Научная Сеть >> Зонная структура электронного энергетического спектра в твердых телах. Модели свободных и сильно связанных электронов.

Наука >> Физика >> Общая физика >> Электричество и магнетизм | Курсы лекций

См. также

Магнитные структуры в кристаллических и аморфных веществах: Необходимые условия для возникновения упорядоченных магнитных структур в твердых телах

Лабиринты фотонных кристаллов: Чужие здесь не ходят

Автоэлектронная эмиссия

Новости физики в банке препринтов

Аморфные и стеклообразные полупроводники

Сканирующая туннельная микроскопия - новый метод изучения поверхности твердых тел: picture4

Наноэлектроника - основа информационных систем XXI века: Квантовое ограничение

Оже-эффект

Прецизионная Фотометрия: 2922

Роль вторичных частиц при прохождении ионизирующих излучений через биологические среды: Черняев А.П., Варзарь С.М., Тултаев А.В.

Сканирующая туннельная микроскопия - новый метод изучения поверхности твердых тел: Атомная реконструкция поверхностей; структура

Квантовые ямы, нити, точки. Что это такое?: picture1

Физика 2002: итоги года

Межатомное взаимодействие и электронная структура твердых тел: Зонная теория и переходы "металл-изолятор"

Антивещество

Квантовые ямы, нити, точки. Что это такое?: picture6

Акустический парамагнитный резонанс

Ядерный магнитный резонанс: Введение

Термояд: сквозь тернии к звездам. Часть 1: Машина, работающая в двух совершенно разных режимах

Зонная структура электронного энергетического спектра в твердых телах. Модели свободных и сильно связанных электронов

Г.А. Миронова (Кафедра общей физики, Физический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова)
Физический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова, 2001 г.

Содержание

2.2.2 Плотность состояний и плотность заполнения уровней энергии

Рис. 6.

Число электронных состояний dn^s(E) с заданными значениями энергий в интервале от Е до (Е+dE) равно удвоенному (за счет различных направлений спина) числу элементарных квантовых ячеек (1.21) в p-пространстве в сферическом слое радиуса $p = (2mE)^{ 1/2}$ и толщины $dp = d(2mE)^{ 1/2}$ :

$dn_{ s} (E) = 2\;{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 4\pi \,p^{ 2}dp}}{\displaystyle {\displaystyle (2\pi \hbar )^{ 3}}}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \sqrt {\displaystyle 2} m_{ 0}^{ 3/2} }}{\displaystyle {\displaystyle \pi ^{ 2}\hbar ^{ 3}}}}\sqrt {\displaystyle E} dE.$

(2.4)

Таким образом, плотность состояний $\rho (Е)$ , то есть число разрешенных состояний электронов в единичном интервале энергии для кристалла единичного объема равна

$\rho \left( {\displaystyle E} \right) \equiv {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle dn_{ s} }}{\displaystyle {\displaystyle dE}}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \sqrt {\displaystyle 2} m_{ 0}^{ 3/2} }}{\displaystyle {\displaystyle \pi ^{ 2}\hbar ^{ 3}}}}\sqrt {\displaystyle E} \sim \sqrt {\displaystyle E}$

(2.4а)

Вид функции $\rho (E)$ (2.4а) показан на рисунке 7б.

Плотность состояний растет с увеличением энергии $\sim \sqrt {\displaystyle E}$ .

Рис. 7.

Заполнение этих состояний электронами определяется функцией распределения Ферми-Дирака (1.16) (см. рис.7а), определяющей вероятность заполнения электронного состояния с энергией Е:

$f(E) = {\displaystyle \left[ {\displaystyle e^{ {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle E - \mu }}{\displaystyle {\displaystyle kT}}}} + 1} \right]}^{ - 1}.$

При Т=0 состояния с Е<Е_F полностью заполнены, так как f(E<E_F)=1, а с Е>Е_F - пусты. Очевидно, что при Т=0 площадь под кривой $\rho \left( {\displaystyle E} \right)$ в пределах от 0 до E_F(0) дает полную концентрацию электронов (рис. 7б):

$n = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle zN}}{\displaystyle {\displaystyle W}}} = {\displaystyle \int\limits_{ 0}^{ E_{ F} (0)} {\displaystyle \rho \left( {\displaystyle E} \right)\;} }dE.$

(2.5)

При конечной температуре $T \ne 0$ ступенька распределения f(E) Ферми-Дирака размывается (рис.7а), так что число частиц $dn$ , обладающих энергиями в бесконечно узком интервале значений от $Е$ до $(Е+dЕ)$ будет равно произведению плотности состояний (числу состояний в этом интервале энергий) на вероятность их заполнения:

$dn = \rho \left( {\displaystyle E} \right)f\left( {\displaystyle E} \right)dE.$

При этом (рис.7в)

