Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://matan.math.msu.su/files/zorich/2%20Uchebnye%20materialy/8%20Lecture%20Zamena%20peremennykh.pdf Дата изменения: Mon Dec 14 14:37:52 2009 Дата индексирования: Sun Apr 10 21:26:22 2016 Кодировка: Windows-1251

Некоторые материалы из лекций по анализу

ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ
(Вывод и первое обсуждение формулы замены переменных)
Постановка вопроса и эвристический вывод формулы замены переменных.

1.

Рассматривая интеграл в одномерном случае, мы получили в свое время важную формулу замены переменной в таком интеграле. Теперь наша задача состоит в том, чтобы найти формулу замены переменных в общем случае. Уточним вопрос. Пусть Dx множество в Rn , f интегрируемая на Dx функция, а : Dt Dx отображение t (t) множества Dt Rn на Dx . Спрашивается, по какому закону, зная f и , находить функцию в Dt так, чтобы иметь равенство

f (x) dx =
Dx D
t

(t) dt,

позволяющее сводить вычисление интеграла по Dx к вычислению интеграла по Dt ? Предположим сначала, что Dt есть промежуток I Rn , а : I Dx диффеоморфное отображение этого промежутка на Dx . Любому разбиению P промежутка I на промежутки I1 , I2 , . . . , Ik соответствует разложение Dx на множества (Ii ), i = 1, . . . , k . Если все эти множества измеримы и пересекаются попарно лишь по множествам меры нуль, то в силу аддитивности интеграла
k

f (x) dx =
Dx i=1 (Ii )

f (x) dx.

(1)

Если f непрерывна на Dx , то по теореме о среднем

f (x) dx = f (i ) ч((Ii )),
(Ii )

где i (Ii ). Поскольку f (i ) = f ((i )), где i = -1 (i ), то нам остается связать ч((Ii )) с ч(Ii ) = |Ii |.
1


2

Если бы было линейным преобразованием, то (Ii ) был бы параллелепипед, объем которого, как известно из аналитической геометрии и алгебры, был бы равен | det | ч(Ii ). Но диффеоморфизм локально является почти линейным отображением, поэтому, если размеры промежутков Ii достаточно малы, то с малой относительной погрешностью можно считать, что ч((Ii )) | det (i )| ч(Ii ) (можно показать, что при некотором выборе точки i Ii будет иметь место даже точное равенство). Таким образом,
k k

f (x) dx
i=1 (Ii ) i=1

f ((i ))| det (i )| |Ii |.

(2)

Но справа в этом приближенном равенстве стоит интегральная сумма от функции f ((t))| det (t)| по промежутку I , отвечающая разбиению P этого промежутка с отмеченными точками . В пределе при (P ) 0 из (1) и (2) получаем

f (x) dx =
D
x

f ((t))| det (t)| dt.
D
t

(3)

Это и есть искомая формула ный путь к ней можно пройти но, нам надо только показать го перехода, предполагавшего, существует, а также уточнить | det (i )| |Ii |. Проделаем это.

вместе с ее объяснением. Намеченсо всеми обоснованиями. Собствензаконность последнего предельночто стоящий в (3) справа интеграл использованную связь ч((Ii ))

а) Напомним, что любое гладкое отображение замкнутого ограниченного промежутка I Rn (как и любого выпуклого компакта) является липшицевым. Это следует из теоремы о конечном приращении и ограниченности (в силу непрерывности) на компакте:

Некоторые свойства гладких отображений и диффеоморфизмов.

2.

|(t2 ) - (t1 )| sup || ( )|| |t2 - t1 | L |t2 - t1 |.
[t1 ,t2 ]

(4)

b) Это, в частности, означает, что при отображении расстояние между точками не может увеличиться более, чем в L раз. Например, если какое-то множество E I имело диаметр d, то диаметр его образа (E ) не больше, чем Ld, и множество (E ) можно покрыть (n-мерным) кубиком с ребром величины Ld и объемом (Ld)n .


