Векторное пространство (линейное пространство) - множество элементов, называемых векторами, для которых определены операции сложения и умножения на число. Простейший, но важный пример - совокупность векторов a, b, c, ... обычного 3-мерного пространства. Каждый такой вектор - направленный отрезок, задаваемый тремя числами: ; числа называются координатами вектора. При умножении вектора на вещественное число соответствующий отрезок, сохраняя направление, растягивается в раз: . Сумма двух векторов находится по правилу параллелограмма; если и то . Паре векторов a и b сопоставляют также скалярное произведение (см. Векторная алгебра). Непосредственным обобщением З-мерного пространства является n-мерное евклидово пространство. Его элементы - упорядоченные наборы вещественных чисел, Например, , . Сложение и умножение векторов на число определены формулами , , а скалярное произведение - формулой Примером комплексного бесконечномерного векторного пространства может служить совокупность комплексных функций f, заданных на всей оси и квадратично суммируемых (то есть имеющих конечный интеграл ). Многие классы функций, например, полиномы заданного порядка, функции непрерывные, дифференцируемые, интегрируемые, аналитические и тому подобные, также образуют бесконечномерные векторные пространства.

В каждом векторном пространстве, помимо операций сложения и умножения на число, обычно имеются те или иные дополнительные операции и структуры (например, определено скалярное произведение). Если же не уточняют природы элементов векторного пространства и не предполагают в нем никаких дополнительных свойств, то векторное пространство называют абстрактным. Абстрактное векторное пространство L задают с помощью следующих аксиом:

1. любой паре элементов х и у из L сопоставлен единственный элемент z, называемый их суммой z=x+y и принадлежащий L;
2. для любого числа и любого элемента x из L определен элемент z, который называется их произведением и принадлежащий L;
3. операции сложения и умножения на число являются ассоциативными и дистрибутивными.

Сложение допускает обратную операцию, то есть для любых х и у из L существует единственный элемент w из L такой, что x+w=y. Кроме того, имеют место формулы . Если все числа вещественны (комплексны), говорят о вещественном (комплексном) векторном пространстве; множество чисел называют полем скаляров L. Понятие векторного пространства можно ввести и для произвольного поля, например, поля кватернионов.

Если - элементы векторного пространства L, то выражение вида называется их линейной комбинацией; совокупность всех линейных комбинаций элементов подмножества S из L называют линейной оболочкой S. Векторы из L называют линейно независимыми, если условие ( - любые элементы поля скаляров) может выполняться только при . Бесконечная система векторов называется линейно независимой, если любая ее конечная часть является линейно независимой. Множество элементов подмножества S из L называется системой образующих S, если любой вектор х из S можно представить в виде линейной комбинации этих элементов. Линейно независимая система образующих S называется базисом S, если разложение любого элемента S по этой системе единственно. Базис, элементы которого каким-либо образом параметризованы, называется системой координат в S. Базис векторного пространства всегда существует, хотя и не определяется однозначно. Если базис состоит из конечного числа n элементов, то векторное пространство называется n-мерным (конечномерным); если базис - бесконечное множество, то векторное пространство называется бесконечномерным. Выделяют также счетномерные векторные пространства, у которых имеется счетный базис.

Подмножества векторного пространства L, замкнутые относительно его операций, называются подпространствами L. По любому подпространству S можно построить новое векторное пространство L/S, называемое фактор-пространством L по S: каждый его элемент есть множество векторов из L, различающихся между собой на элемент из S. Размерность L/S называется коразмерностью подпространства S в L; если размерности L и S равны соответственно n и k, то коразмерность S в L равна n-k. Если J - произвольное множество индексов i и S_i - семейство подпространств L, то совокупность всех векторов, принадлежащих каждому из S_i, есть подпространство, называется пересечением указанных подпространств и обозначаемое . Для конечного семейства подпространств S₁, ..., S_s совокупность всех векторов, представимых в виде

, xi из Si,

(*)

есть подпространство, называемое суммой S₁, ..., S_s и обозначаемое S₁+ ... +S_s. Если для любого элемента суммы S₁+ ... +S_s представление в виде (*) единственно, эта сумма называется прямой и обозначается . Сумма подпространств является прямой тогда и только тогда, когда пересечение этих подпространств состоит только из нулевого вектора. Размерность суммы подпространств равна сумме размерностей этих подпространств минус размерность их пересечения. Векторное пространство L₁ и L₂ называют изоморфным и, если существует взаимно однозначное соответствие между их элементами, согласованное с операциями в них; L₁ и L₂ изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность.

Конкретные примеры векторного пространства можно найти в математическом аппарате практически любого раздела физики. Конечномерными вещественными векторными пространствами являются, например, трехмерное физическое пространство (без учета кривизны), конфигурационное пространство и фазовое пространство системы n классических точечных частиц. К числу бесконечномерных комплексных векторных пространств принадлежат гильбертовы пространства, конкретные и абстрактные, составляющие основу математического аппарата квантовой физики. Простейший пример гильбертова пространств уже упоминавшееся пространство . Основные физические примеры - пространства векторов состояний различных систем микрочастиц, изучаемых в квантовой механике, квантовой статистической физике и квантовой теории поля. Находят применение и такие векторные поля, у которых поле скаляров не совпадает со множеством вещественных или комплексных чисел: так, гильбертово пространство над полем кватернионов используется и одной из формулировок квантовой механики, а гильбертово пространство над полем октонионов - в одной из формулировок квантовой хромодинамики. В современных теориях суперсимметрии интенсивно применяются так называемые градуированные векторные поля, то есть линейные пространства вместе с их фиксированным разложением в прямую бесконечную сумму подпространств.