Кафедры

Официальная страничка: http://tds.math.msu.su/
Тип кафедры: Отделение математики
Завкафедрой: Аносов Дмитрий Викторович

Государственной премии 2001 г. удостоен акад. РАН А.А.Болибрух за цикл работ «Дифференциальные уравнения с мероморфными коэффициентами», в котором представлены результаты по таким центральным проблемам аналитической теории дифференциальных уравнений, как проблема Римана–Гильберта (21 проблема Гильберта для линейных фуксовых систем), задача о Биркгофовой стандартной нормальной форме системы линейных дифференциальных уравнений в окрестности иррегулярной особой точки, задача классификации изомонодомных деформаций в случае резонансов.

Основной результат цикла – отрицательное решение проблемы Римана–Гильберта. Автором получено эффективное необходимое условие, при котором обратная задача теории монодромии все-таки имеет положительное решение.

Доказано существование аналитической Биркгофовой стандартной нормальной формы для неприводимых систем.

Получены нормальные формы изомонодромных деформаций в случае наличия резонансов. Интересно, что полученные нелинейные дифференциальные уравнения не сводятся к известному уравнению Шредингера.

Исследовалось поведение подъемов на накрывающую плоскость несамопересекающихся бесконечных кривых на замкнутых поверхностях, в том числе траекторий потоков и слов одномерных слоений. Для них продолжено исследование обнаруженных ранее явлений типа осцилляции и квазимонотонности (или ее отсутствия). Показано, что на любой замкнутой поверхности с неотрицательной эйлеровой характеристикой имеются кривые указанного типа, накрытия которых находятся на бесконечном расстоянии Фреше от накрытий любых полуслов слоений с конечным числом особенностей (ранее это было обнаружено для тора). С другой стороны, осциллирующее поведение, при котором накрытие имеет ровно одну точку на абсолюте, возможно и для полуслоев слоений; в подобных случаях привлечение символической динамики доставляет описание основных качественных свойств поведения этих полуслоев.

Получена классификация особенностей систем хорд в аффинных пространствах с приложениями к теории управления. Исследована монодромия семейств простых особенностей квадратичных форм.

Исследованы группы, порождаемые автоматами с конечным числом состояний. Построен пример слабо ветвящейся свободной от кручения группы G, порожденной автоматом с тремя состояниями, обладающей следующими свойствами: она фрактальна, не содержит свободной группы с двумя образующими и не является субэкспоненциально аменабельной, обладает бесконечным множеством соотношений. Построено вложение группы G в группу H с двумя образующими и двумя соотношениями, являющуюся HNN-расширением группы G. Основной открытый вопрос – вопрос об аменабельности G и H. Доказано, что G является группой итерированной монодромии отображения z -> zz – 1 и что граница Громова графа Шрейера группы G гомеоморфна множеству Жюлия этого отображения.

Исследована дзета-функция Ихары бесконечной конечно-порожденной группы. Эта функция вычислена для ряда важных нетривиальных примеров групп и графов.