Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.nature.web.ru/db/msg.html?mid=1151602&uri=ch2node3.html
Дата изменения: Unknown
Дата индексирования: Mon Apr 11 15:07:53 2016
Кодировка: Windows-1251
Научная Сеть >> Курс лекций И.М.Гельфанда по линейной алгебре
Rambler's Top100 Service
Поиск   
 
Обратите внимание!   Зарегистрируйтесь на нашем сервере и Вы сможете писать комментарии к сообщениям Обратите внимание!
 
  Наука >> Математика >> Алгебра, математическая логика и теория чисел | Курсы лекций
 Посмотреть комментарии[2]  Добавить новое сообщение
next up previous contents index
Next: 12 самосопряженные (эрмитовы) преобразования Previous: 10 инвариантные подпространства

Subsections

11 Линейное преобразование, сопряженное к данному

[section] Рассматривается линейное пространство над полем комплексных числел.

1 Связь между линейными преобразованиями и билинейными формами в евклидовом пространстве.

Мы рассматривали ранее в аффинном пространстве отдельно линейные преобразования и отдельно билинейные формы. В случае евклидова пространства между билинейными формами и линейными преобразованиями существует тесная связь3.5.

Всякому линейному преобразованию $ A$ отвечает в евклидовом пространстве билинейная форма $ A(x; y)$, задаваемая формулой

$\displaystyle A(x; y)\equiv(Ax,y). $

Действительно, функция $ A(x; y)\equiv(Ax,y)$ удовлетворяет условиям, определяющим билинейную форму. Имеем:

1$ ^{\circ}$ \begin{displaymath}\begin{gathered}[t] (A(x_1+x_2),y)=(Ax_1+Ax_2,y)=(Ax_1,y)+(Ax... ...\\ (A\lambda x,y)=(\lambda Ax,y)=\lambda (Ax,y).\end{gathered}\end{displaymath}

2$ ^{\circ}$ \begin{displaymath}\begin{gathered}[t] (x,A(y_1+y_2))=(x,Ay_1+Ay_2)=(x,Ay_1)+(x,Ay_2),\\ (x,A\mu y)=(x,\mu Ay)=\bar\mu (x,Ay).\end{gathered}\end{displaymath}

Покажем, что преобразование $ A$ определяется соответствующей билинейной формой $ A(x; y)$ однозначно.

Пусть

$\displaystyle A(x; y)=(Ax,y)$

и

$\displaystyle A(x; y)=(Bx,y).$

Тогда

$\displaystyle (Ax, y)\equiv(Bx,y),$

т.е.

$\displaystyle (Ax-Bx,y)=0$

для любого вектора $ y$; но это значит, что $ Ax-Bx=0$. Таким образом, $ Ax=Bx$ для любого $ x$, т.е. $ A=B$. Однозначность доказана.

Имеет место и обратное.

Пусть $ R$ -- комплексное евклидово пространство и пусть $ A(x; y)$ -- билинейная форма в нем. Выберем в $ R$ какой-либо ортогональный нормированный базис $ e_1,e_2,\dots,e_n$. Если

$\displaystyle x=\xi_1e_1+\xi_2e_2+\ldots+\xi_ne_n$   и$\displaystyle \quad y=\eta_1e_1+\eta_2e_2+\ldots+\eta_ne_n, $

то $ A(x; y)$ можно записать в виде

\begin{displaymath}\begin{aligned}[b]A(x; y)&=a_{11}\xi_1\bar\eta_1+a_{12}\xi_1\... ...n2}\xi_n\bar\eta_2+\ldots+ a_{nn}\xi_n\bar\eta_n. \end{aligned}\end{displaymath}

Постараемся представить это выражение в виде некоторого скалярного произведения. Для этого перепишем его следующим образом:

\begin{displaymath} \begin{aligned} A(x; y)&=(a_{11}\xi_1+a_{21}\xi_2+ \ldots+a_... ...}\xi_1+a_{2n}\xi_2+\ldots+a_{nn}\xi_n)\bar\eta_n. \end{aligned}\end{displaymath}

