплины.
1. Изучение кинематических моделей регулярных движений;
2. Изучение классификации динамических систем и возможных для них типов
движения;
3. Изучение методов определения характеристик регулярного движения (частот,
коэффициентов фурье-разложения закона движения);
4. Изучение основных типов резонансов в нелинейных системах под
гармоническим воздействием (консервативный и диссипативный нелинейные
резонансы, субгармонический и супергармонический резонансы,
параметрический резонанс).
6. Компетенции.
7.1. Компетенции, необходимые для освоения дисциплины.
ПК-1
7.2. Компетенции, формируемые в результате освоения дисциплины.
ПК-2, ПК-5

7. Требования к результатам освоения содержания дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен
знать основные методы исследования свойств регулярного движения простых
динамических систем;
уметь применять эти методы для исследования произвольных моделей;
владеть навыками решения задач по основным разделам курса.
иметь опыт деятельности по многоаспектному исследованию теоретической
проблемы и представлению ее в форме документа по принятому в науке
стандарту.



8. Содержание и структура дисциплины.

|Вид работы |Семестр |Всего |
| | |7 | | |
|Общая трудоёмкость, акад. часов |. |72. |. |72. |
|Аудиторная работа: |. |36. |. |36 |
| Лекции, акад. часов |. |36 |. |36. |
| Семинары, акад. часов |. |. |. |. |
| Лабораторные работы, акад. часов |. |. |. |. |
|Самостоятельная работа, акад. часов |. |36. |. |.36 |
|Вид итогового контроля (зачёт, зачёт с |. |экз. |. |. |
|оценкой, экзамен) | | | | |

|N |Наименование |Трудоёмкость (академических часов) и содержание занятий |Форма |
|раз|раздела |Распределение общей трудоёмкости по семестрам указано в рабочих планах (приложение 7) |текущег|
|- |Разделы могут| |о |
|дел|объединять | |контрол|
|а |несколько | |я |
| |лекций | | |
| | |Аудиторная работа |Самостоятельная работа| |
| | | | | |
| | | |Содержание | |
| | | |самостоятельной работы| |
| | | |должно быть | |
| | | |обеспечено, например, | |
| | | |пособиями, | |
| | | |интернет-ресурсами, | |
| | | |домашними заданиями и | |
| | | |т.п. | |
| | |Лекции |Семинары |Лабораторные работы | | |
|1 |Введение |1. 2 часа. | | |2 часа. |ДЗ |
| | |Кинематика колебаний: | | |Работа с лекционным | |
| | |модели движения. | | |материалом. Решение | |
| | |Основная модель - | | |задач по теме. | |
| | |гармонические | | | | |
| | |колебания. | | | | |
| | |Периодические | | | | |
| | |колебания. | | | | |
| | |Квазипериодические | | | | |
| | |колебания. | | | | |
| | |Кинематические | | | | |
| | |резонансы: резонансные| | | | |
| | |соотношения, | | | | |
| | |представление | | | | |
| | |отношений частот | | | | |
| | |цепными дробями. | | | | |
| | |Модулированные | | | | |
| | |гармонические | | | | |
| | |колебания. Медленно | | | | |
| | |меняющиеся амплитуда и| | | | |
| | |фаза. Релаксационные | | | | |
| | |колебания. | | | | |
| | |2. 2 часа | | |2 часа. |ДЗ |
| | |Динамика колебаний: | | |Работа с лекционным | |
| | |модели систем. | | |материалом. Решение | |
| | |Конечномерные | | |задач по теме. | |
| | |динамические системы. | | | | |
| | |Фазовое пространство. | | | | |
| | |Уравнения движения. | | | | |
| | |Классификация | | | | |
| | |динамических систем: | | | | |
| | |автономные и | | | | |
| | |неавтономные системы, | | | | |
| | |автономизация. | | | | |
| | |Локальная диссипация, | | | | |
| | |теорема об изменении | | | | |
| | |фазового объема. | | | | |
| | |3. 2 часа. | | |2 часа. |ДЗ |
| | |Основные задачи теории| | |Работа с лекционным | |
| | |динамических систем. | | |материалом. Решение | |
| | |Задача Коши. | | |задач по теме. | |
| | |Исследование | | | | |
| | |устойчивости движения.| | | | |
| | |Исследование структуры| | | | |
| | |фазового пространства:| | | | |
| | |исключительные фазовые| | | | |
| | |траектории - | | | | |
| | |неподвижные точки и | | | | |
| | |предельные циклы. | | | | |
| | |Аттрактор, бассейн | | | | |
| | |аттрактора, ловушка. | | | | |
| | |Исследование | | | | |
| | |динамической системы в| | | | |
| | |пространстве | | | | |
| | |параметров. | | | | |
| | |Бифуркации. | | | | |
| | |. | | | | |
|2 |Одномерные |2 часа | | |2 часа. |ДЗ |
| |системы |Автономные одномерные | | |Работа с лекционным | |
| | |системы: неподвижные | | |материалом. Решение | |
| | |точки и релаксационные| | |задач по теме. | |
| | |движения. Би- и | | | | |
| | |мультистабильность. | | | | |
| | |Основные типы | | | | |
| | |бифуркаций неподвижных| | | | |
| | |точек в одномерной | | | | |
| | |системе - | | | | |
| | |тангенциальная | | | | |
| | |бифуркация, бифуркация| | | | |
| | |удвоения, бифуркация | | | | |
| | |смены устойчивости. | | | | |
| | |Неавтономные | | | | |
| | |одномерные модели. | | | | |
| | |Бифуркации и | | | | |
| | |гистерезис. | | | | |
| | |Запаздывание | | | | |
| | |вынужденных колебаний | | | | |
| | |в релаксационных | | | | |
| | |системах. | | | | |

