Äîêóìåíò âçÿò èç êýøà ïîèñêîâîé ìàøèíû. Àäðåñ îðèãèíàëüíîãî äîêóìåíòà : http://theory.sinp.msu.ru/~boos/my_book_SM_1.pdf Äàòà èçìåíåíèÿ: Mon Mar 28 13:35:39 2016 Äàòà èíäåêñèðîâàíèÿ: Sat Apr 9 23:07:07 2016 Êîäèðîâêà: ISO8859-5

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Ð æáãâ ãç àà èãæÈ ç æ í è

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1 ^ ^ ^ H = (p2 + 2 q 2 ) 2
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æãá è åé è ãâ

p = -i ^ a = ^
â è

(a - a ). ^^ 2 1 ^ q - i p ^ 2 2
Ð á àèãâ âè çè ãæá

1 ^ q + i p; ^ 2 2
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[p, q ] = -i ^^

[a, a ] = 1 ^^

^ ^^ ^^ H = (aa + a a) 2


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^^ [H , a] = - a ^
æãá è åé è ãâ ÄÎÅ

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^^ [H , a ] = a ^



da ^ ^^ = i[H a] = -i a = a(t) = a(0)e- ^ ^ ^ dt
Ô è éç ãâç æ çè è ç ë è âè âæí

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^ H |E = E |E .
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^^ H a|E = aH |E - a|E = (E - )a|E ^^ ^ ^ ^^ H a |E = (E + )a |E ^
Ô è éç ãâçèæé è çè è ç ÄÐ à æè çä ã çè è çÅ çè æè â æãá è ê ééá çè è

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a|0 = 0 ^
ß è çè â æ íã è ê ééá çè è

^ ^^ ^^ H |0 = (aa + a a)|0 = |0 2 2
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^^ H (a )n |0 = (n + 1/2)|n .
çë ä âãë çé Äçä èæ æ æ ãâçèæé è ãâ ã ç ê æí çé çç éà è ÊÅ â ç æ â âãâÉæ à è ê çè åé âèéá âãá â éè è èãáçÈ áãà éà çÈ âé à

ë ààÉ âãëâ äæã à áç ê âãè ãâàí ä æè à ç æ â âè ä æè à ç è â ä ã âèç ì â â ãâ ä ã âèç í â â æ è ë è æ åé âèéá äæ â äà ç íè äâ âèÊ ãæ è çä à âè æê à ê àãç è ãâ â ââ à è ãâ éè àçã äæã é è ãâ

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k = k 0 =
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m

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ß æ éç â

dk [^(k )^ (k )] = 1 bb

dk =
Üãè à áãá âèéá ãààãë â ãæá â

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×â â äæãê è ãààãë â

dk k

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dk a (k )a(k ) - ^ (k )^(k ) ^ ^ b b
à æ í è á ââ ãè ãä æ èãæç

ãááéè èãæ æ à è ãâç ë

^ P Å , a (k ) = k Å a (k ); ^ Q, a (k ) = a (k ); ^ ^
Öãë ãâ â ãâçèæé è è à ãä æ èãæ

P Å , a(k ) = -k Å a(k ) ^ ^ Q, ^ (k ) = -^ (k ) b b

(x ) =
Ü áãá âèéá ãä æ èãæ èç ãâ è

dk e-
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b iPÅ y

Å

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â ãä æ èãæ

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â

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a(k )e- ^

b iy Å P

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Ê ×â âç çãàéè ãâ â è ãæá

Å

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æãá ë



èæ âçà è ãâ æ à è ãâ

= a(k ) ^ eiy
Å

df df = -iy Å f ()k Å a(k ) = ^ = -iy Å k Å f () = d d a(k )e- ^
è

b P

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b iy Å P

Å

= a(k )e- ^
à

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Å

= (x) = (x + y )
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ãä æ èãæ ã

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ß íè æ çè

dk e-

ikx

(-k 2 + m2 )a(k ) + eikx (-k 2 + m2 )^(k ) = 0 ^ b

2 2 2 - k 2 + m2 = -k0 + k 2 + m2 = -k + k = 0 ||
çè è æ Ü è íè ç çè è ãä æ èãæ çè

(x)

Ô è éç æ

è ãâ è

ê ééá çè è

(x)

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(x)|0 >Ê

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Q(x)|0 >= -(x)|0 >
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Q (x)|0 >= (x)|0 > .
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ãâ ê ééá äæã é ç è çè è ëè è

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q

q

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t2 , x2
à ãä æ èãæç èë â ê ééá çè è çÊ Ñ

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< 0| (x2 )(x1 )|0 >
æ è çè æ æ ÄÉÍÅ è

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ÄÉÍÅ äæãä

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x

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< 0|(x1 ) (x2 )|0 >
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2 èã
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ê âèç â ä ã âèç

x

1

x

2

< 0|T { (x2 )(x1 )}|0 >= =< 0| (x2 )(x1 )|0 > (t2 - t1 )+ < 0|(x1 ) (x2 )|0 > (t1 - t2 ) = =i
Ü éâ è ãâ

d4 k e-ik(x2 -x1 ) = Dc ((x2 - x1 )) (2 )4 k 2 - m2 + i0 d4 k e-ikx (2 )4 k 2 - m2 + i0
è íè è àà è çä

Dc (x) = i
ç àà ã è è Óà âÉ âè íâá â äæãä ãæ ãâ

ÄÅ èãæ ç èë æ â éâ è ãâ âè à æ

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Ú×Ê Ûã è æ

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â ãâçèæé è áéàè ä æè à

(x - y )2 < 0
æç ãææ çä ãâ ÊÜ

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è ãâ ãä æ èãæç Äãä æ èãæç

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k1 , . . . kn =
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a (ki ) |0 ^



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^ ^ P 0 k1 , . . . kn = H k1 , . . . kn =
i=1 n

0 ki

k1 , . . . kn

P k1 , . . . kn =
i=1
× ãéæç È ãâ â â èçá æ çéàèç éç â

ki

k1 , . . . kn
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ãææ çä ãâ

q (t), q (t), L(q , q ), S =

dtL(q , q ) d4 xL(, Å )

(x), Å (x), L(, Å ), S =
Ü à áãá âèéá ç è â

(x) =
Ü Ô æâ âã è

L ; 0 (x) = (0 (x))
à çè ãæá

ãáäà ì ç à æ

L = Å Å - m2 , (x) = (x); (x) = (x)
ÍÍ


Ê Ñâ è

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à çç à á

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åé è ãâ ã áãè ãâ ãá ç æãá è

äæ â äà

ã à çè è ãâ

L L = Å - (2 - m2 ) = 0 Å
èãæ Dc âèæã é ãê ç æ â éâ è ãâ ã è åé è ãâ ã áãè ãâÊ â áãá âèéá ãä æ èãæç ãâ â èéæ ààí ççéá ç è åé à è á ãááéè è ãâ

Ü ãæ è

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æ à è ãâ

[ (x, t), (x , t )]|t=t = -i (x - x ). ^ ^
Ü Ô æâ â ç âê æ âè éâ æ àã àä çç è

(x) ei(x) , C onst
Ûé è ãá â è ãâÈ àà éææ âèÈ ç ãâç æê Äè ç ç ç áäà ì áäà ã è æçè Ö éè æ ãæ áÅ

j Å (x) = i Å - i Å Å j Å = i2 + i Å Å - iÅ Å - i 2 = 0.
ãâç æê è ãâ ã è éææ âè à èã è ãâç æê è ãâ ã è æ

Q= dQ = dt
ãæ àà â ã à çÊ

d3 xj 0 = dx0 j 0 =

dx(i - i ) dx(i j i ) =


dnj = 0

ÏÊ

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â åé âèéá á

â çÊ

Ðãë ê æ ãæ ãéæ éæè æ ãâç è à æ í èè æ ãéâ

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éâ è ãâ à âè æ à ääæã èã åé âèéá àâ é

à

ãæí ç áãæ éç éàÊ Ñâ ä æè éà æÈ è ààãëç èã åé âè î âãâÉ èë â ÛÉá èæ ì à á âèç â è âëè è åé âèéá á

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è æ é è ãâ ãæáéà

Ä ãââ è ãâ

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L(qi , qi ) pi =

L , H (qi , pi ) = qi pi - L(qi , qi )|q qi 1 q i (t), pj (t) = i ij ^ ^ ^

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æ

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ç æ

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H (p, q ) = ^^

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ÍÎ


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Û æã

^ | = H | t â æ åé è ãâ ç i |(t) = e
^ -iH t

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(q , t) = q |(t) = q e-
Ñë âèæã é ãáäà è ç è ã çè è ç |q

^ iH t

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q |q = (q - q ).

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^= 1
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0

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(q , t) =
ë

dq0 q | e-

^ iH t

|q

o

q0 |(0) =

dq0 K (q , q0 , t) q0 |(0) ,

æ K ç çã àà æâ à ã è Û æã ^^ × ê ãéçàíÈ [H , H ] = 0È â è æ ãæ

â æ åé è ãâÊ
^ iH (tn -t ^ iH (t1 -t0 )

e-

^ iH T

= e-

^ iH (tn+1 -tn )

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q

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q

q

q

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è è á áãá âè ti ë â âèæã é

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^= 1
Ü â ãæ è æâ à K ë ã è â è
n

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n+1-i ^

i

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i=1

dqi |q

qi e-
^

^ iH t

q

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. . . q1 e-

^ iH t

q

0

e( q
ãæ ê æí çá àà ( t) e-
i+1

^^ A+ B )

= eA + eB (1 + o(2 )) = q
i+1

e-

^ iH t

q

i

e-

i

p2 ^ 2m

t

Ç e-

^ iV (q ) t

q

i

^ iV (q ) t

ãéà

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ãéèÈ â è æ ãæ

q

i+1

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^ iH t

q

i

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^ iV (qi ) t

Çq

i+1

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p2 ^ 2m

t

q

i

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t

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i+1

q
ë æ

i+1

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p2 ^ 2m

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i

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q

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dp 2

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p2 ^ 2m

t

p

p|qi =

dp - e 2

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i+1

-q i ) t -i

e

p2 ^ 2m

t

,

×â ãéà á

q |p = eipq È p|q = e-ipq È ^ = 1
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ãààãë â çé çè èéè ãâ ã è

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âè æ è ãâ ê æ

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m 2

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m 2

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-q i )

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K (q , q0 ; t) = N
ãæ ãéæ ãâç

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- -V (q i ) t

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- V ( q )]

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èç è ãààãë â

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n

âè æ à ã dp ãâ

æ äæ ç âè è ãâ ãæ è

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D(q ) =
ß Ü ã âãè

ninf , t= 0

lim

t n

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T =1

m dq 2 i t

T

.
è æá â Ê

ç éçç á è á è à çä èç ã ãæ è æâ à

ãë ë àà çé ãâçèæé è ãâ ç
R

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â ëæ èè â ç

K (q , q0 ; t) =
â ç áäà â æ àî ãâ è

D(q )eiS =

D(q )ei

t 0

dtL(q ,q ,t)

ÄÅ èã æ á â ë

ç ã åé âèéá

à è ãæíÊ

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éè áäãæè âè ãæáéà ç ãæ áéàè

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éçç â âè æ àçÊ

Ê

éçç

â

âè

æ àç
n

Ô è éç ãâç

æ n ããæ â è ç y1 , . . . y

× ê ãéçàíÈ y T = (y1 . . . yn ) ë è

ãæá à

ãæá y1 Ê y= Ê Ê yn

ç

à ê èãæ

â è ãâ ã

.

ç à æ äæã é è ãâ
i

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Ü ë ààÉ âãëâ âçë æ ãæ è

yi x
i

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Ax

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Í

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(2 )n/2 , = det A


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æAç æ Ü
i

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â

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âè æ à â ã è â è âê àé ã è á èæ ì AÊ

n ç n á èæ ìÊ

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ãæáéà Ê Ú á â æ det A =

n i=1

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âè æ à â

à è ãæí ë è ãéè ìè æâ à çãéæ ç éâ è ãâ à âè æ à ë è
1T x 2

çë ç ãààãë â

â â àã é ã è

çãéæ

çè ÄÅ à

Z [J ] =
ë

dx1 . . . dxn Ç e-

Ax+ J T x

,

æ J ç çãá ê èãæ J T = (J1 . . . Jn )Ê Ñ ë á

çé çè èéè ãâ ã âè æ è ãâ ê æ

x = x - (A-1 )J,
è âè æ à Ä Å ë àà è çé ãæá
1 2

Z [J ] = e
ÛãÈ è âè æ à Z [J ] ç åé à èã

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dx1 . . . dxn Ç e-

1 T x 2

Ax



.