Введем в рассмотрение вектор $ z$ с координатами

\begin{displaymath} \begin{aligned} \zeta_1&=a_{11}\xi_1+a_{21}\xi_2+\ldots+a_{n... ...ta_n&=a_{1n}\xi_1+a_{2n}\xi_2+\ldots+a_{nn}\xi_n. \end{aligned}\end{displaymath}

Вектор $ z$ получается из вектора $ x$ линейным преобразованием с матрицей, транспонированной к матрице $ \Vert a_{ik}\Vert$ билинейной формы $ A(x; y)$. Это преобразование мы обозначим буквой $ A$, т.е. положим $ z=Ax$. Мы получаем, следовательно, что

$\displaystyle A(x; y)=\zeta_1\bar\eta_1+\zeta_2\bar\eta_2+ \ldots+\zeta_n\bar\eta_n=(z,y)=(Ax,y). $

Итак, всякой билинейной форме $ A(x; y)$ в евклидовом пространстве отвечает такое линейное преобразование $ A$, что

$\displaystyle A(x; y)\equiv(Ax,y). $

Таким образом, мы доказали следующую теорему.

Теорема 11.1   Формула

$\displaystyle A(x; y)=(Ax,y)$ (2)

устанавливает в евклидовом пространстве взаимно однозначное соответствие между билинейными формами и линейными преобразованиями.

Из однозначности соответствия, устанавливаемого формулой (2), следует, что оно не зависит от выбора базиса.

Связь между билинейными формами и линейными преобразованиями можно установить и другим способом. А именно, каждую билинейную форму можно представить также в виде

$\displaystyle A(x; y)=(x,A^*y).$

Для этого в формуле (1)

\begin{displaymath} \begin{aligned} A(x;y)&=a_{11}\xi_1\bar\eta_1+a_{12}\xi_1\ba... ...{n2}\xi_n\bar\eta_2+\ldots+ a_{nn}\xi_n\bar\eta_n \end{aligned}\end{displaymath}

мы будем выносить за скобки координаты $ \xi_1, \xi_2, \dots, \xi_n$ вектора $ x$. Повторяя снова прежние рассуждения, мы получаем:

\begin{displaymath} \begin{aligned} A(x; y) &=\xi_1(a_{11}\bar\eta_1+a_{12}\bar\... ..._{n2}\eta_2 +\ldots+\bar a_{nn}\eta_n)}=(x,A^*y). \end{aligned}\end{displaymath}

При этом матрица преобразования $ A^*$ получается из матрицы преобразования $ A$ в любом ортогональном базисе переходом к транспонированной и заменой ее элементов комплексно сопряженными.

Заметим, что в неортогональном базисе связь между матрицами преобразований $ A$ и $ A^*$ более сложна.

2 Операция перехода от преобразования к сопряженному (операция ).

Определение 11.1   Пусть $ A$ -- линейное преобразование комплексного евклидова пространства. Преобразование $ A^*$, определенное условием

$\displaystyle (Ax,y)=(x,A^*y), $

называется сопряженным к $ A$.

Теорема 11.2   В евклидовом пространстве каждому линейному преобразованию отвечает сопряженное преобразование и притом только одно.

Доказательство. Линейному преобразованию $ A$ однозначно соответствует согласно теореме 1 этого параграфа билинейная форма $ A(x; y)=(Ax,y)$. Эту билинейную форму согласно сказанному в конце п.1 можно представить, и притом однозначно, в виде $ (x,A^*y)$. Окончательно мы имеем:

$\displaystyle (Ax,y)=A(x; y)=(x,A^*y). $

\qedsymbol

Матрица сопряженного преобразования $ A^*$ получается из матрицы преобразования $ A$ в ортогональном базисе переходом к транспонированной и комплексно сопряженной матрице, как это доказано в п.1 этого параграфа.

Переход от $ A$ к $ A^*$ можно выразить в виде правила: если в выражении $ (Ax,y)$ мы желаем $ A$ перебросить на второе место, то к нему нужно приписать $ {}^*$.