Семинары и лабораторные работы указываются только при их наличии в учебном
плане (приложение 6). Остальные позиции заполняются в обязательном порядке.

Предусмотрены следующие формы текущего контроля успеваемости.

|1. Защита лабораторной |4. Реферат |7. Рубежный контроль|10. Контрольная |15. Рейтинговая |
|работы (ЛР); |(Р); |(РК); |работа (КР); |система (РС); |
|2. Расчетно-графическое |5. Эссе (Э); |8. Тестирование (Т);|11. Деловая игра |16. Обсуждение (Об). |
|задание (РГЗ); |6. Коллоквиум | |(ДИ); | |
|3. Домашнее задание (ДЗ); |(К); |9. Проект (П); |12. Опрос (Оп); | |

9. Место дисциплины в структуре ООП ВПО
1. по выбору.
2. вариативная часть, профессиональный блок, дисциплина профиля.
3. Является основой для чтения дисциплин кафедры квантовой электроники.
Необходимо знание матанализа, элементарной теории колебаний (знание
основных свойств свободных и вынужденных колебаний линейного осциллятора
в пределах курса общей физики), элементов теоретической механики.
1. Математический анализ, линейная алгебра, дифференциальные уравнения,
общая физика.
2. Нелинейная динамика, кинетика сложных систем, теоретические основы
квантовой радиофизики.

10. Образовательные технологии
. включение студентов в проектную деятельность,
. дискуссии,
. применение компьютерных симуляторов,
. использование средств дистанционного сопровождения учебного процесса,

11. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости и промежуточной
аттестации.

Образцы задач из домашних заданий:
1. С какой частотой [pic] встречаются натуральные числа [pic] в разложении
произвольного иррационального числа [pic] в цепную дробь [pic]? Что
встречается чаще - 7 или 8? И во сколько раз?
2. Для модели с уравнением движения

[pic]

с начальными условиями [pic] вычислить аналитически период движения.
Численное значение периода [pic].
3. Оценить вероятность того, что двумерная автономная система с
квадратичными правыми частями уравнений

[pic]

обладает предельным циклом.

Образцы тестовых вопросов
1. Даны два закона движения:
(. [pic]
(. [pic]
Относятся ли они к классу квазипериодического двухчастотного движения
([pic]), если частоты [pic] несоизмеримы?
A Да, оба относятся
B Только ( относится
C Только ( относится
D Нет, не относятся
<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

2. Для модели с уравнением движения
[pic]
точка [pic] является

A Неподвижной устойчивой
B Неподвижной неустойчивой
C Неподвижной без определенной устойчивости
D Точкой поворота
<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

3. Оцените возможность существования предельных циклов в двух следующих
динамических системах:

(. [pic]

(. [pic]


A Обе системы не могут иметь предельных циклов
B Только система ( может иметь предельный цикл
C Только система ( может иметь предельный цикл
D Обе системы могут иметь предельные циклы
<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Образцы вопросов теоретического минимума
1. Разложить на гармонические компоненты функцию

[pic]

Нарисовать ее график на интервале [pic].
2. Нарисовать график зависимости частоты [pic] движения маятника - системы
с (обезразмеренным) гамильтонианом
[pic]
от энергии [pic]. Указать асимптотические формы зависимости [pic] в
областях [pic],[pic] и [pic].
3. Построить двумерную автономную динамическую систему, обладающую
седлом в точке {0,0} и устойчивым фокусом в точке {1,1}.

Полный список вопросов к зачету
Основой для получения зачета по курсу является успешное выполнение двух
исследовательских проектов. Форма и содержание этих проектов описаны в
приведенных ниже инструкциях, которые фактически и играют роль полного
списка вопросов к зачету.

ИНСТРУКЦИЯ
к выполнению "Проекта #1" по теории колебаний
(исследование свойств двумерной автономной системы).

00. ЗАДАНИЕ: выбрать оригинальную двумерную автономную систему,

[pic],

в которой функции [pic] и [pic] являются полиномами степени не ниже второй
и не выше третьей и содержат не более двух управляющих параметров [pic] и
[pic] - и исследовать ее.

01. Общая цель проекта - продемонстрировать умение использовать аппарат
теории динамических систем на фазовой плоскости и минимальные навыки
использования численных методов. В частности, обязательно использование
численных решений уравнений движения для изображения траекторий на фазовом
портрете.

02. Присутствие двух управляющих параметров [pic] и [pic] необходимо
только для того, чтобы иметь возможность получить содержательные наборы
неподвижных точек (желательно - не менее чем из трех). Исследование смены
типов точек достаточно провести при фиксированном значении одного из
параметров.