Z [J ] = e
â æ à î è ãâ ã è çèæ è ãæë æ Ê ãê

1 2

JT A

-1

J

ÇZ =e

1 2

JT A

-1

J

(2 )n/2 Ç . det A
àçã âè æ è ãâ ç

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ç ã ãáäà ì ê æ èã ãáäéè ã è

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k =1

dzk dzk e-

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z = (z )T Ê ×â â

z T B z ääàí â éâ è æí èæ âç ãæá è ãâ ã ê æ
1

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á èæ ì U B U

Ü

âè æ à ZC è â è
n

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U BU =


0

0

n

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n

ZC =
k =1

d

zk

d

2 zk e-k |zk |

=
k =1

dxk dyk e-

2 k ( x 2 + yk ) k

=

n . det B

ÄÅ

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è

ìè æâ à ãáäà ì çãéæ J
n

ZC [J ] =
k =1

dzk dzk e-

z B z +J z +z J

Í


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ç

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ZC [J ] = eJ


è
Ç ZC = eJ


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B

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ÄÅ èã ãâç æ áãæ

Ñâ è à è ãæí ë ê èã ãâç æ âè æ è â ãáäà è âè æ àç âêãàê â çãéæ âè æ è ãâç
Zint [J ] = 1 Zin dxe
t

à çÊ Ûã ë â

- 1 x Ax + J x - V (x ) 2

,

ë æ Zint = Zint [0]Ê Ñ ë ìä â è ìäãâ âè e- ãæá ãæ è âè æ à Zint [J ]
Zint [J ] =

V (x )

â ä æèéæ è ãâ è ãæí ë â

ç àí

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1- e Z [0]

V[

J

]

Ç Z [J ] = e

-V [

J

]

Çe

1 2

JA

-1

J

.

Ê

éâ è ãâ à âè æ à â åé âèéá

à è ãæí
à è ãæí ãéà èç æ ê è ê â è ãâ í à (x)

çë ê ç â àæ í èæ âç è ãâ æãá á â ç èã á âç ã ãæá à ãææ çäãâ â èë â è ããæ â è â â èç æ ê è ê
q (t) (x); q (t) Å (x).

ß è è ç â àã í ãâ â áá è àí ëæ è æâ à â ç ã åé âèéá à è ãæí
Z [J ] = D()ei
R

ãëâ è
R

ãààãë â

ãæáéà

ãæ è

êãàéè ãâ

d4 xL(,Å )+i

d4 xJ (x)(x)

,

ÄÍÌÅ

ëæè èæ èãæ Öãë æ éç â

á çéæ D() = x d(x) ãææ çäãâ ç èã è âè æ è ãâ ãê æ àà äãçç à ç Ä à ãâ éæ è ãâçÅ àà è ãæáéà ç ë æ ê ãæ éçç â âè æ àç â äæ ê ãéç ç è ãâ â ääà è éâ è ãâ à æ ê è ê âçè ã éçé à ãâ Ê ãæ ì áäà
J (y ) = (4) (x - y ) J (x)

Ñ ë ãâç

æè

Ô æâ

â ãæ è

æ

ç à æ

à
2

1 1 1 L = Å Å - m2 2 = - 22 + m 2 2 2

1 - - Dc 1 2

ÄÍÍÅ

ë â

è ãæ Z [J ]
Z [J ] = exp

1 2

d4 xd4 y J (x)Dc (x - y )J (y ),

ÄÍÎÅ

Í


ëæè

âãæá à î è ãâ ã è

á çéæ ç è

â çé è è

Z [0] = 1.

Ðæ è

éâ è ãâ Dc ç è

æ â éâ è ãâ ã è
D
-1 c

åé è ãâ ã áãè ãâ

Ç Dc = 1

ë áãæ

éæ è àí á âç
i 22 + m
2 x

Dc (x - y ) = (4) (x - y ).

Ñâ è ãâ Ü

áãá âèéá æ äæ ç âè è ãâ í á èç ãæá à çãàéè ãâ ã è åé è ãâ ç

âè
2

éæ èæ âç ãæá ã
D(p) = 1

ãè ç

ç ã è ç åé è ãâ

i -p2 + m

D(p) =

éè ë â è ç ç è

èã ì ãë èã éâ è ãâ Dc (p)

à ë è è äãà Ê Ü ãâàí äãçç à ã ç èã çè á à æ ãæ ãæá ã íâá â äæãä èãæ
Dc (p) = i . p - m 2 + i
2

i . p - m2
2

(+i)Ê Ñâ

Ñâ È çé ì â ã è éâ è ãâ à âè æ à
Z [J ] = m
2

âãá â èãæ à

ç èã è

è è è â è

ìäæ çç ãâ ãæ è

D() exp i

d4 x

1 1 Å Å - m2 2 + J 2 2

,

ÄÍÏÅ

èç

ç

è m 2 m 2 - i â è

è æá
dx2 (x)

D() exp -

âçéæ ç è ãâê æ ×â è ãè æ à ç èã íâá ââ èã y È â x0 > y è ìäæ çç ãâ

â ã è âè æ àÊ â È çë ê ç éçç àæ íÈ çé ãæá ã íâá ââ äæãä èãæ ãéâ æí ãâ è ãâçÈ â á àí x0 < y 0 è ä æè à äæãä è ç æãá x 0 è ãææ çäãâ â âè ä æè à äæãäã è ç æãá x èã y ç ãààãëç æãá
dp eip 3 2 (2 ) p

Dc (x - y ) = -

(x - y )

(t)e

-ip t

+ (-t)e

ip t

.

ÛãÈ è íâá â äæãä èãæ ç ãæá â è è ãâ ÄÍÍÅÊ

æ â éâ è ãâ â È â ãè æ ëãæ çÈ è Í

âê æç åé æ è


Ñâ è ãæ è

ç ã âè æ è â äãè âè à V () ë â æ è â éâ è ãâ à
ZV [J ] = exp -i d4 xV i J (x)

è æãá ÄÍÎÅ è
1 2

ãààãë â

â æ à ìäæ çç ãâ ÄÍ Å

Ç exp

dy dz J (y )Dc (y - z )J (z )

çë æê ãë éâ è

àà ç éçç ãâ â èç è è ê ç ë è æ çä è èã è çãéæ ì èàí è éâ è ãâ à âè æ àÈ ãâç æ æ à è èã è S Éá èæ ì

æ Ê à

â éâ è ãâç í è â â âéá æ ã éâ è ãâ à Ðãë ê æÈ è ç ç âãè âãé ç â ë ã âãè âãë àà â æ àî éâ è ãâ à âè æ àÈ â è æâ á âèç â èã ãáäéè ä íç ç ã ç æê à çÊ

Ê

éâ è ãâ à âè æ à â ãàãáãæ æ äæ ç âè è ãâ
æáãâ ãç àà èãæ ç ë
H (p, q ) =

ß çè æè ë è è

àæ

í

ãæ

^ p2 2 q 2 ^ + 2 2

Ü

æ è ãâ â

ââ

à è ãâ ãä æ èãæç

êè
[a, a ] = 1 ^^

ãæá ÄÏÅ ë è è

ãááéè èãæ ÄÍ Å æ èÉ

Ð á àèãâ â ã è âç Å

çíçè á è

ââ

âãæá à ãæá Ä àà æ è ãâ ãä æ èãæç æ ãâ è
H = a a. ^^

Ü ãááéè èãæ æ à è ãâ ÄÍ Å ç ê æí â æ äæ ç âè è ãâ â è æáç ã éâ è ãâç ë æ âèæã é í á âç ã è ãààãë â ç à æ äæã é è
f1 |f2 = (f1 (a )) f2 (a )e-
a a

ãàãáãæä

da da 2 i
(a )n n!

Ê ß è çé â è ãâ ã è ãæáç â ãæè ãâãæá à ç ç

ç à æ äæã é è è
1 n!m!

ç è ã éâ è ãâç n (a ) =
a a

Èn0 ÄÍ Å

n |m =

an (a )m e-

da da = n 2 i

m

×â â ç àí äæãê è è n |n |n | = 1Ê Øæã à áÊ Øæãã è æ à è ãâ ÄÍ ÅÊ Ü ãä æ èãæç a â a è ãæ â èã è ^ ^
a Ç f (a ) = a f (a ), ^

ãààãë â æéà ç
af (a ) = ^ d f (a ) da

ÄÍ Å

í

æ è çé çè èéè ãâ ãâ â äæãê è

ãààãë â æ à è ãâ ÄÍ Å

f1 |a f2 = af1 |f2 ^ ^

Í


ë á Öãë ë æ éç éà Ô è éç

âç ë ãæ è

è è ãä æ èãæç a â a æ ãâ é è èã ãè æÊ ^ ^ àà ç ãë ë ç áäà ãæáéà ç ãæ ê â ãê ãàãáãæä æ äæ ç âè è ãâ ë ãâçèæé è ãâ ã è ÛÉá èæ ìÊ ^ çãá ãä æ èãæ A ë è á èæ ì à á âè â ãéæ ç ç
^ Anm = n |A|m .

ÄÍ Å
|n m|

Ü

éâ è ãâ
A(a , a) =
nm

(a )n am = Anm n! m !

ÄÎÌÅ êâ í

nm

^ ç àà è æâ à ã è ãä æ èãæ AÊ Ü è ãâêãàéè ãâ ã æâ àç A1 A2 (a a) = ^ Ü ãä æ èãæ A â ââ à è ãâ ãä æ èãæç


æâ à ã


äæã é è ã èëã ãä æ èãæç ç
-

A1 (a )A2 ( a)e

d d 2 i

ãáäãç

âèã è
^ A=
nm

ãæá à ç æ ç ã âãæá à ãæ æ
nm

æ è ãâ â ÄÎÍÅ

K

(a )n (a)m ^ ^ ^ ãä æ èãæ A
m

Ü

ãààãë â

éâ è ãâ ç àà

è

âãæá à çíá ãà ã è
K
nm nm

K (a , a) =

(a )n a

ÄÎÎÅ âãæá à çíá ãà ã è ãä æ èãæ ÄÎÏÅ

Øæã à áÊ Øæãã è
^ A

æ à è ãâ

èë â è

æâ à â è


A(a , a) = ea a K (a , a)

Ä

è Öãë ë ãàãáãæä Ô èè

åé à èí ÄÎÏÅ éç è æ à æ äæ ç âè è Ð á àèãâ â

^ ^^ ãæ è ä æè éà æ ç A = an al ÊÅ è ãâç ÄÎÍÅÈ ÄÎÎÅ â ÄÎÏÅ èã ãâçèæé è è éâ è ãâ à âè æ à â ãâÊ ^^ êãàéè ãâ ãä æ èãæ ç è ãæá ã çãá çíçè á ç H (a , a)Ê Ü ^ U = e-
^ iH Çt

.

æãá ÄÎÍÅ â ÄÎÏÅ ãâ â

èè

ãààãë â ãæáéà ãæ è
U (a , a) = e[a


æâ à ã è

êãàéè ãâ ãä æ èãæ ÄÎ Å

a-ih(a a)]t

çá àà è á Ñâ ç ã ãéæ ãæè ãâãæá ãä æ èãæÈ ë

ãæ

âè âè à ç

æê à tÊ âè æê à ë â çäà è è ãâ çá àà ä ç t - t = N Ç t â éç â ç ç ÄÍ Å è è ãààãë â ãæá ãæ è âãæá à çíá ãà ã è êãàéè ãâ ãâêãàéè ãâ ã äæã é èç ã è êãàéè ãâ ãä æ èãæç
exp [a N
-1 - N -1 N -1 + Ç Ç Ç - 1 1 + 1 0 ]-

U (a , a; t , t ) =

Í


- it[h(a , N

-1

) + Ç Ç Ç + h( , 0 )]) Ç


N -1 k =1

dk dk 2 i

Ñâ è

à á è t 0È N È N = t - t ãâ
U (a , a; t , t ) =


èç
Ç d d 2 i

e

a (t )

t



Ç exp

t

[- - ih( , )]dt

ÄÎ Å

t

ëæè ãéâ æí ãâ è ãâç æ (t ) = a È (t ) = a Ñâ ãéæ ç ãæ è æáãâ ãç àà èãæ h(a , a) = a a è ãáäéè Ê Üã ã è ç ãâ ç ãéà è ê æ è ãâ
t


âè æ à ÄÎ Å â

ç àí

a (t ) +
t t






[- - ih( , )]dt =

= a (t ) +
t





dt[- - - i - i ] =
t


= a (t ) - (t ) (t ) +



t

dt[- ( + i ) + ( - i )].