$\frac{\displaystyle {\displaystyle dn}}{\displaystyle {\displaystyle dE}}} = \rho \left( {\displaystyle E} \right)f\left( {\displaystyle E} \right) = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \sqrt {\displaystyle 2} m^{ {\displaystyle {\displaystyle 3} \mathord{\displaystyle \left/ {\displaystyle \vphantom {\displaystyle {\displaystyle 3} {\displaystyle 2}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\displaystyle 2}}}}}{\displaystyle {\displaystyle \pi ^{ 2}\hbar ^{ 3}}}}{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \sqrt {\displaystyle E} }}{\displaystyle {\displaystyle 1 + \exp \left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle E - \mu }}{\displaystyle {\displaystyle kT}}}} \right)}}$

(2.4б)

- есть функция плотности заполнения энергетического уровня с энергией Е при температуре Т. На рисунке 7в представлены зависимости плотности заполнения $\frac{\displaystyle {\displaystyle dn}}{\displaystyle {\displaystyle dE}}$ при Т=0 (пунктирная кривая) и при $Т \ne 0$ (сплошная кривая). Величина размытости четкой (при Т=0) границы заполнения энергетических уровней при низких температурах (так же как и для f(E)) составляет величину \sim 2kT (1.17).

При $Т \ne 0$ концентрация электронов равна заштрихованной площади на рис 7в, то есть рассчитывается по формуле:

$n = {\displaystyle \int\limits_{ 0}^{ \infty } {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle dn}}{\displaystyle {\displaystyle dE}}}\;} }dE = {\displaystyle \int\limits_{ 0}^{ \infty } {\displaystyle f(E)\rho \left( {\displaystyle E} \right)\;} }dE.$

(2.6)

Замечание. Функция $f_{ L}(E)={\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle n}}}{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle dn\left( {\displaystyle E} \right)}}{\displaystyle {\displaystyle dE}}}$ называется функцией распределения электронов по энергетическим уровням.

Знание функции заполнения $\frac{\displaystyle {\displaystyle dn\left( {\displaystyle E} \right)}}{\displaystyle {\displaystyle dE}}$ энергетических уровней (или функции распределения по энергии f_L(E)) позволяет рассчитывать средние значения любых функций от энергии.

Литература: [А.Н.Матвеев, 1987, $\S$ 16; Н.Б.Брандт, С.М.Чудинов, 1990, ч.II, гл.1, $\S$ 1, гл.5, $\S$ 1; Дж.Займан, 1966; Ч.Киттель, 1978, гл.7]

2.2.3. Расчет средних значений функций от энергии для вырожденного электронного газа

Пусть необходимо вычислить среднее значение некоторой функции от энергии $\lt\varphi (<i>E</i>)\gt$ при достаточно низких температурах, то есть для вырожденного электронного газа

По определению среднее значение функции $\varphi (E)$ равно

${\displaystyle \left\langle {\displaystyle \varphi \left( {\displaystyle E} \right)} \right\rangle } = {\displaystyle \int\limits_{ 0}^{ \infty } {\displaystyle \varphi \left( {\displaystyle E} \right)f_{ L} (E)\;} }dE = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle n}}}{\displaystyle \int\limits_{ 0}^{ \infty } {\displaystyle \varphi \left( {\displaystyle E} \right)f(E)\rho \left( {\displaystyle E} \right)\;} }dE,$

(2.7)

где $\rho (Е)$ определяется формулой (2.4).

Функция распределения Ферми-Дирака f(E) при Т=0 принимает значение либо 0, либо 1 везде за исключением области ступеньки.

При низких температурах, то есть для вырожденного электронного газа, "ступенька" распределения слабо размыта около $Е=\mu$ . Этим можно воспользоваться для упрощения расчетов.

Введем для $\varphi (E)$ новую функцию $\Phi (E)$ следующим соотношением

$\varphi \left( {\displaystyle E} \right) \cdot \rho \left( {\displaystyle E} \right) = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d\Phi \left( {\displaystyle E} \right)}}{\displaystyle {\displaystyle dE}}}.$

Выбрав начало отсчета энергии так, чтобы $\Phi (0)=0$ , получим выражение для $\Phi (E)$ :

$\Phi \left( {\displaystyle E} \right) = {\displaystyle \int\limits_{ 0}^{ E} {\displaystyle \varphi \left( {\displaystyle E} \right) \cdot \rho \left( {\displaystyle E} \right)dE} }.$

(2.8)

Тогда (2.7) можно записать в виде

$n{\displaystyle \left\langle {\displaystyle \varphi \left( {\displaystyle E} \right)} \right\rangle } = {\displaystyle \int\limits_{ 0}^{ \infty } {\displaystyle f(E){\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d\Phi \left( {\displaystyle E} \right)}}{\displaystyle {\displaystyle dE}}}\;} }dE = {\displaystyle \left[ {\displaystyle f\left( {\displaystyle E} \right)\Phi \left( {\displaystyle E} \right)} \right]}_{ 0}^{ \infty } - {\displaystyle \int\limits_{ 0}^{ \infty } {\displaystyle \Phi (E){\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle df\left( {\displaystyle E} \right)}}{\displaystyle {\displaystyle dE}}}\;} }dE.$

(2.9)

Первый член равен нулю, так как величина f(\infty ) заведомо равна нулю. График функции

$\frac{\displaystyle {\displaystyle df}}{\displaystyle {\displaystyle dE}}} = - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle exp\left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle E - \mu }}{\displaystyle {\displaystyle kT}}}} \right)}}{\displaystyle {\displaystyle kT{\displaystyle \left[ {\displaystyle 1 + exp\left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle E - \mu }}{\displaystyle {\displaystyle kT}}}} \right)} \right]}^{ 2}}}$

(2.10)

представлен на рисунке 8.