Операция перехода от преобразования $ A$ к сопряженному преобразованию $ A^*$ (``операция $ {}^*$'') связана с определенными выше (§9) операциями сложения и умножения линейных преобразований следующими соотношениями:

1$ ^\circ$ $ (AB)^* = B^*A^*$.

2$ ^\circ$ $ (A^*)^* = A$.

3$ ^\circ$ $ (A+B)^* = A^*+B^*$.

4$ ^\circ$ $ (\lambda A)^*=\bar\lambda A^*$.

5$ ^\circ$ $ E^*=E$.

Докажем, например, два первых из этих свойств.

1$ ^\circ$ $ (ABx,y)=(Bx,A^*y)=(x,B^*A^*y)$.

Но, с другой стороны, по определению $ (AB)^*$ имеем:

$\displaystyle (ABx,y)=(x,(AB)^*y). $

Сравнивая правые части этих двух равенств и вспомнив, что линейное преобразование однозначно определяется соответствующей билинейной формой, получаем:

$\displaystyle (AB)^*=B^*A^*.$

2$ ^\circ$ По определению $ A^*$ имеем:

$\displaystyle (Ax,y)=(x,A^*y).$

Обозначим временно $ A^*$ через $ C$. Тогда

$\displaystyle (Ax,y)=(x,Cy),$

откуда

$\displaystyle (y,Ax)=(Cy,x).$

Заменив $ y$ через $ x$, а $ x$ через $ y$ и поменяв местами правую и левую части этого равенства, получим:

$\displaystyle (Cx,y)=(x,Ay).$

Но это равенство и означает, что $ C^*=A$, и так как $ C=A^*$, то

$\displaystyle (A^*)^*=A.$


Упражнения   1. Доказать таким же способом свойства 3$ ^\circ$-5$ ^\circ$.

2. Доказать свойства 1$ ^\circ$-5$ ^\circ$, пользуясь тем, что матрица преобразования $ A^*$ получается из матрицы преобразования $ A$ в ортогональном базисе транспонированием и заменой всех элементов комплексно сопряженными.


3 Самосопряженные, унитарные и нормальные линейные преобразования.

Операция $ {}^*$ в известной мере аналогична операции перехода от данного комплексного числа $ \alpha$ к сопряженному  $ \bar\alpha$. Эта аналогия не случайна. Действительно, для матриц первого порядка над комплексным полем, т.е. для комплексных чисел, операция $ {}^*$ как раз и состоит в замене данного числа комплексно сопряженным.

Среди всех комплексных чисел действительные числа характеризуются тем свойством, что $ \bar\alpha=\alpha$. Для линейных преобразований аналогичное понятие является весьма существенным.

Определение 11.2   Линейное преобразование $ A$ называется самосопряженным (или эрмитовым), если $ A^*=A$.

Покажем, что для того, чтобы линейное преобразование $ A$ было самосопряженным, необходимо и достаточно, чтобы билинейная форма $ (Ax,y)$ была эрмитовой.

В самом деле, эрмитовость формы $ (Ax,y)$ означает, что

$\displaystyle (Ax,y)=\overline{(Ay,x)}.$ (a)

Самосопряженность преобразования $ A$ означает, что

$\displaystyle (Ax,y)=(x,Ay).$ (b)

Легко видеть, что равенства (a) и (b) эквивалентны.

Всякое комплексное число $ \zeta$ представимо в виде $ \zeta=\alpha+i\beta$, где $ \alpha$ и $ \beta$ -- действительные числа. Аналогично:

Всякое линейное преобразование $ A$ может быть записано в виде

$\displaystyle A=A_1+iA_2 tag{3},$ (1)

где $ A_1$ и $ A_2$ -- самосопряженные преобразования.

Действительно,

$\displaystyle A=\frac{A+A^*}{2}+i\frac{A-A^*}{2i}.$

Введем обозначения

$\displaystyle \frac{A+A^*}{2}=A_1,\quad \frac{A-A^*}{2i}=A_2. $

Тогда

$\displaystyle A^*_1=\biggl(\frac{A+A^*}{2}\biggr)^*=\frac{1}{2}(A+A^*)^*=\frac{1}{2}(A^*+A^{**}) =\frac{1}{2}(A^*+A)=A_1 $

и

$\displaystyle A^*_2=\biggl(\frac{A-A^*}{2i}\biggr)^*=-\frac{1}{2i}(A-A^*)^*= -\frac{1}{2i}(A^*-A^{**})=-\frac{1}{2i}(A^*-A)=A_2, $

т.е. $ A_1$ и $ A_2$ -- самосопряженные преобразования.