Ü

ìèæ áéá ãâ è ãâ ê ç éç è âçë æÊ Öãè è è èëã æçè è æáç â à ãè æ ç áäàí çãàê éç ã ãéâ æí ãâ è ãâ (t ) = a Ê ìèæ áéá ãâ è ãâç â
a(t) = e-
i (t-t )

a(t ) a (t) = e-

i (t -t)

a (t)

ÄÎ Å

Ü â ãæ è

âãæá à çíá ãà ã è

êãàéè ãâ ãä æ èãæ ë

è
),

U (a , a; t , t ) = exp(a ae-

i (t-t )

ÄÎ Å

çé çè èéè â è æãá è æçè è â áäãæè ã è ãä æ èãæ èã

çãàéè ãâ ÄÎ Å âèã ìäãâ âè â ÄÎ Å ë æá â è ìäãâ âèÊ âè ç åé â ã è ç ç è è ãæ ãä æ èãæ ^ ^ ^ eiH0 t Ae-iH0 t ç ê â í è ãâêãàéè
A a eit , ae-


æ âãâ î æã ãâèæ éè ãâ ãá ç ãâàí æâ à A(a , a) è ãâ ã ãææ çäãâ â æâ àç â
^ Aëè è

æâ à åé à ÄÎ Å

i t

Ü ç æ à è ãâ áãâçèæ è ç äãë æ ã è ãàãáãæä æ äæ ç âè è ãâ â ë è ç ç áäàí æ é èã è çé çè èéè ãâ ã æ éá âèç
a ae-
i t

êãàéè ãâ

.

Öãë ë ãá

èã è

à è ãæíÊ Ü
dk [e- 3 2k 0 (2 )

à ãä æ èãæ ç
ikx

êâ í

^ (x) =

a + eikx a (k )] ^ ^

ÎÌ


âè

ãææ çäãâ â

Éáãá âèéá ãä æ èãæ ç
^ PÅ = dk k Å a (k )a(k ) 3 2k 0 (2 )

^ P

Þ ééá |0 ç è
Å

èç ãâ ãâ Éä æè à çè è

^ çè è a(k ) |0 = 0È â ãâ Éä æè à çè è ç k = a (k ) |0 Ê Ü ^

ãä æ èãæ

ç è ç ãéà

^ ^ P0 = H

k = k0 k ,

P k =k k
n i=1

Õéàè Éä æè à çè è ç ãâçèæé è

ç k1 , . . . kn =
n 0 ki i=1 n

a (ki ) |0 Ê × ê ãéçàí ^

^ H k1 , . . . kn =

k1 , . . . kn

P k1 , . . . kn =
i=1

ki

k1 , . . . kn

^ Ñ H ç è Ð á àèãâ â ã ç è ãààãë â à á è ã è

^ çíçè áÈ H 0 ç æ êãàéè ãâ ãä æ èãæ ^ S=
t

Ð á àèãâ âÈ è â ÛÉá èæ ì ç
^ iH0 t

è æá â ÄÎ Å

lim
- t +

^ ^ eiH0 t U (t , t )e-

^ ^ ^ ß è çé â è ãâ è ç à æ è è S = 1 H = H 0 Ê æãá è ãæáéà ç ÄÎ Å â ÄÎ Å ë â ã è â è ãààãë â æ äæ ç âè è ãâ ãæ è ã ÛÉá èæ ì S (a , a) =
t

æâ à ÄÏÌÅ

lim
t - +

e

R

dk (2 ) 3 2k 0

" " R (k,t")(k,t )- tt [ (k,t)(k,t)+h( ,)]dt

Ç

t,k

d d 2 i

ë æ (k , t ) = a (k )eit , (k , t ) = a(k )e-it Ê Öãë ë ãâç æ è çíçè á ë è â ìè æâ à çãéæ J (x)


1 1 L = Å Å - m2 2 + J (x) 2 2

Ü

æâ à ã è

âè æ è ãâ ãä æ èãæ V = -J (x)(x) ç åé à èã ^
V (a , a) = dk (2 )3 2k
0

(k , t)a (k ) + (k , t)a(k )

ÎÍ


ë æ (k , t) = - J (x, t)e-ikx dxÊ Ñâ ãæ æ èã è çãàê è ìèæ áéá ãâ è ãâç

è

âè æ à ÄÏÌÅ ãâ áãæ ë ç ãéà ÄÏÍÅ

(k , t) + i (k )(k , t) + i (k , t) = 0

ëè è

ãéâ æí ãâ è ãâç

(k , t) - i (k ) (k , t) - i (k , t) = 0


(k , t ) = a (k )eit , (k , t ) = a(k )e-

i t

ÄÏÎÅ

Ü

çãàéè ãâ ã è ç

åé è ãâç

çè

ãààãë â
-i t

ãæá
t


(k , t) = a(k )e

- ie

-i t t t


eis (k , s)ds e-
t i s

(k , t) = a (k )eit + iei

t

(k , s)ds

Ñ ãâ çé çè èéè ç ã è â çãàéè ãâç èã è ãæ è æâ à ã è ÛÉá èæ ì

âè æ à ÄÏÌÅÈ ãâ ë àà
dk (2 )3 2k + a(k )e-

èè

ãààãë â

ãæáéà æ

SJ (a , a) = exp + - 1 2
-

0

a (k )a(k )+ )/(2 ) -

dt dt
-

dxJ (x, t)(a (k )ei ds

t-ikx

i t+ikx

ÄÏÏÅ

dxdy J (x, t)J (x, t)/(2 )e-

i |t-s| ikx-iky

e

èæ âç è ãâ æãá è æâ à èã è âãæá à çíá ãà ãæ è ÛÉá èæ ì ãææ çäãâ ç èã ãá èè â è æçè è æá â è ìäãâ âèÊ Öãë à è éç æ á â è çãàéè ãâ ã æ Óà âÉ ãæ ãâ åé è ãâ
0 (x) = dk (2 )3 2k
0

a(k )eit + a (k )e-

i t

âè

æ â éâ è ãâ Äè

äæãä

èãæÅ
ik |t|

Dc (x) = i

dk eikx e- (2 )3 2

=i

Ê Ñâ è æáç ã 0 (x) â Dc (x) ãâ â æ ëæ è è ãààãë â ë í
SJ (0 ) = exp i d4 xJ (x)o (x) + 1 2

âãæá à çíá ãà ãæ è

d4 k e-ikx k 2 - m 2 + i0

ÛÉá èæ ì â è ÄÏ Å è ãæë æ Ê ÄÏ Å
J =0

d4 xd4 y J (x)Dc (x - y )J (y )

â æ à î è ãâ ã ÄÏ Å èã è ç ã âè æ è ãâ äãè âè à V () ç æ è æ çèæ ß â ìäàãæ è æ à è ãâ ë àæ í ë è
exp -i d4 xV () = exp -i V i J d4 x exp i J d4 y

ÎÎ


Ü âè

ìäæ çç ãâ ãæ è

âãæá à çíá ãà ã è

ÛÉá èæ ì è
V

ç
i J

ç áäà
d4 x Ç

â

à

âè ãæá

SV (0 ) = exp -i Ç exp i J (y )0 (y )d4 y + 1 2

d4 z d4 y J (y )Dc (y - z )J (z )

ÄÏ Å
J =0

Ñ ë ã âãè äéè è çãéæ J 0 è æ è â éâ è ãâ à çíá ãà ã ÛÉá èæ ì â äæ ç â ã ìè æâ à çãéæ Ê
SV (0 , J ) = exp -i Ç exp i J (y )0 (y )d4 y + 1 2 V

æê èê ç ë
i J

êè

âãæá à

d4 x Ç

d4 z d4 y J (y )Dc (y - z )J (z )

ÄÏ Å í æê ãæ è ÄÏ Å

×â â ç è è ë äéè 0 = 0 ë â æ è â éâ è ãâ à
ZV (J ) = exp -i V i J

èè

çá
1 2

ãæáéà ë

ç àæ

d4 x Ç exp

d4 z d4 y J (y )Dc (y - z )J (z ) .

Ü ç ã ç æê è ãâ áá æá ââ æ (x) âçè ã èã v arphi(x) â

ààãëç éç èã é è ãâ ãæáéà 0 (x)Ê Ü â í J (x) ãâ â

è ê æí áäãæè âè æ à Ê Üã ã è ç ë âèæã æ è ãáäéè è ãâ ã è ãààãë â æ

è ãâ ë ç àà Ô á âÉÛ á â É é â ÄÏ Å çãá æ èæ æí ìè æâ à à éâ è ãâ à æ ê è ê ç ë è è æ çä è à è ãâ
=0

dxi 0 (xi )
i

1 ... SV (0 , J )|,J i 1 n
J =0

-

- ~ ë æ J (x) =

1 ~ ... Z (J ) ~1 (x1 ) ~n (xn ) i J J

=0

ÄÏ Å ÛÉá èæ ì

Dc (x - y )J (y )Ê Ñ ë SV (0 ) =
n

ä âáâ è èè

ìäæ çç ãâ ã è

1 n

dx1 . . . dxn 0 (x1 ) . . . 0 (xn )Sn (x1 . . . xn )

ê ç éç è ã âè éâ è ãâç Sn (x1 , . . . xn ) ã ÛÉá èæ ì ç èè æ â ãè æ â è ìä âç ãâ ã â æ è â éâ è ãâ à
ZV (J ) =
n

à á âèçÈ â

æãá è

1 n!

dx1 . . . dxn J (x1 ) . . . J (xn )

Z i J (x1 ) . . . i J (xn )

ê ç éç è

æ â éâ è ãâç
Gn (x1 . . . xn ) = Z i J (x1 ) . . . i J (xn )

ë ã ç æê ç áäà ãææ çäãâ â Ê Ü æ é è ãâ ãæáéà ÄÏ Å è ààç éç ãë èã ãáäéè ÛÉá èæ ì à á âèç ãáäéè â ãææ çäãâ âè æ â éâ è ãâç ÎÏ


ÍÊ ãâ ç ãéà ãáäéè æ â éâ èãâ ÎÊ áéàèäàí àà à ç èã âê æç äæãä èãæ ãæÈ â ãè æ ëãæ çÈ ääàí è
n

ãä æ èãæ

2i + m
i=1

2

èã ã è à ç ÏÊ áéàèäàí è æ çéàè í è

äæã é è ã ãææ çäãâ â æ
1 n 0 (xi )
i

àç

Û á è ààí è

äæã éæ ç ç ãëâ â è

ÊÏ

Ê Ï Üæ âçèãâ ãæá è Ü ç æéà ç ê æí à çÊ
Ê

æ â éâ èãâç èã è ääà

ÛÉá èæ ì à á âèç à ç âãè ãâàí ãæ è ç à æ

â æ à â ãéà

ãæ àà èíä ç ã

â æ èâ ä æèéæ

éâ è ãâ à ãæí

ãæ

æ

â

éâ è ãâç

â

è ãâ è

Öãë ë æ èéæâ

èã è
Z [J ] =

â æ èâ éâ èãâ à ëæèè â â è
D() Ç exp i d4 xL(, Å ) + i

ãæá
d4 xJ (x)(x) ,

Ä ÌÅ

1 ë æ L = 2 Å Ç Å - 1 m2 2 - V ()Ê Ñ ë è 2

è

ç ãâ

æê èê

(2) Z i J (x1 )i J (x2 )

= 1 (x1 )2 (x2 ) ,
J =0

ë ã è âè

íâá â äæãä

èãæ Dc (x1 - x2 ) ç â
dxV J Ç exp 1 2

çàí ç â æãá è

ãæá ãæ Z [J ] Ä ÍÅ

Z [J ] = exp -i

dy dz J (y )Dc (y - z )J (z ) .

ß ã è âè Äç Ä ÅÅ

ç á éâ èãâ ç ë

ê

ãè æãá è

èá ãæ æ

äæã é è ã

à ãä æ èãæç

^ ^ Dc (x1 - x2 ) = 0| T {(x1 )(x2 )} |0 = 1 (x1 )2 (x2 ) .

Î


Ü ç ç àë íç è ç Ê æê èê ç ã è äæã é èç ã è ãææ çäãâ â à ãä æ èãæç

â æ èâ

éâ èãâ à éèãá è ààí

ê TÉ

(2) Z ^ ^ 1 (x1 ) . . . n (xn ) = 0| T {(x1 ) . . . (xn )} |0 i J (x1 ) . . . i J (xn )
è è ç äãâè à è éç ãâç æ ç â ì áäà è ãæí ëè V () = 4! 4 Ê Ñâ çé ëè èëã æê èê ç â ìä â è ìäãâ âè ãâ ë è

è ãæí

1 (x1 )2 (x2 )

2 = Dc (x1 - x2 ) + [Dc (x1 - x2 )Dc (0) + . . . ] +

+

1 2

2 4!

Ñè ç ê æí éç éà èã âèæã é è ãææ çäãâ ç èã è äæãä èãæ

2 2 4 [72Dc (0)Dc (x1 - x2 ) + 24Dc (x1 - x2 ) + . . . ] + . . .

