MMOnline – Информационный портал о мехмате МГУ

1. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Теорема о продолжении решения. Случай линейных уравнений.
2. Теорема о непрерывной зависимости и дифференцируемости решений по начальным условиям и по параметру. Уравнения в вариациях.
3. Теорема о выпрямлении векторного поля.
4. Линейные системы. Определитель Вронского. Теорема Лиувилля. Метод вариации постоянных.
5. Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Экспонента линейного оператора. Системы с правой частью в виде квазимногочлена.
6. Устойчивость по Ляпунову, асимптотическая устойчивость. Теорема об устойчивости по первому приближению.
7. Особые точки линейных систем на плоскости.
8. Первые интегралы. Теорема о существовании полной системы первых интегралов. Квазилинейные уравнения с частными производными первого порядка. Задача Коши.
9. Обобщенные функции. Действия над обобщенными функциями. Фундаментальные решения операторов с постоянными коэффициентами.
10. Задача Коши для волнового уравнения. Энергетическое неравенство. Единственость решения задачи Коши.
11. Формула Кирхгофа и Пуассона для волнового уравнения. Качественное исследование задачи Коши для волнового уравнения.
12. Смешанная задача для волнового уравнения. Единственность. Решение ее методом Фурье (обоснование метода Фурье в случае одной пространствен-ной переменной).
13. Фундаментальное решение оператора Лапласа. Функция Грина для задачи Дирихле и ее свойства. Функция Грина для шара. Решение задачи Дирихле для шара.
14. Свойства гармонических функций: теорема о среднем, принцип максимума, теорема Лиувилля, теорема об устранимой особенности.
15. Задачи Дирихле и Неймана. Единственность. Условие разрешимости задачи Неймана. Внешние задачи. Сведение их к внутренним задачам.
16. Уравнение теплопроводности. Первая краевая задача. Принцип максимума. Единственность. Решение ее методом Фурье. Задача Коши. Принцип макси-мума для слоя. Интеграл Пуассона.

1. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
2. Петровский И.Г. Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям.
3. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
4. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений.

1. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными.
2. Владимиров В.С. Уравнения математической физики.
3. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных.
4. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.
5. Соболев С.Л. Уравнения математической физики.
6. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики.

MMOnline