3

Так, если E n-мерный кубик с ребром , и объемом n , то его образ покрывается стандартным координатным кубиком объе ма (L n )n . c) Из этого следет, что при гладком отображении образ множества меры нуль также является множеством меры нуль (в смысле n-мерной меры). [Ведь в определении множества меры нуль, как легко заметить, можно ограничиться покрытиями из кубиков вместо покрытий общими n-мерными промежутками "прямоугольными параллелепипедами".] Если гладкое отображение : Dt Dx к тому же имеет и гладкое обратное отображение -1 : Dx Dt , т.е. если диффеоморфизм, то, очевидно, и прообраз множества меры нуль тоже имеет меру нуль. d) Поскольку при диффеоморфизме якобиан det отображения всюду отличен от нуля, а само отображение взаимно однозначно, то (в силу теоремы об обратной функции) внутренние точки любого множества при таком отображении переходят во внутренние точки образа этого множества, а граничные точки в граничные точки образа. Вспоминая определение допустимого (измеримого по Жордану) множества как ограниченного множества, граница которого имеет меру нуль, можем заключить, что при диффеоморфизме образ измеримого множества также является измеримым множеством. (Это верно и для любых гладких отображений.) Но для диффеоморфизмов еще и прообраз измеримого множества, очевидно, является измеримым множеством. e) Последнее, в частности, означает, что если : Dt Dx диффеоморфизм, то из существования интеграла, стоящего в левой части доказываемой формулы (3), (на основании критерия Лебега) вытекает и существование интеграла, стоящего справа.

3.

Покажем теперь, что если : I (I ) диффеоморфизм, то

Связь мер образа и прообраза при диффеоморфизме.

ч((I )) =
I

det (t) dt ,

(5)

в предположении положительности подинтегральной функции det . Отсюда по теореме о среднем, в частности, получится, что найдется такая точка I , что

ч((I )) = det ( ) |I |,

(6)


4

Формула (5) фактически есть частный случай формулы (3), когда f 1. Для линейных отображений она известна, хотя, возможно, без обсуждения деталей, связанных с тем, что она справедлива по отношению к линейным отображениям не только простейших параллелепипедов, но и любых измеримых множеств. Поясним это. Известно, что линейное отображение раскладывается в композицию простейших, которые, с точностью до возможной перестановки пар координат, сводятся к изменению только одной из них: умножению на число или добавлению к одной из координат другой. Теорема Фубини позволяет сказать, что в первом случае объем любого измеримого множества умножится на тот же множитель, что и умножаемая координата (точнее, на его модуль, если рассматриваются неотрицательные неориентированные объемы). Во втором случае фигура хотя и меняется, но ее объем остается прежним, поскольку соответствующие одномерные сечения лишь сдвигаются, сохраняя линейную меру. Наконец, перестановка пары координат меняет ориентацию пространственного репера (определитель такого линейного преобразования равен -1), но не меняет значения неориентированного объема фигур. (На языке теоремы Фубини это просто смена порядка двух интегрирований.) Остается вспомнить, что детерминант композиции линейных отображений является произведением детерминантов сомножителей. Итак, считая, что для линейных и аффинных отображений формула (5) уже установлена, докажем ее для произвольного диффеоморфизма с положительным якобианом. а) Воспользуемся еще раз теоремой о конечном приращении, но теперь чтобы оценить возможное отклонение отображения : I (I ) от аффинного отображения t A(t) = (a) + (a)(t - a), где t переманная, а a фиксированная точка промежитка I . Отображение A : I A(I ) есть просто линейная часть тейлоровского разложения отображения в точке a I . Применяя теорему о конечном приращении к функции t (t) - (a)(t - a), находим

|(t) - (a) - (a)(t - a)| sup || ( ) - (a)|| |t - a|.
[a,t]

(7)

Учитывая равномерную непрерывность непрерывной функции на компакте I , из (7) заключаем, что существует неотрицательная функция ( ), стремящаяся к нулю при +0, такая, что


5

для любых точек t, a I Rn |t - a| n = |(t) - A(t)| = |(t) - (a) - (a)(t - a)| ( ) . (8) b) Теперь перейдем непосредственно к доказательству формулы (5). Позволим себе сначала маленькое техническое облегчение: будем считать, что длины ребер параллелепипеда I соизмеримы и, следовательно, его можно разбить на одинаковые кубики {Ii } сколь угодно малого размера ребер i = и объема i n = n , т.е. I = i Ii и |I | = i |Ii | = i i n . В каждом кубике Ii фиксируем некоторую точку ai , построим соответствующее аффинное отображение Ai (t) = (ai ) - (ai )(t - ai ), рассмотрим образ Ai ( Ii ) границы Ii кубика Ii при отображении Ai и возьмем ( ) -окрестность этого образа, которую обозначим через i . В силу (8) образ ( Ii ) границы Ii кубика Ii при диффеоморфизме лежит в i . Значит, имеют место следующие включения