Таким образом, самосопряженные преобразования играют среди всех линейных преобразований роль, аналогичную роли действительных чисел среди комплексных.


Упражнения   1. Доказать единственность представления преобразования $ A$ в виде (1).

2. Доказать, что линейная комбинация с действительными коэффициентами самосопряженных преобразований есть снова самосопряженное преобразование.

3. Доказать, что если $ A$ -- произвольное линейное преобразование, то преобразования $ AA^*$ и $ A^*\!A$ -- самосопряженные.

Примечание. В отличие от комплексных чисел, $ AA^*$, вообще говоря, не равно $ A^*\!A$.


Произведение двух самосопряженных линейных преобразований не есть, вообще говоря, самосопряженное преобразование. Имеет место следующая

Теорема 11.3   Пусть $ A$ и $ B$ -- самосопряженные линейные преобразования. Для того чтобы преобразование $ AB$ было также самосопряженным, необходимо и достаточно, чтобы $ AB=BA$, т.е. чтобы преобразования $ A$ и $ B$ были перестановочны.

Доказательство. Нам дано, что

$\displaystyle A^*=A$   и$\displaystyle \quad B^*=B.$

Мы ищем необходимое и достаточное условие того, чтобы выполнялось равенство

$\displaystyle (AB)^*=AB.$ (4)

Но

$\displaystyle (AB)^*=B^*\!A^*=BA.$

Следовательно, равенство (4) имеет место тогда и только тогда, когда

$\displaystyle AB=BA.$

Теорема доказана.\qedsymbol


Упражнение   Доказать, что если $ A$ и $ B$ -- самосопряженные преобразования, то самосопряженными будут и преобразования $ AB+BA$ и $ i(AB-BA)$.


Аналогом комплексных чисел, равных по модулю единице, т.е. таких, что $ z\bar z=1$, являются унитарные преобразования.

Определение 11.3   Линейное преобразование $ U$ называется унитарным, если $ UU^*=U^*U=E$ 3.6. Другими словами, для унитарного преобразования $ U^*= U^{-1}$.

В §13 мы познакомимся с весьма простой геометрической интерпретацией унитарных преобразований.


Упражнения   1. Доказать, что произведение двух унитарных преобразований есть снова унитарное преобразование.

2. Показать, что если $ U$ -- унитарное преобразование, а $ A$ -- самосопряженное преобразование, то $ U^{-1}AU$ -- также самосопряженное.


Ниже (в §15) мы докажем, что всякое линейное преобразование можно представить как произведение самосопряженного на унитарное. Эту теорему можно рассматривать как обобщение записи комплексного числа в тригонометрической форме.

Введем еще одно определение.

Определение 11.4   Линейное преобразование $ A$ называется нормальным, если $ AA^*=A^*\!A$.

Для комплексных чисел нет надобности в аналогичном понятии, так как умножение комплексных чисел коммутативно и, значит, $ \bar\alpha\alpha$ всегда равно $ \alpha\bar\alpha$.

Нетрудно убедиться, что как самосопряженные, так и унитарные преобразования являются частными случаями нормальных преобразований.

Более детальному изучению отдельных классов линейных преобразований в евклидовом пространстве будут посвящены дальнейшие параграфы этой главы. При этом мы получим для различных типов преобразований весьма простую геометрическую характеристику.

next up previous contents index
Next: 12 самосопряженные (эрмитовы) преобразования Previous: 10 инвариантные подпространства Vadim Yu. Radionov
2000-08-30


Посмотреть комментарии[2]
 Copyright © 2000-2015, РОО "Мир Науки и Культуры". ISSN 1684-9876 Rambler's Top100 Яндекс цитирования