Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://master.math.msu.ru/wp-content/uploads/2015/07/variant-2014-07-16-1-solutions.pdf Дата изменения: Mon Jul 13 10:18:37 2015 Дата индексирования: Sat Apr 9 22:39:25 2016 Кодировка: Windows-1251

Вступительный экзамен по математике для поступающих в магистратуру механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова по направлениям ?Математика?, ?Математика и компьютерные науки?, ?Механика и математическое моделирование? 2014 год Вариант 16-07-2014-1 с решениями

1. Ответьте на следующие вопросы: а) можно ли утверждать, что произведение F (x) = f (x)g (x) не имеет производной в точке x0 , если функция f (x) имеет производную в x0 , а функция g (x) не имеет производной в этой точке? б) что можно сказать о дифференцируемости функции F (x) = f (g (x)) в точке x0 , если функция f (y ) имеет производную в точке g (x0 ), а функция g (x) не имеет производной в точке x0 ?

Решение

а) Нельзя. Полагая x0 = 0, рассмотрим f (x) = x, g (x) = |x|. б) Функция F (x) = f (g (x)) может как иметь производную в точке x0 , так и не иметь ее. Полагая x0 = 0, рассмотрим:

1) 2)

f (y ) = y , f (y ) = y ,
2

g (x) = |x|; в этом случае функция F (x) не дифференцируема в x0 ; g (x) = |x|; в этом случае функция F (x) дифференцируема в x0 . x, y R?

2. Является ли аналитической функция f (z ) = cos x + i sin y , где z = x + iy ,

Решение

Нет, не является не выполнены условия Коши Римана:

Re(f (z )) I m(f (z )) = , x y Re(f (z )) = - sin x, x
3. Найдите предел функции
x 0

Re(f (z )) I m(f (z )) =- . y x Re(f (z )) = 0, y I m(f (z )) = 0. x

I m(f (z )) = cos y , y

lim

Решение

cos x - 3 cos x . sin2 x

Преобразуем функцию 3 1 cos x - 3 cos x (cos 2 x) 3 - (cos x) = 1 - cos2 x sin2 x

1 3

=

cos 2 x - cos x (1 - cos2 x)(cos x + cos 6 x + cos 3 x) cos x(cos 2 x - 1) (1 - cos2 x)(cos x + cos 6 x + cos 3 x)
2 1 5 2 1 5 2

3

=

=

cos 2 x - cos x (1 - cos2 x)(cos x + cos 6 x + cos 3 x) =
5 2

3

=

=

cos x(cos x - 1) (1 - cos2 x)(cos x + cos 6 x + cos 3 x)(cos 2 x + 1)
5

.

Поэтому

cos x - 3 cos x cos x(cos x - 1) = lim lim = 5 2 1 2 x 0 (1 - cos2 x)(cos x + cos 6 x + cos 3 x)(cos 2 x + 1) x 0 sin x


= - lim

cos x (1 + cos x)(cos x + cos 6 x + cos 3 x)(cos 2 x + 1)
5 2 1

x 0

=-

1 . 12

4. Найдите все положения равновесия системы { x = y - x2 - x,

y = 3x - x2 - y
и исследуйте их на устойчивость.

Решение

{

0 = y - x2 - x 0 = 3x - x2 - y

{

x y 0 = y - x2 - x { 0 = -2x2 + 2x x y

{

= 0, = 0, = 1, = 2.

Проведем линеаризацию около положения равновесию, введя отклонения (x, y ) от положения равновесия (x0 , y0 ): x = x - x0 , y = y - y0 . 1. Случай (x0 , y0 ) = (0, 0). Тогда линеаризованное уравнение в отклонениях имеет вид { x = y - x, y = 3x - y . Характеристическое уравнение имеет вид

|A - E | =

-1 - 3

1 = 2 + 2 - 2. -1 -

Так как характеристическое уравнение имеет отрицательный коэффициент, то положение равновесия неустойчиво. 2. Случай (x0 , y0 ) = (1, 2). Тогда уравнение в отклонениях имеет вид { x = y + 2 - x2 - 2x - 1 - x,

y = 3x + 3 - -x2 - 2x - 1 - y - 2.
После линеаризации получаем

{

x = y - 3x, y = x - y .

