В случайном процессе порядок не может возрастать.
Случайным назовем процесс, у которого мощность статансамбля больше единицы. Когда он состоит из одного члена, то процесс детерминирован (полностью упорядочен).
Вне зависимости от природы случайности, не будем рассматривать никакую альтернативу хаотическому поведению (в общем достаточно более слабого требования, чтобы хаос домини-ровал).
Чтобы учесть все взаимодействия и быть уверенными, что они носят случайный характер, отодвинем границы системы настолько далеко, чтобы она стала изолированной островного типа (это можно сделать всегда).
Пусть система состоит из множества объектов, характеризующихся множеством парамет-ров (включая время). Тогда существует такое пространство, в котором полностью упорядочен-ная система будет являться точкой (т.н. - «пространство размерности нуля»).
При наличии флуктуаций в случае хаотического поведения она будет занимать некий фазо-вый объем (от phaze – деформир. space – «пространство») и полностью описывается фазовой плотностью (плотностью вероятности, функцией распределения – синонимы)
f(x),
нормированной на единицу :
Int (f Dx) = 1,
где x - множество координат, Dx - элемент объема (в общем случае множество координат может образовывать континуум и интегрирование становится континуальным), Int – оператор интегри-рования по области х.
Локально беспорядок будем характеризовать логарифмом фазовой плотности (аддитивной величиной в случае статистически независимых событий), взятым со знаком минус, а глобально – его средним значением :
S = - Int (f lnf Dx), -
которое на термодинамической стадии случайного процесса совпадает с энтропией (по Гиббсу. См., например, Ф.М.Куни. Статистическая физика и термодинамика. М., Наука, 1981, где при-ведены доказательства принципа возрастания энтропии для различных вариантов статсистем) и является действием статистической системы.
Флуктуации фазовой плотности del f вызывают приращение функционала S :
Del S = del S + deldel S / 2! + o((del f)(del f)),
где первая и вторая вариации S равны соответственно :
del S = - Int (del f (1 + ln f) Dx),
deldel S = - Int (((del f)(del f)/ f) Dx).
Отсюда видно, что S - выпуклый функционал : deldel S < 0 при f > 0.
Экстремум S в данной изопериметрической задаче находится из уравнения Лагранжа :
d L / d f = 0,
где
L = - f ln f + m f,
где m - множитель Лагранжа, и он достигается при условии :
- ln f = 1 - m.
Так как данный функционал выпуклый, то этот единственный экстремум является макси-мумом, и, так как, согласно его условию, все состояния в нем равновероятны, следовательно, он соответствует максимально хаотическому состоянию, в котором функция беспорядка S макси-мальна.
Из условия выпуклости S также следует, что его минимум не экстремален, он равен нулю,
S min = 0,
соответствует обращению фазовой плотности в дельта-функцию :
f = delta (x),-
т.е. полностью упорядоченному состоянию.
А так как, согласно общему принципу экстремального действия, любая система "движется" (неважно как – во времени, в пространстве) в направлении экстремума, то отсюда следует, что в случайном процессе беспорядок может стремиться только к максимуму, а полностью упорядоченное состояние, не являющееся экстремумом, недостижимо.
Следствие 1 . Если наблюдается поведение системы, далекое от хаотического : упорядо-ченное равновесие, почти стационарное периодическое движение, движение с уменьшением беспорядка, т.е. с ростом порядка (рождение, усложнение функций), - то оно не является случай-ным (под словом "поведение" имеется в виду движение ее подсистем за "время", сравнимое с характерным "временем задачи" и намного большее "времени" микрофлуктуации).
Замечание 1 . Альтернативой случайности является не просто "причинность", "закономерность", "детерминированность" (надо указать происхождение этой закономерности), а целенаправленная регулируемость, планируемость, причиной которой может быть только разумная деятельность. Эти две тенденции : упорядочивание и хаотизация – являются противоположными. Одна положительная (нравственная), другая – отрицательная (антинравственная, если инициируется сознательно). Так физика пересекается с этикой, и мы фактически получаем определение разумности, в определенной степени отражающее ее смысл.
Замечание 2 . Вывод о ненарастании порядка в случайном процессе справедлив для любых реализаций случайности : на кинетической стадии, пока не установились полностью корреляционные связи в физически бесконечно малом объеме; для термодинамических (локально равно-весных) процессов, для классических и квантовых систем и т.д..
Следствие 2 . Теорема о порядке имеет как минимум два актуальных приложения :
- капиталистический рынок, основанный на случайных флуктуациях спроса и предложения, в принципе не может являться автоматическим регулятором производства;
- миллионы видов в биосфере планеты не могли возникнуть в автономном случайном процессе мутагенеза с последующим "естественным отбором" в эволюции, в т.ч., человек не мог "произойти от обезьяны".
Замечание 3 . Альтернативой запрещенному теоремой о порядке случайному происхождению жизни является не креационизм (это представление тривиально – все, образно говоря, создано богом), а разумная, целенаправленная, планируемая, созидательная деятельность.
Следствие 3 . Теоретическим приложением теоремы о порядке является решение парадокса "тепловой смерти вселенной" : равновесие любых систем, далекое от термодинамического с максимумом беспорядка, в т.ч., вселенной (электрона, атома и т.д.), обеспечивается только коллективным разумом взаимодействующих цивилизаций.
Это возможно при нетривиальной структуре мира и свидетельствует об оперативности базиса "этического материализма" : мир материален, вся материя живая, все живое разумно, все разумное – нравственно.