03. Основной задачей проекта является исследование фазового портрета
системы и его эволюции при изменении одного из управляющих параметров.
Программа такого исследования должны включать следующие пункты.
1. Исследование локальной диссипации системы - в частности, если она
знакопеременна, то следует указать границы областей знакопостоянства
диссипации.
2. Определение неподвижных точек системы. Если таких точек слишком
много, то достаточно ограничиться несколькими ближайшими к началу
координат.
3. Исследование типов неподвижных точек.
4. Если среди точек присутствуют седла - определение положения их
сепаратрис (как локального - вблизи седла, так и глобального: в частности,
следует определить, притягиваются ли сепаратрисы к другим неподвижным
точкам или уходят на бесконечность).
5. Если имеется более одной устойчивой неподвижной точки -
определение положения границ бассейнов притяжения каждой из них.
6. Исследование возможных бифуркаций неподвижных точек - изменение
их числа и типа при изменении одного из управляющих параметров при
фиксированном значении другого.
7. Если (что маловероятно) система имеет предельный цикл -
исследование его свойств.
8. Численный расчет закона движения системы при типичных начальных
условиях и параметрах и формы типичных траекторий.
9. Построение графиков, изображающих фазовый портрет (портреты).

04. Весьма желательно, чтобы при построении трудоемких графиков - в
особенности фазовых портретов - была использована вычислительная техника, а
не "ручной метод изоклин".

05. Фрагменты, содержащие численные расчеты, должны быть описаны
достаточно подробно - так, чтобы имелась возможность их повторить.
Например: "Уравнения движения решались с помощью процедуры rkfixed системы
mathcad (метод Рунге - Кутта четвертого порядка). Начальные значения: ***,
шаг интегрирования ****, интервал времени интегрирования ****. "

06. Отчет должен быть написан и/или напечатан на одной стороне листов
формата А4 с полями не менее 30 мм слева и 15 мм с остальных сторон. Листы
должны быть единообразно пронумерованы и сшиты (скобкой или иначе).
Сочетание рукописных частей текста и компьютерной печати - произвольное, но
обеспечивающее легкость чтения и правильную стыковку обозначений.

07. Срок сдачи проекта - [дата]

ИНСТРУКЦИЯ
к выполнению "Проекта #2" по теории колебаний
(исследование свойств двумерной неавтономной системы).

01. К правой части одного из уравнений модели, рассмотренной в "Проекте
#1", добавить гармоническое возмущение вида [pic]. При фиксированных
параметрах невозмущенной модели исследовать численно (а если возможно -
аналитически; хотя бы для линеаризованных уравнений) свойства вынужденного
периодического движения возмущенной модели.

02. Основной задачей проекта является исследование зависимости параметров
периодического движения от управляющих параметров [pic] и [pic].
Достаточно ограничиться рассмотрением движения, которое при [pic]
происходит в малой окрестности одной из устойчивых неподвижных точек
невозмущенной модели.
1. При достаточно малых значениях [pic] найти зависимость амплитуды
первой фурье-гармоники колебания от частоты, [pic]. Значения [pic] довести
до уровня, при котором станут заметны отклонения от результатов
линеаризованной модели.
2. При некотором фиксированном характерном значении частоты
исследовать зависимость коэффициента ангармонизма колебаний [pic] от
величины возмущения [pic].
3. Нарисовать несколько проекций фазовых траекторий установившегося
периодического движения на плоскость [pic].
4. Исследовать поведение системы в случае, когда амплитуда
вынужденных колебаний станет сравнима с расстоянием между неподвижными
точками невозмущенной системы.

03. Правила описания - те же, что и для "Проекта #1". Изложение должно
иметь форму связного текста, а представленные графики - ясные и
исчерпывающие подписи.

04. Срок сдачи проекта - [дата].



12. Учебно-методическое обеспечение дисциплины

Основная литература
1. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн.
М.: Наука, 1984. - 432 с.
2. Мигулин В.В., Медведев В.И., Мустель Е.Р., Парыгин В.Н. Основы теории
колебаний. - 2-е изд. М.: Наука, 1988. - 392 с..

Дополнительная литература
1. Хаяси Т. Вынужденные колебания в нелинейных системах. М.: ИЛ, 1957. -
204 с.
2. Блакьер О. Анализ нелинейных систем. М.: Мир, 1969. - 400 с.
3. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней
свободы. М.: Наука, 1980. - 400 с.
4. Баутин Н.А., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования
динамических систем на плоскости. 2-е изд. М.: Наука, 1990. - 488 с.
5. Горяченко В.Д. Элементы теории колебаний. Красноярск : Изд-во
Красноярского университета, 1995. - 430 с.
6. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. М.: Наука, 1997. - 496 с.

Интернет - ресурс
http://shg.phys.msu.ru/educat/vibrat.html

13. Материально-техническое обеспечение
Черная доска и мел; белая доска и фломастеры; демонстрационные печатные
материалы (графики, отпечатанные на листах формата А4). Компьютер и
проектор для демонстрации слайдов.