Характеристическое уравнение имеет вид

|A - E | =

-3 - 1

1 = 2 + 4 + 2. -1 -

Так как характеристическое уравнение второго порядка имеет все положительные коэффициенты, то положение равновесия устойчиво. Ответ: (0, 0) неустойчиво, (1, 2) устойчиво. 5. Определите область сходимости степенного ряда
3n + (-2)n (x + 1)n . n n=1


Решение
Определим радиус сходимости R степенного ряда по формуле

R = lim

n

3n + (-2) an = lim n 3n+1 + (-2) an+1

n n+1

2 1 + (- 3 )n n+1 ( 2 )n = lim n 3 - 2 - n 3

( ) 1 1 1+ =. n 3

Исследуем поведение ряда в граничных точках. 2 При x = - ряд расходится, так как 3 () ( )n () 3n + (-2)n 1 1 + -2 n 1 1 + -2 1 + -2 1 3 3 3 = , = , а ряд расходится. n 3n n n n 3n 3n n=1 n=1 n=1 При x = -

4 ряд сходится, так как 3 ( 2 )n
3

3n + (-2)n (-1)n (-1)n + = n 3n n n=1 n=1

,

а ряды

(-1)n 1 ( 3 )n сходятся. и n n n=1 n=1 2

[ ) 42 Таким образом, область сходимости I = - ; - . 33
6. Эллипс, имеющий фокусы в точках F1 (-3; 0) и F2 (3; 0), касается прямой x + y - 5 = 0. Составьте каноническое уравнение эллипса.

Решение

Составим уравнение эллипса: (x - 3)2 + y 2 + (x + 3)2 + y 2 = C = const > 0. Условие касания эллипса прямой эквивалентно тому, что существует единственная точка на прямой x + y - 5 = 0, координаты которой удовлетворяют уравнению эллипса, т.е. уравнение (x - 3)2 + (5 - x)2 + (x + 3)2 + (5 - x)2 + 2 ((x - 3)2 + (5 - x)2 )((x + 3)2 + (5 - x)2 ) = C 2 имеет единственное решение. После преобразований, и вводя B = C /2 > 0, получим уравнение

(9 - 2B 2 )x2 + 10B 2 x + B 2 (B 2 - 34) = 0. Если (9 - 2B 2 ) = 0, то C = 3 2 < |F1 F2 |. Это невозможно в силу неравенства треугольника, так как C это сумма расстояний от точки эллипса до каждого из фокусов и C > |F1 F2 |.
Если (9 - 2B 2 ) = 0, получим квадратное уравнение с дискриминантом

8B 2 (B 4 - 26B 2 + 153),
который обращается в ноль при B 2 = 9 и B 2 = 17 (B = 0 исключаем). В первом случае C = |F1 F2 |. Во втором случае получим эллипс с полуосями 17 и 8:

x2 y2 + = 1. 17 8


7. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений { (|x| - 6)2 + (y - 12)2 = 4,

(x + 1)2 + y 2 = a
имеет единственное решение.

2

Решение

При x 0 уравнение (|x| - 6)2 + (y - 12)2 = 4 является уравнением окружности радиуса 2 с центром в точке C1 (6; 12). При x < 0 это уравнение является уравнением окружности того же радиуса с центром в точке C2 (-6; 12). Если a = 0, то решением второго уравнения системы будут x = -1, y = 0, которые не являются решением первого уравнения. Если a = 0, то второе уравнение является уравнением окружности радиуса a с центром в точке O(-1; 0). Таким образом, требуется отыскать такие значения параметра a, при каждом из которых окружность с центром в точке O имеет единственную общую точку с парой окружностей с центрами в точках C1 , C2 . Такое возможно только тогда, когда окружность с центром в точке O касается окружности с центром в точке C1 внутренним образом либо окружности с центром в точке C2 внешним образом. В пером случае |a| = 193 + 2, а во втором |a| = 11. Ответ: - 193 - 2, -11, 11, 193 + 2. 8. Решите в целых числах уравнение

2x2 - 12xy + 19y 2 = 132.

Решение
Преобразуем уравнение

2(x - 3y )2 + y 2 = 132.

Заметим, что y четное число. Учитывая, что y 2 132 < 122 , перебором найдем искомые пары: (-2, 2), (14, 2), (-14, -2), (2, -2), (26, 10), (34, 10), (-34, -10), (-26, -10).