íâá â æéà ç â
1 Dc (x - y ). i d4 V () d 4

íâá â

æ áçÊ Ü

àãç

àâ

âè æ èãâ ê æè ì ãææ çäãâ ç èã

-i = -i

=0

Ñâ è æáç ã íâá â æéà ç è ãææ èãâç èã è ê â í íâá â æ áç ç ãëâ â ÊÊ
+ +x 1

èëã äãâè ãææ à èãâ éâ èãâ Ä ÎÅ æ

x1

x2

x1

x2

x2 + x1

x2

Ê

Ñààéçèæ èãâ ã Ä ÎÅÊ

×â ç ãéà çíáá èæí èãæ ë ãææ çäãâ ç èã äãçç à ä æáéè èãâç ã åéê à âè àâ çÊ Ñ ãâ á ç è ãéæ èæ âç ãæá èãâ ãâ â ãæáéà è è æéà ç â è áãá âèéá çä ë æ éçé ààí éç â äæ è à ãáäéè èãâçÊ Ñâ è áãá âèéá çä è âè æ à
dp (2 )
4

ãææ çäãâ ç èã ß ëàà ã è Ûè â æ éè âãë ë ê ç â àæ æ áç ë ãâç æ è àã

àããä â â áãæ çä â äæ áã àÊ â èã ãâç æ í æãá ÎÉäãâè ãææ æ âãè æ ààí â æè á éâ èãâ ã

ê æè ì è áãá âèéá ãâç æê èãâ à ë è ç äà Ê ç à è æ â ãæáéà èãâ ã íâá â æéà ç ãæ è ç ë áãæ äæãä æè ç ã è â æ èâ éâ èãâ àÊ ç ë à èãæ è ä æèéæ èê ìä âçãâ ãâè âç ç ãââ èâ â ãáäéè èãâçÊ Ü ë í ãéè ã è ç äæã à á ç èã è â æ èâ éâ èãâ à
Z [J ] = e
iW [J ]

iW [J ] = ln Z [J ],

Î


Ü â ãæ éâ èãâ à

æê èê ç ãâ

èç
2W 1 2Z 1 Z Z =i -2 ... J1 J2 Z i J1 i J2 Z i J1 i J2

1 Z W = , J Z i J

ëæ äæãä æèí ã áãæ Ü

èãâ à è èè â æ àè éâ èãâ

è æáç ì èàí â à ãéè ç ãââ è ä ç â è æ â éâ èãâçÊ Ü àã æè á éâ èãâ à ç èã ãââ èâ æ áç ç ä æè éà æ ì áäà ãæ á â æ ä è ãæíÊ à 1 W [J ] = ln Z [J ] Ä ÎÅ
i

ç àà â æ èâ éâ èãâ à ãæ ãââ è æ â éâ èãâçÊ Ö ìè áäãæè âè ã ç æê èãâ ç æ à è èã è éâ èãâ à Ô
[cl ] = W [J ] - d4 xJ (x)cl (x),

â æ èæ âç ãæá èãâ Ä ÏÅ

ë æ cl = W/ J ëè ãæá æ çãàéèãâ ç J = J (cl )Ê Ñ ë è éâ èãâ à æê èê ç ã è éâ èãâ à [cl ] ë è çã àà ãâ Éä æè à ææ é à æ â éâ èãâç Ä íâá â æ áç ãææ çäãâ â èã çé éâ èãâç â âãè çäàè éä ãâ ç ãââ è ä ç í éèèâ ãâàí ãâ âè æâ à àâ ÊÅ
W J J = - J (x) - cl . c l J c l c l

ÄÅ ãéè â ë ÄÅ

Ü è

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è

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èãâÊ Üëã è æáç â Ä Å æ â à

= -J (x). cl (x)

Öãë ãâ â è æ à èãâç

éâ èãâ à

æê èê ç æãá ãè ç

çã Ä Å â
-1

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.

ãààãëâ ÄÅ

J (x1 ) W 2 =- =- cl (x1 ) cl (x2 ) cl (x2 ) J (x1 ) J (x2 )

Ñ ë âèæã é âãè èãâç ãæ ãââ èâ

æ â éâ èãâ
W [J ] i J (x1 ) . . . i J (x2 )
J =0

Gn (x1 , . . . xn ) = -i

â

ãæ ãâ Éä æè à ææ é à

æ â éâ èãâ
(n) [cl ] cl (x1 ) . . . cl (xn )

n (x1 , . . . xn ) = -i

cl =0

è âè

ãæáéà Ä Å â

ëæèè â â è

ãààãëâ ãæá
-1 2

2 = G

Î


x3 x3 x1 G3 x2 = G2 x1 3 G2 G2 x2

Ê ãââ è è æ Éäãâè æ â éâ èãâ ç åé à èã ãâ Éä æè à ææ é à è æ Éäãâè éâ èãâ ãâêãàéè ëè è æ äæãä èãæç Èë ëè ãâ Éä ç á ãæá á âç è ææ áãæ æê èê æè à ææ é à è ààí â Ê Ê é à ç ãâ æ Ñë èëãÉäãâè æ â ãè ç ç ã Ä Å â éâ èãâçÊ ãæ è æ çèãæ è Øà â
D() exp i

éâ èãâ ç âãè â éè âê æè äæãä èãæÊ Ñ ë ã è â æ à èãâç èë â ãââ è â è æ Éäãâè æ â éâ èãâ è ç äæ ç âè â æ èâ éâ èãâ à ç è ãâçè âè è
dxJ (x)(x) ,

Z [J ] =

S [] + i

ë æ S [] â è èãâÊ Ñâ åé çÉ à çç à àáè ( 0) è í è çè èãâ æí èæ èãæí
S [] (x) i +J =0
=
cl

éâ èãâ à âè æ à ç ãáâ è

Ü æ ãæ
Z [J ] exp

S [cl ] + i

dxJ (x)cl (x)

â ãâ â ç

æãá Ä ÎÅ è è
W [J ] = S [cl ] + dxJ (x)
cl

â

í ãáä æâ ëè Ä ÏÅ ë ã è â
[cl ] = S [cl ].

Ûã ë â ãâ àé è è è ê æè ì ç ã è è ãæí

ææ é à

æ â éâ èãâç æ n (x1 , . . . xn ) è
(n) S [cl ] cl (x1 ) . . . cl (xn )

èê ÄÅ

n (x1 , . . . xn ) = (-i)

ß ã è â è ç ãæáéà è ãæí ãææ çäãâ â ã æéà ç ãæ ãáäà è ê àéãâ ê æè ì ç æ ã è

ãæ è ç ã ç à æ à ç ç â ì áäà êãéç â çÊ Öãè È è ãæáéà Ä Å ç æè ì ç â è âè æ èãâ Ô æ â âÊ â ëè àà â çíáá èæí äæãä æè Î

È éè è æ á âç èæé ãæ âí ê æí éç éà èã è íâá â ãæ ì áäà È è æ â ãéæ çÊ


Ýä èã âãë ë ê ã ç à æ à çÊ Ðãë ê æ âè çäâ äæãä æè ëè è çäâ ÍËÎÈ â ëè çäâÉÍËÎ æáãâ

ãâç æ ç æ è æ æ á âí çÊ Ñâ è Ûè â æ è ãçãâ à ç à çÊ

â æ âèç ã è åé âèéá à è ãæí ãæ è ç ãè æ à ç â ãææ çäãâ â ä æè à ç ë ê Õã à è æ æ à äèãâç â åé æ çÈ â æáãâç ëè è çäâ ÍÊ ß â ãéæ ç ãæè ãâç æ èãâ

Ê

æá ãâ

àç
ç æ íè É ãáäãâ âè à Ê Ü Ô æâ â ÄÅ

ÛäâÉ1/2 ä æè à ç ëè á çç m æ ãæ è à ç ë ààÉ âãëâ ãæá

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Ü

à çè èãâ äæâ äà à

ç èã áãéç

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(i Å Å - m) = 0,

ë æ Å Ä 0 È 1 È 2 È 3 Å æ è ãááéè èãâ æ à èãâ

æ (4 ç 4) á èæ çÊ Ü
{Å } = 2Å .

Ü æ æ ç ê æ à æ äæ ç âè èãâç ãæ Éá èæ çÊ Ñâ Ûè â æ Õã à æ à ãæ ß íà çäâãæç æ ã ä æè éà æ áäãæè â Ê Ü æ ãæ ë éç ß íà æ äæ ç âè èãâ ã Éá èæ ç
Å = 0 ?
Å



Å

0

.

Ä ÍÅ

ë æ 0 = I È i = i È 0 = I È i = - i È i æ è (2 ç 2) Ø éà á èæ çÊ ? ? Ñâ è ç æ äæ ç âè èãâ 5 Éá èæì ç è ãààãëâ ãæá
5 = i 1 2 3 4 = -I 0 0 I .

Ä ÎÅ

æ à çäâãæç
L
,R

=

1 5 2 0 R = 3 4 0

Ä ÏÅ

â è ç âãè èãâç

æ â è èëãÉ ãáäãâ âè ã

2 , L = 0 0



1



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Î


Ñâ áãá âèéá çä è ä æèç âè

éâ èãâ (x) ç
u (p)e-
ipx

ãáäãç â v (p)eip
x

âèã äãçèê

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âæí ÄÅ

çäâãæç u(p) â v (p) ã í è

æ åé èãâ â è

ãààãëâ ãæá ÄÅ

(pÅ Å - m) u (p) = 0 (pÅ Å + m) v (p) = 0

ãâ æ è ãæá ã çäâãæç ç æ äæ ç âè èãâ è çäâãæç æ

æ âè â

æ âè ä æ á èæ î èãâ ã Éá èæ çÈ â â ß íà
p0 + p p0 - p

u =



ÄÅ

v =

ë æ â É ÎÉ ãáäãâ âè çäâãæç æ è æ à çäâãæç è â
u v

è æáâ
L,R

p0 + p - p0 - p 1 5 u 2 1 5 v = 2

ÄÅ

í ìâ çãá åé âèî èãâ ìçÊ Ô è â

=

L,R

Öãæá àî èãâ ãâ èãâç â çéáá èãâ ãê æ â ì ç æ
u u = 2m ?


ç ãààãëâ

,

v v = -2m ?


u u = pÅ Å + m, ?


v v = p Å Å - m ?

Ùé âèî èãâ ã æ à ç çáà æ èã ãâç æ ãê ç à æ ç ëè ê æí áäãæè âè æ â Ê Ñâ ãæ æ èã ê ãææ è æá çè èçè ç â ã í Ø éà äæâ äà è ãááéè èãâ æ à èãâç â ç à æ ç ç ãéà æ äà í ãææ çäãâ â âèÉ ãááéè èãâ æ à èãâç
{ (t, x), (t, x )} = -i (x - x ), ^

ÄÅ

ë æ = 1, 2, 3, 4 â

à áãá âèéá ç
(t, x) = L = i .

Ü æáãâ åé èãâ

à ãä æ èãæ á í
(x) = dp (2 )3 p
0

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ëè è
ipx

àä ã çäâãæç ã íâ
x

æ

^ (p)u (p)e- b
=1,2

^ + d (p)v (p)eip

Î


? (x) = 0 =

dp (2 )3 p

0 =1,2

^ (p)u (p)eipx + d (p)v (p)e- ^ b ? ?

ipx

Ñè ç çí èã è è æãá âèÉ ãááéè èãæç Ä Å è æ èãâ â ç èç í è âèÉ ãááéè èãâ æ à èãâç â è ãààãëâ ãæá

ââ à èãâ ãä æ èãæç ÄÅ í èâ ã

^ (p), ^ (p ) = d (p), d (p ) = (2 )3 2p0 (p - p ) . ^ ^ b b

Ñâ è ç á ë í í èâ æ èâ ãä æ èãæç ãæ ä æè à â âèä æè à ãâ ê ééá çè è ãâ èç ÎÉÈ ÏÉ . . . ä æè à çè è çÊ éç ã î æã âèÉ ãááéè èãæç ãæ âí æ èãâ ãä æ èãæç ãâ èç â àí è Ø éà äæâ äà
^ (p), ^ (p) = 0 ^ (p), ^ (p) |X 0 b b b b

Ü â ÍÉä æè à â ÍÉ âèä æè à çè è ç æ ã è â æãá ê ééá çè è |0 è æ èãâ ãä æ èãæç ^ (p) |0 â d (p) |0 . ^ b

Ä ÌÅ èãæ ÄÜÉãæ æ Ä ÍÅ

à ãä æ èãæç ãâ â è è ãæ âí çè è |X . æãá è ãææ à èãæÅ â çáà æ ë í ç ë ç ãâ ãæ è ç à æ ç
-1 ? 0| T (x1 )(x2 ) |0 = i

íâá â äæãä

ãâç æâ è ä è âè æ à á è ã ãæ è æáãâ à ãâ â ãâçèæé è è ãàãáãæä æ äæ ç âè èãâ çáà æ èã è ç à æ ç Ê Ðãë ê æÈ âãë ë ê èã à ëè âèÉ ãááéèâ âéá æç àà æ ççá â âéá æç ë ãæá è æ ççá â à æ
(a ) = a , (a ) = a {a a } = a a


dp p Å Å + m (2 )4 p2 - m2 + i0

= a a



=0

ca = a c ; ca = a c,

ë æ = 1, . . . nÈ c æ éçé à âéá æçÊ éâ èãâ ã æ ççá â ê æ à ç ç è æ ãæ çé
f (a, a ) = f00 + +
1
2 1

â æ ãæá
n|n...1 a1

f

f1 |0 a
1



1

+

2



1

|

2

a 1 a

+ . . . f1...

f0|1 a 1 +

. . . an a . . . a n

1

Ä ÎÅ àæ íÊ

Ü Ü

ìäæ ççãâ Ä ÎÅ æ áâ éç è âãæá ãæ æâ ãä æ èãæ äæã é èç ë ãä æ èãâ ã æ âè èãâ â âè æ èãâ æ â ç ãààãëç
a = a = , a a ? f = f , f = f ; a a a = a = 0 a a da f = f ; ? da f = f ,

ê éç

ÏÌ


? ë æ f ã ç âãè ä â ãâ a â f âè ãááéè èãâ æ à èãâ ãæ æ âè àç

ã ç âãè

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ãâ a Ê ×â â

{da da } = da da = da da = 0

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da da = da . . . da dan . . . da1 1 n

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â

â Ä ÎÅ
n|n...1

da daf (a, a ) = f1...

