MMOnline – Информационный портал о мехмате МГУ

Студенческие чтения Д.А.Тимашев. Сферические многообразия

Во многих задачах геометрии и теории представлений естественно возникают однородные пространства алгебраических групп: к ним относятся аффинные и проективные пространства, грассманианы, пространства флагов, многообразия квадрик, матриц данного ранга и др.

Те же причины, которые вызывают необходимость перехода от аффинного пространства к проективному (например, наличие у системы алгебраических уравнений решений, "уходящих на бесконечность"), побуждают изучать компактификации, или более общим образом, эквивариантные вложения однородных пространств (т.е. многообразия, содержащие данное однородное пространство в виде открытой плотной орбиты). Замечательный класс торических многообразий образован эквивариантными вложениями алгебраических торов ${bf C}^{*}timesdotstimes{bf C}^{*}$.

Сферические однородные пространства редуктивных групп (к числу которых относятся все вышеприведенные примеры, кроме первого) характеризуются тем, что борелевская подгруппа имеет на таком пространстве открытую орбиту, а также простотой спектр линейных представлений в пространствах сечений линейных расслоений, и рядом других эквивалентных свойств. Их эквивариантные вложения --- сферические многообразия --- допускают красивое описание в терминах выпуклой геометрии (многогранники и многогранные конусы), обобщающее хорошо известную теорию торических многообразий. Такие различные задачи, как классификация алгебраических полугрупп, разложение тензорных произведений некоторых неприводимых представлений простых алгебр Ли на неприводимые слагаемые, подсчет числа плоских коник, касающихся пяти данных коник и др., допускают интерпретацию и решение в рамках теории сферических многообразий. О некоторых из этих задач будет рассказано в докладе.

Для понимания доклада достаточно владение программой первых двух курсов мехмата. Желательно также иметь общее представление о многообразиях и группах Ли (хотя необходимые понятия из алгебраической геометрии и теории алгебраических групп по возможности будут формулироваться в ходе доклада).

Московское Математическое Общество