Как известно, при квантовомеханическом движении частицы в центральном поле вида в двух случаях (при r=-1,2) возникает т.н. случайное вырождение энерг. уровней. Так вот, как доказывается, что при всех остальных n такого вырождения нет? И можно ли это доказательство как-нить красиво сравнить с классическим случаем? //Под классическим случаем понимается замкнутость орбит финитного движения в центральном поле.

Никак не доказывается. Так называемое "случайное вырождение" вовсе не
случайно. Оно связано с неправильным определением группы симметрии задачи.
В центральном поле общего вида есть симметрия по отношению к любым вращениям,
группа симметрии SO(3). Для потенциала 1/r группа симметрии SO(4), а для r²
--- SU(3). Кратности вырождения уровней равны размерностям неприводимых
представлений группы симметрии. Если группа симметрии определена неправильно:
вместо полной группы используется какая-то подгруппа (например, SO(3) вместо
SO(4) для потенциала 1/r), то неприводимые представления полной группы
распадаются в сумму неприводимых представлений подгруппы (естественно, меньшей
размерности). Вот именно тот факт, что несколько неприводимых представлений
подгруппы (составляющих одно неприводимое представление полной группы
симметрии) соответствуют одному и тому же значению энергии, и называется
случайным вырождением.

С точки зрения механики при случайном вырождении появляются дополнительные
интегралы движения, не коммутирующие с "очевидными" и (вообще говоря)
между собой. Для центрального поля "очевидными" интегралами являются
компоненты момента импульса. Для потенциала 1/r к ним добавляются
компоненты вектора Рунге---Ленца, а для потенциала r² --- комбинации вида
a⁺_ia_k, не сводящиеся к моменту импульса (операторы "a" образуются из "p" и "x" по стандартным правилам).

Замкнутые траектории в системах, совершающих условно-периодическое движение
(к таким системам относится центральное поле), появляются при некоторых
условиях вырождения частот. Такие условия как раз следуют из дополнительной
симметрии задачи.

Тогда "случайность" связана с тем, что при некоторых n группа расширяется. Вопросы:
1. почему?
2. как? До какой группы?
3. как найти все такие n?

2 Munin:

А, понял за что меня в скрытности обвиняют. Ответов на вопросы не знаю. Мне кажется, никакого алгоритма для определения группы симметрии задачи, то есть фактически для нахождения всех первых интегралов, нет и быть не может. Скорее возможно обратное: сконструировать гамильтониан с заранее заданной симметрией. Что касается полей вида rⁿ, то скрытая симметрия есть только у n=-1,2. Доказательства не знаю.

Ладно, тогда такой вопрос. Рассмотрим эти потенциалы как классические. Как тогда будут выглядеть для них новые интегралы движения?

Munin:
Как тогда будут выглядеть для них новые интегралы движения?

Да я вроде уже писал. Для Кулона --- вектор Рунге---Ленца

A=r/r-pxl

ЛЛ1, параграф 15, ЛЛ3, параграф 36.

Для осциллятора --- комбинации

a⁺_ia_k, a_k=2^-1/2(x_k+ip_k).

П. В. Елютин, В. Д. Кривченков "Квантовая механика", Москва, Наука, 1976, глава 3, раздел 12.

Если рассматривать более общие комбинации

b_ika⁺_ia_k,

нетрудно проверить, что коммутатор (скобка Пуассона) интегралов соответствует коммутатору матриц "b". В качестве них удобно взять матрицы Гелл-Манна. Тогда комбинации с

l₂, l₅, l₇

будут компонентами момента импульса, а остальные --- новыми интегралами. Интеграл a⁺_ia_i не в счет, это гамильтониан.

А. То есть произведения комбинаций рассматривать классически. Хммммм...

P. S. Когда ссылался на Елютина---Кривченкова, имел в виду формулы для "a", а не для интегралов. Как тут редактировать сообщения? Формулы работают и в квантах и в классике.

2 peregoudov:
Боюсь, Вы отвечали не на мой вопрос. Почему происходит случайное вырождение, я знаю. А вот как доказать, что оно "случится" (т.е. будет дополнительная симметрия) только при данном виде потенциала, а при остальных - нет?