ë â

çàí äæãã è
da da exp

ãààãëâ æ à èãâ í ìä â â â ç æ ç ãâ a â a
a A a +
a + i

a



-1 = det A exp A



Ä ÏÅ

×â â ç æãá Ä ÏÅ è è â ãâèæ çè èã è âè æ èãâ ëè éçé à ãáäà ì âéá æç Äç Ä ÅÅ è è æáâ âè ää æç â è âéá æ èãæ â ç ã âèÉ ãááéèâ æ ççá â âéá æç Ä ÏÅÊ Ûáà æ èã è ç ã è ç à æ à ãâ â è ãæáéà ãæ è ÛÉá èæì âãæá à çíá ãà
S (b , d , b, d) = 1 exp -i N SC + i ? ( 0 + 0 ) , ? ? ë æ 0 = 0 È 0 ç çãàéèãâ ã æ 0 0 (x) = (x) ç è dk (2 )3 2k0

æ åé èãâ
ikx

b (k )u (k )e-
=1,2

+
=1,2

d (k )v (k )eik

x

,

æáãâ çãéæ È â
SC (x) = i (2 )
4

dk e-

ikx

çè Ü

íâá â äæãä èãæ ãæ è æáãâ à Ê â âèã ãéâè è ãààãëâ æ à èãâ ãæ è
t,k,

^ k+m k 2 - m 2 + i0

éâ èãâ à á çéæ
? d (x)d (x)
x,

db (t, k )db (t, k )dd (t, k )dd (t, k ) = ãâçè

ãâ èç è âçë æ ãæ è â æ èâ éâ èãâ à ãæ è ãæá çáà æ èã è ç à æ ç
Z ( , ) = N ?
-1

æáãâ æ â éâ èãâç â ãáä è
? d(x)d(x).
x

exp i

? d4 x(L(x) + + ) ?

ÏÍ


Ê Ùé âè î è ãâ ã è ãæ ç ë è è

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Ü é à æçè ë ç âèæã é â åé âèéá à èæã íâ á ç ë â Õ ìë àà åé è ãâç ë æ æ ëæ èè â â è æáç ã Éê èãæ äãè âè à AÅ (x)Ê Ü åé è ãâ â è æáç ã è à AÅ È
Å F
Å

=0

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àã à U (1) èæ âç ãæá è ãâ

AÅ = AÅ + Å (x).

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U (1) âê æ â ã Ù
Å

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ie

â
, AÅ AÅ + Å

1 L = - FÅ F 4

?^ + (iD - m), e

ÄÅ

ë æ DÅ Ñâ è âãâÉ à ßæ ç ãæèàí è è æá â äã âè xÅ Ê Ñë æê èê

ãê æ âè æ ê è ê Ê Ûè â æ Õã à ë à âãè ãâàí ë è è à â U (1) â ÛÝÄÖÅ æãéäçÈ S U (2) ãæ è à èæãë â S U (3) ãæ è âãè ç éçç â æ â æ çèæé èéæ â äæãä æè ç ã Ô æãéä ã éâ è æí á èæ ç è S U (N ) æãéäÊ S U (N ) ç âè åé à èã Í (det U = 1)Ê à á âèç ã è æãéä U (x) á í ë âè è è ãæí èã âè Ô æ â â

= Å - ieAÅ ç è

æãéä éè àçã ë è çèæãâ ãæ çÊ æãéäç éè âèæã é U (U U = 1) ë è ä â ãâ è á Éçä ãê æ âè ÄÅ

âê æ âè éâ æ S U (N ) èæ âç ãæá è ãâ è
?^ L = (iD - m)

ç ãéà èæ âç ãæá ç
DÅ (DÅ )U = U DÅ , Å - ig AU U = U (Å - ig AÅ ) . Å

æãá è ç ãâ

èç è

ãààãë â èæ âç ãæá è ãâ ãæá ãæ è
AU = U AÅ U Å
-1

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.

i + U Å U g

-1

ÄÅ é âê æ âè ãä æ èãæ ÄÅ

Ü

â è è æá ãæ âãâÉ

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Å

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1 LA = - T r(FÅ F Å ). 2

Ñâ ÛÕ àà

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â âè

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AÅ (x) = Aa (x)ta , Å

ÏÎ


ë

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a

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â æ èãæç

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[ta , ta ] = f
Öãæá à î è ãâ ãâ è ãâç ãâ á í ããç

ab c c

t , T r(ta ) = 0

ç
ab

1 T r(ta tb ) = 2
Ü âè Ô æâ â ãæ è é àè çè

ÄÅ

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aÅ

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ë æè à çèæ â è è âçãæ ç

,

ÄÅ

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ab c

Ab Ac . Å
a (x)ta

Ä ÌÅ ÊÜ âè

Ü

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â à Aa è Å

ìäæ çç â è çè ãæá
ab c

ãæá U (x) = eig

èæ âç ãæá è ãâ ãæ è

Aa (A )a = Aa + Å a + g f Å Å Å
ë æè ãê æ âè æê èê â ãáäãâ âèç ç

a Ab c = Aa + DÅc c , Å Å

Ä ÍÅ

D
Ø æè ã è ÛÕ ç æ

ac Å

= Å ac + g f

ab c

Ab . Å
ç â Ä ÎÅ ãâ S UC (3) æãéäÊ Ñè ç àà

â çèæãâ

âè æ è ãâç ç Ô æâ

åé âèéá æãáã íâ á ç ÄÙ

Åëè è
Å a

L
ë

QC D

1 = - Ga G 4 Å

+ qi i(DÅ )ij iÅ - mij qj , ? j

×â à çç à à ê à ää æ ë âãë è èâ

æ q = 1, 2, 3È (DÅ )ij = Å ij - ig (ta )ij Aa Ê Å à â â âãâÉ ç æ âè â è è íè èè â è ãæ ç æ åé âè î è ãæí çè æ çã æ ÊÜ

à â è ãæ ç àãã ê æí à æ çãâ â à AÅ ë åé ê ç â âÙ

âèÊ Ðãë ê æ äæã à áç àæ íë æ ë á

ãáäãâ âèç éè ãâàí Î ã è Ô æâ â

æ ä íç à äæã à á ç á â

ãá ãææ çäãâ â èã èëã äãà æ î è ãâç ã ä íç ç ä ãèãâÊ Ü ç æ è ãæá ã è
Å

- AÅ DÅ1 A = AÅ (2g

- Å ) A

ãæ â è ã ç âãè

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k 2 gÅ - kÅ k
êè äæãä âê æç ãæáÊ çë ë íÊ ÏÏ ê ç â â ç ç ã ç à æ â æ â éâ è ãâÈ ç è äæãä æá ãâ à çè âê æç ã è âãè èè æ âè à ãä æ èãæÈ è èãæ â çé èãæÊ ÛãÈ æ ãâ â


Ü

ë í ãéè ã è ç äæã à á ç çíçè áçÊ Ü æ çãâ è

ãææ è åé âè î è ãâ äæã éæ àà è éâ è ãâ à âè æ à

è

åé âè î è ãâ

ã ãâçèæ â

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Å,x

1a dx - FÅ F 4
æ

aÅ

Ä ÏÅ é ãâ éæ è ãâç â ãâàí

ã ç âãè

ê

æ çãâ é

à æ çéàè ç è é é

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â â è âéá æ ã èã

(A )a Å
è

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æ ãâàí í è æãá çé âèã è àç è

èæ âç ãæá è ãâÈ à ãâ éæ è ãâÊ çè

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è ãâ ç

âê æ âèÊ ÛãÈ ãâ ç ãéà ä æ ãæá è â àæ ä

éâ è ãâ à âè æ è ãâ è

ãâ æ äæ ç âè è ê ß è ãéè ã â

ãààãë â
F gh

DA (F (A)) det
ë è æ

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( A)

,
è æá â âè det

Ä
F gh

Å ç

DA =
é

Å,x

dAÅ (x)
é é

â

â

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âê æ â ã è çã è

éâ è ãâ à á çéæ Ê Ü äæãäãç í

É éâ è ãâ ì ç
êÉØãäãêÊ Ô è éç

ã F (A) = 0Ê áâ áèã è åé à èã éâ èí

ß æ á â ç ãæèàí è âèæã é çé

éâ è ãâ à âè æ à è

1=
ë æ D =
x

D Ç (F (A )) det
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[A]

F

,

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d(x)Ê Ûé çè èéè â Ä Å âèã è
a )Å

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èæ âç ãæá è ãâ (A

(x)

Aa Å

(x) ãâ DAeiS

D
Ü

Ç (F (A)) Ç det

F

.
é

Ä

Å

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F

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ä â ãâ È â è æ ãæ è èãæ ç â àé æãää ãéèÊ âèã è

âè æ è ãâ ãê æ è âãæá à î è ãâ èãæ ã è

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ãéèÊ Ü ç â â è â è æ ãæ ãéà áâ

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-

êÉØãäãê á è ã ãéà æ â âè æ à
2

ààéçèæ è

ì áäà ë è éçé à âè æ àçÊ Ô è éç ãâç

I=

dx1 dx2 e-

x 2 - x 2 + 2x 1 x 1 2

=

dx1 dx2 e-

xi Aij x

j

Ä

Å

ë æ Aij = ß â ã ê ãéçàí ç è èá
-

â çé çè èéè ãâ ã ê æ
-

-1
2

1 -1

1

â

det A = 0.
à çë è
2

I=c

dx

dy e

-x

ë â x = x 1 - x2 , y = x 1 + x Ï


Ü

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Ï


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1 3 1 3

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u YR q YL d YR q YL

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W

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2+

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1 2

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3 3 Üæ (YL ) - Üæ (YR ) =

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F M

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L = Å Å - Å2 - ( )2

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V () = Å2 + ( )2

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1 = (v + h(x))e- 2
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2

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ç æ ç è çíçè á ã á çç ê ç à æ à h ë è á çç m2 = 2v h ç à æ à (x)Ê Ü à (x) ç àà è Ö á éÉ ãà çèãâ ãè â èãæç éè è â è ãæí ç æ í æ ê ì çè è

ãà çèãâ è ãæ áÊ Ñ è è ãæí ç âê æ âè éâ æ ééá ç âê æ âè éâ æ èæ âç ãæá è ãâç â æ è (m - ) á ççà çç Ö á éÉ ãà çèãâ ãçãâçÊ Ô æâ â

1 L = Å Å - V () 2

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tA 0 = 0 ij j

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âê æ â ãâ è ãâ ÄÍÏÎÅ è è

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2V (i = 0 )tA 0 = 0. i ij j k i

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2V (i = 0 ) = 0. i k i

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ÄÍÏ Å

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(x) (x) = exp ig2 i ti (x),

ÄÍÏ Å

Ï


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1 = 2 0 v + h(x)

ÄÍ ÌÅ

Ü ãè

ç âãâî æã ê ééá ìä è è ãâ ê àé È â ç ë âãë è à ç èã ê ãà è ãâ èæí ã è çíçè áÊ çäãâè â ãéç çíáá èæí æ â è çé çè èéè ãâ ã ÄÍ ÌÅ âèã è Ô æ â â ãê æ âè æ ê è ê ÄÍÏ Å ãâ èç è ãààãë â Ô æ â â â è æáç ã à ç Á WÅ , AÅ , ZÅ âèæã é ãæ à çíáá è æ çé ÄÍÏ Å ë è è
1 1 L = (Å h)2 - (2v 2 )h2 - v h3 - h4 + 2 2 4
2 + +MW WÅ W Å-

ÄÍ ÍÅ

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2 MH = 2v 2

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M
W

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1 = g2 v 2

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W

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W

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1 - g2 sin 2

W

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1

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g2 sin
W = -g1 YL cos W

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Y
H

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T v
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1 1 T3 + YH = 2 2 1 0 0 -1

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H

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YH = +1.

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â éèæ àÈ â è

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S UL (2) ç UY (1) Uem (1) 1 T3 + YH = QH = 0, YH = +1. 2

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W

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M
W

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W

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I3 + Y =Q 2


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1i - WÅ W 4

1 - BÅ B 4

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? QL dR


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L
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ÄÍ Å

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u

Ri

u = (UR )ij u

Rj

R = (UR )

R

UR UR = 1,

UL UL = 1.