Рис. 8.

Значение $\frac{\displaystyle {\displaystyle df\left( {\displaystyle E} \right)}}{\displaystyle {\displaystyle dE}}$ в максимуме составляет $(-{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 4kT}}})$ . При отклонении энергии от $\mu$ производная $\frac{\displaystyle {\displaystyle df\left( {\displaystyle E} \right)}}{\displaystyle {\displaystyle dE}}$ быстро убывает, так что при $E-\mu =2kT$ ее значение в 2,4 раза меньше, чем в максимуме. Это обстоятельство позволяет, разлагая $\Phi (E)$ в ряд Тейлора в окрестности точки $E=\mu$ записать выражение (2.9) как

$n{\displaystyle \left\langle {\displaystyle \varphi } \right\rangle } = - {\displaystyle \int\limits_{ 0}^{ \infty } {\displaystyle {\displaystyle \left\{\displaystyle {\displaystyle \Phi \left( {\displaystyle \mu } \right) + \left( {\displaystyle E - \mu } \right){\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d\Phi }}{\displaystyle {\displaystyle dE}}}{\displaystyle \left| {\displaystyle _{ \mu } } \right.} + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}\left( {\displaystyle E - \mu } \right)^{ 2}{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d^{ 2}\Phi }}{\displaystyle {\displaystyle dE^{ 2}}}}{\displaystyle \left| {\displaystyle _{ \mu } } \right.} + \ldots} \right\}}} }{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle df}}{\displaystyle {\displaystyle dE}}}dE.$

Используя соотношение (2.10) для $\frac{\displaystyle {\displaystyle df\left( {\displaystyle E} \right)}}{\displaystyle {\displaystyle dE}}$ , результат интегрирования запишем в виде

$n{\displaystyle \left\langle {\displaystyle \varphi } \right\rangle } = \Phi \left( {\displaystyle \mu } \right) + 2C_{ 1} kT{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d\Phi }}{\displaystyle {\displaystyle dE}}}{\displaystyle \left| {\displaystyle _{ \mu } } \right.} + 2C_{ 2} \left( {\displaystyle kT} \right)^{ 2}{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d^{ 2}\Phi }}{\displaystyle {\displaystyle dE^{ 2}}}}{\displaystyle \left| {\displaystyle _{ \mu } } \right.} + \ldots .$

Здесь коэффициенты С_j - определенные интегралы, причем для нечетных значений j они обращаются в нуль, а для четных значений j=2n имеем

$2C_{ 2n} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle \left( {\displaystyle 2n} \right)!}}}{\displaystyle \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \eta ^{ 2n}e^{ - \eta }}}{\displaystyle {\displaystyle \left( {\displaystyle 1 - e^{ - \eta }} \right)^{ 2}}}}d\eta = 2{\displaystyle \sum\limits_{ s = 0}^{ \infty } {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \left( {\displaystyle - 1} \right)^{ s}}}{\displaystyle {\displaystyle \left( {\displaystyle 1 + s} \right)^{ 2n}}}}} }} },$

где $\eta = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle E - \mu }}{\displaystyle {\displaystyle kT}}}$ . Вычисление этих сумм - задача чистой математики, связанная с использованием дзета-функции Римана и чисел Бернулли. Первые три коэффициента равны

$2C_{ 2} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \pi ^{ 2}}}{\displaystyle {\displaystyle 6}}}; \quad 2C_{ 4} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 7\pi ^{ 4}}}{\displaystyle {\displaystyle 360}}}; \quad 2C_{ 6} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 31\pi ^{ 6}}}{\displaystyle {\displaystyle 15120}}}.$

Практически чаще всего достаточно одного коэффициента С₂. Поэтому окончательный результат можно записать в виде

$n{\displaystyle \left\langle {\displaystyle \varphi } \right\rangle } = {\displaystyle \int\limits_{ 0}^{ \infty } {\displaystyle \varphi \left( {\displaystyle E} \right)\rho } }\left( {\displaystyle E} \right)f\left( {\displaystyle E} \right)dE = \Phi \left( {\displaystyle \mu } \right) + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \pi ^{ 2}}}{\displaystyle {\displaystyle 6}}}\left( {\displaystyle kT} \right)^{ 2}{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d^{ 2}\Phi }}{\displaystyle {\displaystyle dE^{ 2}}}}{\displaystyle \left| {\displaystyle _{ \mu } } \right.}$

(2.11)

где $\Phi (E)$ описывается формулой (2.8).

Литература: [Дж.Займан, 1966,гл.4, $\S$ 5]

Назад| Вперед

Физический факультет МГУ

Написать комментарий