Ü

á èæ ç U æ ãç â çé è è
u u (UL ) Mu UR = 0 0 m
u

0 m 0
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L +mi uL i u u?
R i Y uk aw a

(UL ) M UR = 0 0



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L i i + mi ? L R i i + mi ? R L i

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Ç 1+

h v

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ß ãâç æ ãâàí æ à á çç ä æ á è æç m m Ê Ûã è é ë Ô æâ â èæ ãâ àî èãâ ã è á çç á èæ ç ãâè âç á çç ç ã æáãâç â è æ âè æ èãâç ëè è Ð ç ãçãâ
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h i ? ? = - mi di di + mu ui ui + mi i i Ç 1 + ? d v

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â çàí ç æáãâ ä íç ç éææ âèç ê è è æ è éâè æí

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d

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ãâè âç Ï æ à ä æ á è æç êãà èãâ ë â è ç ç âç Ñâ è ç à èéæ ç ë ã âãè çä à à èéæ ãéæç è è Öãë ë ê àà ä æèç ã ã ä íç ç à ç â éâè æí

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ç çÊ Ûã è ÓÕ 3 ç 3 á èæì â Í ãáäà ì ä ç Ê Ü äæ ç â ã è ç ä ç à èã Ø ç äæ èãâ ã è Ûè â æ Õã à ëè è æ â æ èãâçÊ ç éçç ä íç ç ã ÓÕ á èæìÊ Ü êãæ ä íç ç ç ãê æ â Û ããàÊ è à èæãë ä æè ã è ÛÕ Ô æ â â ìäæ çç â è æáç é
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L
Gaug e

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Å

+ = - 1 FÅ F Å - 1 ZÅ Z Å - 1 WÅ W -Å + 4 4 2 + + - +e WÅ W -Å A + h.c. + WÅ W F Å + c + + - +e sW WÅ W -Å Z + h.c. + WÅ W Z Å - W - + - + -e2 12 (WÅ W - W WÅ )W -Å W + + h.c. - 4sW 2 + + - e (WÅ A - W AÅ )(W -Å A - W - AÅ )- 4 2c + + - e W (WÅ Z - W ZÅ )(W -Å Z - W - Z Å )- 4 s2 W 2 c + - - e sW (WÅ A - W AÅ )(W +Å Z - W - Z Å ) + h.c. 2W = sin W È è é ãæ ä ãèãâ à á í è â 2

ÄÍ ÏÅ

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L
FG

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CC

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L
H 2 M2 Mh M2 1 = 2 ( Å h)(Å h) + 2h h2 - 2v h3 - h h4 + 8v 2 2 1 2 2 + + MW WÅ W -Å + 2 MZ ZÅ Z Å 1 + h - v

Ô æâ

â ãæ è

Ð

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f

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ÄÍ Å

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Ï

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â ã è â ëè è àä ã è âè â g e ÄÍ ÏÅ â LF G ÄÍ ÏÅ LH ÄÎÍÏÅ ê è äæãä èãæç ãæ â ãæ è Ð ç ãçãâ í âê æèâ
Ï

Ü ãáäà è à çè ã è íâá â æéà ç ãæ âè æ èãâ ê æè ì ç â ãéâ â á âí ãã ç â àçè ìäà èàíÈ ãæ ì áäà â è áã à à ç ãæ è ÛÕ éç â ãáäéè æ ã ç à ãáäÐ ØÈ æ È à Ð ØÈ Õ æ ä È ß î æ È Û æä È è Ê


Ü äæãä èãæ ãæ è á ççê é ãçãâç æ åéæ ç çä à æ Ê Ü äæãä èãæç ãæ á ççê ê èãæ à ç ãààãë æ èàí æãá è Ô æ â â í âê æèâ è åé æ è ãæá
V
Å

2g

Å

- Å + gÅ M

2 V

V



ÄÍ Å ãààãëâ çèæé èéæ â è ÄÍ Å

Ü â è äæãä éâè æí é

èãæ ãæ á ççê ê èãæ
DÅ (p) =

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Å

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2 Ðãë ê æÈ è è æá pÅ p /MV ç éàèæ êãà è êãæÊ Ü ç à èã è äæã à á ã äæãêâ æ âãæá àî àèí ã è ÛÕÊ Üã æ çãàê è äæã à á ãâ â éç âãè æ é â ë è éàèæ êãà è êãæ ç ç âèÊ Ñè ç ãâê â âè èã ìäæ çç è Ð ç à ç ãààãëç

-i g 2 - M2 p V

-

pÅ p 2 MV

(x) =

(v + h + izg )/ 2

-iw

+ g

ÄÍ Å

- Á â ãâè âç wg È ë æ âãè èãâç wg â zg ãæ è Ü ãê æ âè æê èê â ìäæ çç â è æá ã è e â sin W = sW è ç è ãæá

ãà çèãâ ãçãâç æ âèæã é Ê Á à ç WÅ È ZÅ â AÅ È â ãâçè âèç

Ûáäà ã ÛÕ

à

e(1 - 2s2 ) e W+ W Z - i eA -i Å Å Å Å - i 2sW cW 2s W DÅ = e Z e W- Å + i 2s c -i Å Å WW 2sW

ÄÍ Å çÉ é ä æè

æ á âäéà èãâ à

ç èã è

ãààãëâ Ô æ â
=

â ãæ è

Ð

L = (DÅ ) (DÅ ) - - v 2 /2

2

1 2 + = 2 ( Å h)(Å h) + MW WÅ W Å- (1 + h/v )2 + 2 -Mh h2 - v h3 - h4 - 4 + - -MW Å wg W Å- - MW Å wg W Å+ - MZ

1 M 2 Z Z Å (1 + h/v )2 - 2 ZÅ
Å zg

Z Å+

ÄÍ ÌÅ
+

+ - +Å wg Å wg + 1 Å zg Å zg - 2 -+ -+ -h(h + 2v ) wg wg + zg /2 - wg wg + zg /2

2

+áãæ é â åé

æ è è æáç âêãàêâ w á çâ ãà çèãâ à çÊ áìâ ã æ áãê è

Á g

â zg â à
zg

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Ü æçè èëã àâ ç â ÄÍ ÌÅ æ ì ãéæè àâ âêãàê ç á ççà çç ç à æ è æáç ç æ â âè æ èãâç ã è èã è è æ àâ â ÄÍ ÌÅ ç æ â Z à ç æ çä èê àíÊ Ûé áìâ ê í ããçâ äæãä æ é

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ÛÕ â è Á ãçãâç wg éè ë ëãéà Á è wg â æãá è Ô

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GF

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1 + Å WÅ - MW w

W

- MW w

-

1 (Å Z Å - MZ zg )2 2

ÄÍ ÍÅ â ãæ W
Á Å

è

áìâ è æáç æ â à ãéèÊ Ü â è åé æ è ä æè ã è â ZÅ à ç ë ê ç è æ äæãä èãæç ç
1 - 4 ZÅ Z
+ - 1 WÅ W 2 -Å 2 + 1 MZ Z Z - 1 (Å Z Å )2 - 2 2 2 + + MW W W - - 1 (Å W +Å ) ( W Å

ÛÕ Ô æ â

-

),

ÄÍ ÎÅ

ë æ è æáç ëè
ZÅ = Å Z - ZÅ , W
Á Å Á = Å W - W Á Å

ãá æãá è ãæá ÄÍ ÎÅ ãâ

â è ä æè ã ÛÕ Ô æ â â ç è ë ç â è éâè æíÊ Ñâê æèâ è èç è äæãä èãæ ã á ççê é à â çã àà R é
D
Å

åé æ è ÄÍ ÏÅ é =0 é =1 è â ãè ää æ â áèã â ãààãëâ è é ëæè ãçè à cA

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-i g 2 k - MV
2

Å

- (1 - )

kÅ k 2 k - MV
2

ë æ MV ç MW ãæ MZ È ç è é ä æ á è æÊ Ü éâè æí é ç æ çèãæ í è è ãæá à àáè Ê Ñâ è Ô â é ë è è èæ âçê æç çèæé èéæ (gÅ - kÅ k /k2 )È ë à â è Ãè Ðãã èÉ íâá â è äæãä èãæ ãâè âç ãâàí ä æè ëè gÅ è âçãæÊ Ðãë ê æÈ ãâ ç ãéà çèæ çç è èç é ç ç ë àà ç â è â æ R é ãâ ç ãéà è âèã ãéâè ã êÉØãäãê ãçè à çÊ Ü ç ç ãâ ëè è àä ã êÉØãäãê éâ èãâ à âè æ à ë ë ê ç æ àæ íÊ ßè ãéè ãâ âèã è àç è Á é ìâ è æáç ÄÍ ÍÅ â ãçè à ç ää æ cW È cZ È cA ãææ çäãâ âè èëã è ìâ -(Å AÅ )2 /2 ãæ è ä ãèãâ à Ê Ñâ ãâèæ çè èã äéæ à èæã íâ á ç ä ãèãâ ãçè à ç ã âãè âè æ è â â ãáèè È â è ÛÕ è ä ãèãâ Á ç âãâèæê à âè æ èãâç ëè è ãçè cÁ â ãà çèãâ wg à çÊ W Øæãä èãæç ã àà è ãçè à ç ê è ãààãëâ ãæá
Dc =
2 2 ë æ MV ç åé à èã MZ ãæ cZ íâá â æéà ç ãæ âè æ èãâ ê ç æ è æ àãâ â â ãéâ ÛãÈ àà è äæãä èãæç ãæ éàèæ êãà è êãæÈ â è æ

i , 2 p - MV
2

2 È MW ãæ cW â Ì ãæ cA ãçè à çÊ Ä ãáäà è ç è ã àà æè ì ç ã ãà çèãâ â ãçè à ç â è ÛÕ â R é â á âèãâ ãáäéè æ ã ç à ãáäÐ ØÊÅ á ççê é È ãà çèãâ â ãçè à ç ê ãã ãæ è ÛÕ ç è æ âãæá àî à åé âèéá à è ãæíÊ

Í


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Ü

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5

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GF = 1.166 378 7(6) ç 10-

Þ-2 .

Ü

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ÛÕ í

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æ á ç ãëâ â è

Å

-

Å W
-

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-

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Å

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Û â è áéãâ á çç mÅ MW ãâ â â à è è W É ãçãâ áãá âèéá â è äæãä èãæÈ â ãâ áá è àí èç è ãààãë â æ à è ãâ
2 g2 GF = . 2 8MW 2

ÄÍ Å Ð ç á â çá â ÄÍ Å

çë ê ç â è ß ãçãâ á çç ç ã è â â ÛÕ é èã è äæãäãæè ãâ à èã è Ð ç à ê ééá ìä è è ãâ ê àé v
M
2 W

12 = g2 v 2 . 4

æãá è ç èëã æ à è ãâç ë ã è â
v= 1 = 246.22 2GF

Þ.

ÄÍ Å

ÜÐç àãâ ãæ è âê æ â äæ Öãë æãá MZ cW ãâ

ìä è è Ð çá â äà È g2 ç ÄÍ Å éç â èç

à

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íè æá ãâçè âè GF âèæã é ê àé v ç è æá â â çá ää æ è è ç äã âè ãâ â ç è äãë æ ã é çá é ãéäà â â æ à è ãâç ÄÍ Å â ÄÍ ÅÊ ä â â á â MW = æ à è ãâ ÄÍ Å g1 cW = g2 sW = e â
M
2 W

1-

2 MW 2 MZ

em A2 = 0 2GF

ÄÍ Å àãë â æ í

ë æ em = e2 /4 ç è

éçé à à èæãá â è â çèæé èéæ ãâçè âèÊ Ü
em = (137.035 999 074(44))-
1

ãààãëç á âàí æãá è à èæãâ âãá àãéç á â è á çéæ á âèçÊ ×â äæ ç àí æãá àãë â æ í ìä æ á âè à æ çéàèç
A0 = 37.2804

èç A0 ê æí ÄÍ Å

Þ.

Î


æãá è

ãè æ

â ãâ

èç A

0

æãá á çéæ

ê àé ç ã è

á çç ç ã ß â Þ Þ

ãçãâç ÄÍ ÌÅ

M
çé çè èéè â ÄÍ ÌÅ âèã à è

W Z

= 80.385
ãè

M

= 91.1876 Á0.0021
ÄÍ Å Þ. æ â ç

Á0.015

âç

A0 = 37.95
Þ àé ç ÄÍ Å â èëã âéá æç ë àà ÄÍ ÍÅ æ æ è æ àãç Ê Ü æ ãæ æ ãææ è ãâç èã è áäæãê éæè æÊ ãéâè äæãä æàí è

ÄÍ ÍÅ ãéè ÍÊ ÁÊ Ñ ãâ è Åè ÛÕ æ á âè ç âèã èë â ç

æ à è ãâ ÄÍ

C C Ä L L
ë

æ

éææ âèÅ â N C Äâ éèæ à éææ âèÅ âè æ è ãâç ã è äæ ê ãéç ç è ãâÈ êè ãààãë â çèæé èéæ Äç
W ij

æá ãâçÈ ç è

â ç ãëâ â è
CC

ÄÍÍ ÅÅ ÄÍ ÎÅ â æ è ãâçÈ

=

g2 22
f

ij

Vij ui Å (1 - 5 )dj = e ? 2 2s
W f

Vij ui Å (1 - 5 )dj , ?

NC

=e

? Qf f Å f AÅ + 4s e c W

? f Å (vf - af 5 )f Z Å ,
âéá æ ã è ÛÕ æá ãâ

æ Vij ç è

ÓÕ á èæ ì à á âèçÈ i, j = 1, 2, 3

v ui = 1 - 8 s 2 , 3W
æè Ü ê èãæ â

aui = 1;

vdi = -1 + 4 s2 , adi = -1; 3W v = 1,
è èæ àêà

v = -1 + 4s2 , a = -1; W
íâá â æéà ç ãààãë â

a = 1.
à ê à ãæáéà ç ãæ è

ì àÉê èãæ ãéäà â ãâçè âèçÊ æãá ÄÍ ÍÅ ààãë èã àãë è èæ

Wâ

Z ãçãâ ä æè à

í ë è ç ç ç ãëâ

u W

f

_ df

? (W uf df ) = |Vij |2 N

c

M, W 12s2 W

ÄÍ ÏÅ

f Z _ f
? (Z f f ) = N
c

MZ [v 2 + a2 ], f 12 sin2 (2W ) f

ÄÍ Å

ë

æ âéá æ ã ãàãæç Nc = 3 ãæ åé æ çÈ â Nc = 1 ãæ à äèãâçÊ Ü èãè à W â Z ãçãâç ë è ç æ ã è â í çéáá â éä àà è æá ãâç êè ç æ è ãâç ãæ W
q

ä æè à ë è ç ÄÍ ÏÅ ç àí

â ÄÍ ÅÊ Û â C C ãæ àà ÛÕ ã è â æ â â

í áã

ç á (V - A) çèæé èéæ ãâ â ê æí

2 æ(W q q ) = 2Nc Ç 1 = 3 ? 9 1 =3 æ(W ) = 3 Ç 1 9
Ï

ÄÍ

Å


Õ çéæ æ çéàè Ù Ü è

æ(W ) = (10.80 Á 0.09)% ç â æ(W ) =

æ çãâ

à

æ á âè ë è ç áäà èæ

àêà ÄÍ Å

ãææ è ãâç èã è íë è ã è âéá æ ã à

æ â â æ è ã

Z É ãçãâ èã â éèæ âãçÈ è

1 = (11.11)%. 9 ? æ(W q q ) áäæãê è
âê ç à

æ á âèÊ í áã È ààãëç èã á çéæ

è (m < MZ /2) â éèæ âãç ãáä æ â


ëè è èæ à ê à ãæáéà ã è â

Z inv

= Z t - Zad - Z+ to h
æãá ÄÍ Å

-

ÄÍ

Å


ìä æ á âè ààí ë ààÉ âãëâ
tot

Z inv

= Z = N Ç ?
æãá è ç

MZ (1 + 1). 12 sin2 (2W )
äãè

ÄÍ ãæ â èã è

Å

ç á çéæ â æ ãæáéà

Z É ãçãâ æ çãâ â

æ èÉß


Ê èã í ë è ç èã æãâç â

Z tot

= 2.4952 Á 0.0023 GeV
à äèãâç æ á çéæ æ èàí â e+ e- ãàà ç ãâç ÄÔ ØÍÅ

æ


ç æ çéàè
Z inv

Z had

= 1744.4 Á 2.0 M eV = 83.984 Á 0.086 M eV .

Z + -

ãè â

æãá ÄÍ Å ç


Üç ë ã ÊÍÍÊ ×â â á ê ç ãæ N


Z inv

= 0.4990 Á 0.0015 GeV . N = 2.984 Á 0.008

ç àãç èã è

âéá æ ã

âãëâ â éèæ âãçÊ Ü âè ÛÕ â ã ç æê èè æ èã
Z inv

è çè ç â áäãæè âè ãâ æá è ãâ â ìä æ á âèç ç ç ãëâ â è
Z e+ e-

æá ãâ Ï

â æ è ãâç ççéá

è ç è çè í àãã â

/

Ê Ñâ è

ÛÕ è

æ è ã ãààãëç ÄÍ Å

æãá ÄÍ Å â ÄÍ Å

Ü

á çéæ

ÄÍ Å ãæ N = 3 â s æá ãâç ãá

ê àé Ä Ê Î Á ÌÊÌÍ Å ç â â
2 W

Z v 2N in = Z 1 + (1 - 4s2 )2 e+ e- W

æ á âè ë è

Ê

Ì ãá â

æãá è

ãæáéà ÛÕ

= 0.2324Ê

â áäãæè âè ä æè ã â ãæá è ãâ æãá e+ e- ââ

ãéè è

ß âè æ è ãâç â ãéäà â ç ã è æá ãâ ä æçÊ Ü

à è ãâ èã

æá ãâÉ âè

æ âè à æãçç


had [nb]

2

30

20

ALEPH DELPHI L3 OPAL
average measurements, error bars increased by factor 10

3 4

10

0

86

88

90

92

94

Ecm [GeV]
Ê ÍÍ Öâé æãá Ô Ø Ú ä

e+ e-
ç è ãâ ãáäéè æãá è

- f + f

e+ e-
æá

- f Z f

Ê ÍÎ e+ e-

æ áç ç ãëâ â

æá ãâ á çç ç ãáä æ â èã è

Ê ÄÍÎÅ ç âè æ ã á çç â æ í s

ë ààÉ âãëâ ãæá â à è â

2 d = 2s NC {(1 + cos2 )Ç 4 d cos
2 2 Ç Q2 - 21 ve vf Qf + 2 (a2 + ve )(a2 + vf ) + e f f

ÄÍ ÌÅ

+2 cos [-21 ae af Qf + 42 ae af ve vf ]}
ë æ

1 = 2 =
Ü æãçç ç è ãâ ã è â è â

1 16s2 c W
2 W

1 256s2 c W

2 s(s - MZ ) , 2 22 (s - MZ )2 + MZ Z

2 W

æãá è

æ âè à ãæá ÄÍ ÌÅ ç â Ê ÍÏÊ Ñâ è æ ãâ æ ë ààÉ âãëâ Ù

s2 . 2 2 (s - MZ )2 + MZ 2 Z

ãã

æ á âè ë è è

ìä æ á âè à

ç ç ãëâ â

àãë Z É ãçãâ äãà ãâ â â à è ãæáéà
C

Z É ãçãâ ì

æ á â æ çèãæ è

d 2 2 4 2 2 = Qf NC (1 + cos2 ), = QN d cos 2s 3

ÄÍ ÍÅ


Cross-section (pb)

10 5

Z
10 4

e+e-hadrons

10 3

10 2

CESR DORIS

PEP PETRA TRISTAN

WW
SLC LEP I LEP II
120 140 160 180 80 100

+

-

KEKB PEP-II

10 0 20 40 60

200

220

Centre-of-mass energy (GeV)

Ê ÍÏ âèæã ì æãá è ãæáéà ÄÍ ÌÅ ãâ â è âéá æ ã æ

æãá Ô Ø Ú ä çíáá èæ ç ë ëæ ê â á çéæ ä ãèãâ ì Èâ â

ä æè éà æÈ è Ô ØÍ â ÛÔ Ê Ñâ è ä æè ç çá àà â â

ãâ àãç èã è ãæë æ É

Z ãçãâ äãà è

â à è Ê Ü â è

çíáá èæí ç

AF B
ë æ
1

N F - NB , NF + NB
0

NF =
0

d(cos )
êçè

d , d cos

NB =
-1

d(cos )

d . d cos

Û áäà

âè æ è ãâ ã ÄÍ ÌÅ

ãààãë â æ çéàè

3 AF B = Ae Ç Af , 2
Õ çéæ á âèç ã æ âè ê àé ãæ è æá ãâç f íë èç ààãë èã ìèæ è è âà â ã

Ae,f =

2ae,f ve,f . 2 a2,f + ve,f e
â çíáá èæ ç ãæ è äæ ç â vf Ê Ü â ãâ â

2 äæãäãæè ãâ à èã (a2 + vf ) f

âèç a

f

ß â æ áìâ

æãá è
lept ef f

æ à è ãâ âêãàê â è

à äèãâ ãéäà â ç

sin 2
Ú çéàèç ã è Ñâ è ã Ö Ä

1 vl = (1 - ). 4 al
Ê çã è â æá ãâç èã è èãä åé æ ç íè ß ßãæ â êí âãé èã æãéä ç â í èã W æ à Z É ãçãâ é èã

á çéæ á âèç æ ç ãëâ â êãæ æ âã 1 2 íç ã

ÛÕ è æ

â â â éèæ à éææ âèçÅÊ Ü


q t

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ÊÍ

Üãä åé æ èã è

í ç çç âè à â è èãä íç é

ãâàí áã

bÉåé æ

ÓÕ á ì â á èæ ì çèæé èéæ ë æ

Vtb 1 Vts , Vtd .
æ è èæ à ê à ãáäéè è ãâ à ç èã


ë æ ãâ â à èç è

top

GF Mt3 = 8 2

M2 1- W Mt2

2

1+2

2 MW Mt2

,

ÄÍ ÎÅ

bÉåé æ á ççÊ
LO

(t bW )
Ü èãäÉåé æ à íç Û â è ãæ èá
top

1.53
top

Þ, (t bW ) ãéè 5 Ç 10-
QC D 25

c or r

= 1.42

Þ âè

= 1/

ç

ç ë

ç áé çá àà æ è
-24

èíä à è á ã çèæãâ

ãéâ çè è ç ãæá è ãâ èè

æãâ î è ãâÊ Ü æ ãæ È è æ èãä åé æ á çç ç à æ æ è èà

æ âã

1/QC D 3 Ç 10

ç Ê Ü

èãä åé æ

æãâç ãâè â â è è æá m2 /m2 Ê t W ãçãâç æ éè è

èãä åé æ Ê ãæ â èã è ãá â è íè

W

ãçãâ â bÉåé æ á çç ç ãâ â éç è âZ

ß åé ê à â è ãæ á èã àãâ èé â à äãà æ î è ãâ ã è âè ÛÕ ää æç í æá

â èãä ë è éä èã è ìè æâ à W
0

ß åé ê à â è ãæ á áäà èé ç ë è ãçãâç èâ è ãà çèãâ

eW,Z L

p /MW,Z Ê

àãâ èé â à ãáäãâ âè

ãçãâç wg , zg Ê Ûã ãâ â ãáäéè ç áäàí è

q t wg
ëè è ãààãë â

é ë ê æè ì Mt /(v 2)Ê Ü â ãâ
ãæáéà

áá

è àí ã è âç ãæ è

èãä ë è è

2 = 32
ë Ü ç ì èàí åé à èã è à èæãë ÛÕÊ Ü æ

M v

t

2

Ç Mt =

GF Mt3 , 8 2
ß æá ãâ æç

æçè è æá â ÄÍ ÎÅ ç ìä è Ê æ èæ á Åã è â çá ã ç â à èãä äæã é è ãâ è æãâ ãàà

ç â à èãä åé æ äæã é è ãâ ç âãè æ ãâ æá è ãâ ã è

çèæé èéæ ã è æ íè

èíä à ê æèé à èí Ä

Q2 W

W É ãçãâ âêãàê


q - q' W

t - b
sÉ
ââ àÈ

Q2 > 0, W

q W b

q'
tÉ
ââ àÈ

Q2 < 0, W

t

g t b
åé æè tÉ ë à tÉ â ãæ æ èã ââ à â sÉ

t W
+W É ççã è È
â çáç ê æâ ãáä æ
2 Q2 MW . W

ââ à äæã é è ãâ á

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+- + -

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W+ + W
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W+ Z W
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W

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e+ e- W + W

Ü

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W W /Z m1 m2 m3

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,Z


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(p1 p2 p3 ) = g
W

[(p1 - p2 )m3 g
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m1 m2

+ (p3 - p1 )m2 g
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m1 m3

+ (p2 - p3 )m1 g

m2 m3

],
ÊÍ Ê

æ g = eÈ gZ = g2 c Ü åé æè é

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WW (pb)

30

LEP

20

10
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0

16 0

18 0

200

s (GeV)

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ÍÊ Ü à èæãë ÛÕ íãâ è à â

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w = 4 - L - 3/2L
e


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ê æ âè æ áç ëè èëã ìè æâ à ä ãèãâ àâ çÈ È ëè èëã ìè æâ à à èæãâ àâ çÈ è à èæãâ ç à É â èëã à èæãâ ìè æâ à àâ çÈ è à èæãâÉä ãèãâ áà æ ãæ éç è â è ãê æ âè

Ê ê æè ì Ñè ç ãâê â âè èã ãâç æ æ âãæá à î èãâ äæã éæ â àæ í éâ èãâ à âè æ à ääæã Ê Ü â æ èâ éâ èãâ à âè æ à â Ù é ç êâ í
Z [J, , ] = ?

? ?/ D(A) exp i d4 x(iD - m) + ieA + JÅ AÅ
1 ? + + - 4 FÅ F ? Å

+

1 2

d4 x(Å AÅ )2

ÄÍ ÏÅ

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iD (x1 , x2 ) =

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æê èê ç ãâ J â

? D(A)AÅ (x1 )AÅ (x2 ) exp i d4 x[- 1 FÅ F 4
Å

íçãâÉÛ ëâ æ åé èãâ ãæ è ä ãèãâ äæãä èãæ ç ã è â ç ç åé â ã è âê æ â ã è á çéæ ã éâ èãâ à âè æ à ëè æ çä è èã è ç è AÅ (x) AÅ (x) + Å (x)Ê Ü åé èãâ ãæ è âê æç äæãä èãæ è ç è æ è éæ æ èæ âç ãæá èãâ è ãààãëâ ãæá -1 D (k ) = (D0 )-1 + ÄÍ Å ãæ æ ä ààí

?/ ?/ + (i - m) + eA ]

ÄÍ Å

(

)-1= (

) -1+

,

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(-ie)2 (/ - /) + m pk /+m p d4 p Üæ 2 4 2 + i0 (p - k )2 - m2 + i0 (2 ) p -m


ÄÍ Å

Ü âè æ à ÄÍ Å ç åé æ è ààí ê æ âè æãá ãæá à äãë æ ãéâèâ Ê Ñâ ãæ æ èã à ëè ê æ âè âè æ àç ë â èã âèæã é çãá æ éà æî èãâÊ ß éç è á âçãâ à æ éà æî èãâ
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D/2

.

Ì


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Ñ ë çé çèèéè ÄÍ Å âèã ÄÍ Å ë
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è

)(-ie)2

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k Å Å (p1 , p2 , k ) = S
-1

(/ - /) + m pk /+m p - 2 + i0 p -m (p - k )2 - m2 + i0
2





= 0.

ÄÍ Å

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(p1 ) - S

-1

(p2 )

Ü

âèèí ÄÍ Å â çàí æê æãá U (1) é âê æ â ã ÄÍ ÏÅÊ Ü äæãä æèí á âç è è ç è ãààãëâ ãæá
(k ) = g k 2 - k k (k 2 )

ÄÍ ÌÅ
k k k2

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g


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1 i 2 1 + (k 2 , , Å2 ) k

-

k k k2

+

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× ãéæç È â ç ã = 0 ë ã è â è æ ä ãèãâ äæãä èãæÊ Ü èãæ (1 + (k2 , , Å2 ))-1 â è â è î æã áãá âèéá ç ãéà è ãææ è âãæá àî èãâ ã è â è è æáÊ Ñè â ãâ í æ ç àâ è è ãààãëâ ë í
1 (a ) AÅ (x) AÅ , ë æ Z3 = (1 + (0, ))- Z3
1

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S
-1

- Z3 1

= 1 + 3 ,

ÄÍ ÏÅ

= (4 - D)/2Ê

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â éâ èãâ à èãæ ç

æê èê ç ã ÄÍ ÏÅ ãâ è

æáãâ äæãä
-1 0

(p) = S

(p) - (p).

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1

Ü ãæáéà ÄÍ ÏÅ ç àçã æ ä ààí äæ ç âè â è

íçãâÉÛ ëâ æ åé èãâ ãæ è ãààãëâ ÊÅ

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(

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-1

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p

.


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-i (p) = (-ie)
(2) 2

ç ãâ ãæ æ ÄÍ Å

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D/2

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æ è ãáäéè èãâ ê ç è

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2 =

âçë æ
inite

/-/+m pk (p - k )2 - m2



2 (4m - /) + f p 8

.

ÄÍ Å

â æ çèæé èéæ ã (p) ç è

ãààãëâ
(p) = /f1 (p2 ) - mf2 (p2 ). p

é èã ÄÍ Å è á âç è è è
S (p) =
2

æáãâ äæãä

èãæ

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1 1 - f2 (p2 ) /-m p 1 - f1 (p2 )

1 1 =- 2 )) /(1 - f1 (p )) - m(1 - f2 (p p 1 - f1 (p2 )

ÄÍ Å

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m

ê
phy s

1 - f2 (m =m 1 - f1 (m

2 phy s 2 phy s

) )

ÛãÈ è

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ãààãëâ ãæá àãç èã ä íç ç á çç
S (p) = Z2 (, Å) , p - mph (, Å) ^

ÄÍ Å ãâ àããä æ çéàè ÄÍ Å ë ÄÍ Å ÄÎÌÌÅ êâ íè

ë æ Z2 = (1 - f1 )-1 È m ãè â

ph

=m

Z2 Zm

È Zm = (1 - f2 )-1 Ê æãá è
=1+ + O(), 4 =1+ + O().

Z

-1 2 -1 m

Z

Ü æ á ââ âè æ à
q k

ê æ âè Ù

æá çè

ê æè ì éâ èãâ ãææ èãâ

p

ieÅ (p, q ) = (-ie)3 (Å2 )2-

(2)

dD k Ç (2 )D /-/-/+m pqk Ç (i) (p - q - k )2 - m2 + i0 /-/+m pq Ç 2 -i g Å (i) (p - q )2 - m2 + i0 k + i0
D/2



ÄÎÌÍÅ

Î


Ñâ ãæ æ èã ãáäéè è ê æ âè ä æè ãâ â çáäà í è âçë æ ç è àáè q 0Ê Ü
(2) (p, 0) = Å
Å

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1 + O() 4

Ü æ ãæ è

ê æè ì éâ èãâ â àé â ÍÉàããä ãææ èãâ á í
-ieÅ = -ieZ1 Å ,

ß â ç æãá ÄÍ Å â ÄÎÌÏÅ Z1 = Z2 â àé â ÍÉàããä ä æèÊ Ü äà èã àà ãæ æç ã ä æèéæ èãâ è ãæí é èã è ß æ âèèí
Å (p, 0) = Å S
-1

ë æ Z1 = 1 -

1 + O(). 4

åé àèí Z1 = Z2 è

ç

(p),

ÄÎÌ Å ã ê æ âè

ç ãààãëç æãá ÄÍ Å â è ßí ë

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0Å

È È æäç Ô è éç æ ëæè ãéæ âè à Ä

Ô æâ

â ÄÎÌ Å

10 L = - FÅ F 4

?/ + 0 (iD0 - m0 )0 ,

0 0 ë æ FÅ = Å A0 - A0 È DÅ = Å - ie0 A0 Äë éç çíá ãà (0) èã çèæ çç àà è ã è Å Å æ âãè æ âãæá àî È ãæ æ È ç éçé ààí ãâ ç íÅ â è æáç ã ä íç à à ç â ä æ á è æç èãâ à è æáç L àà í è çíá ãà ph â

1 ph L = - FÅ F 4

phÅ

? + ph (iDph - mph )ph + L, / )m0 È

ÄÎÌ Å

ë æ Aph = Z Å
e0 = Z

-1/2 0 AÅ ph = 3 -1 -1/2 (Å)D/2-2 eph 1 Z2 Z3

È

Z

È

-1/2 mph = (Z2 /Zm 2 ph DÅ = Å - ieph Aph Å

È

Èâ

ph L = -(Z3 - 1) 1 FÅ F 4

phÅ

? + (Z2 - 1)ph (i)ph + /
h

? ?/ +(Zm - 1)mph ph ph + (Z1 - 1)eph ph (Aph )p

ÄÎÌ Å

Ü è Ô í

Ô æ â â L ãâè âç çã àà ãéâè æÉè ã âèç â æãâè ã ãéâè æÉè æáçÊ Öãë æ â â ÄÎÌ Å àà ÝÞ ê æ â ç æ â à ãâèæ éèãâç ã è ãéâè æÉè æáçÊ Ô è éç àãã â áãæ è à è è æ à èãâ ãæ
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-1 2

æáçÊ Ñâ è à â ãæ æ ë ãáäéè àà ë â ãâ ãáäéè ç çãá è éçâ è ãéè ãæ æ í ãæ æ â ä æèéæ èãâ è ãæí è ãéäàâ ãâçè âè
D/2-2

Z

-1/2 3

(Å)

eph (Å),

Ï


ë æ (Å)D/2-2 ç è âèèíÈ â

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æ Ê çë
-1/2

ç éçç

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2

é èã ß æ ÄÎÌ Å
0

e0 = Z3

(Å)

D/2-2

eph (Å).

á âçãâ æ éà æî èãâ ä æ á è æ ÅÈ ë à e Öãè è è eph (Å) ç éâ èãâ ã è e2 âãè ä â ãâ ÅÊ æãá ÄÎÌ Å ãâ è è ãààãëâ åé àèí ãæ = 4 ÄD = 4 - 2Å
0 = Z
-1 3

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(Å2 )- ph (Å).

Ü

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Å

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Å

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Ü åé èãâ ÄÎÍÌÅ ç ä æè éà æ ì áäà ã è æ âãæá àî èãâ æãéä åé èãâ ë ë ã âãè ç éçç â è ç ç ãæè à èéæ ãéæç Ê Ü éâ èãâ ãâ è æ è â ç ã ÄÎÍÌÅ ç àà É éâ èãâÊ ÛãÈ è ãâ Éàããä à ê à è - éâ èãâ â Ù ç ê â í è ãààãëâ ãæáéà b0 2 () = 2 , b0 = . ÄÎÍÍÅ
3

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ã

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2 3

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Ü ç ç è æéâââ ãéäàâ ãâçè âèÊ Ñ ãâ á çéæ ç è ãâçè âè è çãá ç à Å1 È ãâ èç ê àé ç ãæ è ãâçè âè è ãè æ ç à çÊ Ü ãéäàâ ãâçè âè = 1/137 â á çéæ è ê æí çá àà ç à Äçá àà áãá âèéá èæ âç æ ãæ à æ çè â Å â Ü ãáäçãâ 1 2 ç èè æâ â æ ç ç ëè è ç à æãëâ â ãá ç (MZ ) 129 è è Z Éá ççÊ Ü ç è ë ç ãâ æá â àí è Ô Ø ìä æá âèçÊ Öãè È â ãæ æ èã è 1/129 ãâ ç ãéà è âèã ãéâè ãâèæ éèãâ ã àà ÛÕ æ ä æè à ç èã è ä ãèãâ ê ééá äãà æî èãâ éâ èãâ Ê Ü ç á âç è æ ä æè à É âèä æè à ä æç ç æ â è æ æ è çè â çÊ Ü Ù ãéäàâ æéâââ ç ààéçèæ è â è Ê çá àà Å2 ãæ è à æ Öãè è è â Ù è É éâ èãâ ç â èê à â èã âèÉç æ ââ èÈ è S ãá ç çá àà æ ëè â æ çâ ã è áãá âèéá ç à Äáãá âèéá èæ âç æÅ ãæ æ çâ çè â çÊ Ü ç ç áãéç çíáäèãè æ ãá äæãä æèí â Ù Ê Ñâ Ù è çèé èãâ ç ãääãçè Ê Ñ è ç à Å â æ ç ç èã ê æí à æ ê àé ç è ë àà âãëâ Ô â é äãà
b0 ln(Å/Å1 )2 = 1

(Å1 ) (Å ) 1 - 31 ln(Å/Å1 )2

ç ääæã ë æ è ä æèéæ èãâ ä èéæ â Ù æ ç ãëâÊ ×â ç ãéà âãè è è â Ù àà è æáç â É á âçãâ à Ô æ â â Ä é âê æ âè ãä æ èãæçÅ ê á âçãâ Ê ç æ çéàè è ãéäàâ ãâçè âè â Ù ç á âçãâà ççÊ


Ü ãæ Õã æ ä ê àã Ô

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M M M
Z

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91.1875 Á 0.0021 80.385 Á 0.015 Á 0.9

Z W

2.4952 Á 0.0023

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= 173.2

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0.002% 0.09% 0.02% 0.52%

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+17 -20

âèçÈ á çç çÈ æ áãéç ì áäà ç ã è èãä åé æ æãá è â àíçç

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Þ ê àé 173.2 Á 0.9 ÞÊ àíçç ç ç ãëâ è è äàãè ÄÅÊ çéæ á âèç è Ô ØÍÈ Ô ØÎÈ ÛÔ È â ë àà âãëâ Ü à

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L
H 2 M2 Mh M2 1 = 2 ( Å h)(Å h) + 2h h2 - 2v h3 - h h4 + 8v 2 2 1 2 + 2 + MW WÅ W -Å + 2 MZ ZÅ Z Å 1 + h - v

f

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