Ai (Ii ) \ i (Ii ) Ai (Ii ) i
и неравенства

|Ai (Ii )| - |i | |(Ii )| |Ai (Ii )| + |i |.
Суммируя их, находим, что

|Ai (Ii )| -
i i

|i | |(I )| =
i

|(Ii )|
i

|Ai (Ii )| +
i

| i |. (9)

Но при +0

|Ai (Ii )| =
i i

det (ai )|Ii |
I

det (t) dt ,

поэтому для доказательства формулы (5) в нашем случае осталось проверить, что i |i | 0 при +0. c) Оценим сверху объем |i |, опираясь на оценки (4) и (8). Согласно (4) ребра параллелепипеда Ai (Ii ) имеют длину не большую, чем L , где = i длина ребра кубика Ii . Поэтому (n - 1)-мерная "площадь"каждой из 2n граней параллелепипеда Ai (Ii ) не больше, чем (L )n-1 . Мы берем ( ) -окрестность такой грани. Ее объем оценивается величиной (2 + 2) ( ) (L )n-1 , где вторая двойка написана для поглощения вклада скругленных частей этой окрестности, возникающих около края самой грани. Таким образом, |i | <


6

2n 4 Ln-1 ( ) n , поэтому |i | < 8nLn
i -1 i n ( ) i = 8nL n-1

( ) |I | ,

и мы видим, что i |i | 0 при +0. d) Проведенная оценка величины |i | заодно показывает, что сколь угодно малое уменьшение ребер исходного промежитка I , которое, возможно, следовало бы сделать, чтобы получить их соизмеримость, в пределе не влияет на результат.

4.

Некоторые примеры, замечания и обобщения.

Итак формула (3) для случая Dt = I и непрерывной функции f доказана. Рассмотрим и обсудим некоторые примеры. Эти обсуждения заодно покажут, что на самом деле мы уже доказали формулу (3) не только для Dt = I и не только для непрерывной функции f . a) Пренебрежимые множества. Используемые на практике замены переменных или формулы преобразования координат иногда имеют те или иные особенности (например, где-то может быть нарушение взаимной однозначности, обращение в нуль якобиана или отсутствие дифференцируемости). Как правило, эти особенности бывают на множествах меры нуль и потому сравнительно легко преодолеваются. Например, если нам нужно перейти от интеграла по кругу к интегралу по прямоугольнику, мы часто делаем замену переменных

x = r cos ,

y = r sin .

(10)

Это хорошо известные формулы перехода от полярных координат к декартовым на плоскости. При этом отображении прямоугольник I = {(r, ) R2 | 0 r R 0 2 } преобразуется в круг K = {(x, y ) R2 | x2 + y 2 R2 }. Это отображение гладкое, но оно не является диффеоморфизмом: вся сторона прямоугольника I , на которой r = 0, переходит при этом отображении в одну точку (0, 0); образы точек (r, 0) и (r, 2 ) совпадают. Однако если рассмотреть, например, множества I \ I и K \ E , где E объединение границы K круга K и радиуса, идущего в точку (0, R), то ограничение отображения (10) на область I \ I окажется ее диффеоморфизмом на область K \ E . Значит, если вместо прямоугольника I взять лежащий строго внутри него чуть меньший прямоугольник I , то к нему и его образу K применима формула (6). А тогда, исчерпывая прямоугольник I такими прямоугольниками I и замечая,


7

что при этом их образы K исчерпывают круг K , что |I | |I | и |K | |K |, в пределе получаем формулу (6) применительно к самой исходной паре K, I . Сказанное, естественно, относится и к общей полярной (сферической) системе координат в Rn . Разовьем сделанное наблюдение. b) Исчерпания и предельные переходы. Исчерпанием множества E Rm будем называть такую последовательность измеримых множеств {En }, что En En+1 E при любом n N и
n=1

En = E .

Лемма. Если {En } исчерпание измеримого множества E , то
a) lim ч(En ) = ч(E ) ;
n

b) для любой функции f R(E ) также f |
n E

E

n

R(En ) и

lim

f (x) dx =
n

f (x) dx.
E

n

(a) Поскольку En En+1 E , то ч(En ) ч(En+1 ) ч(E ) и lim ч(En ) ч(E ). Для доказательства равенства a) покажем, что
n

выполняется также неравенство lim ч(En ) ч(E ).

Граница E множества E компакт меры нуль, поэтому ее можно покрыть конечным числом открытых промежутков, сумма объемов которых меньше наперед заданной величины > 0. Пусть объединение всех этих открытых промежутков. Тогда множество O = E открыто в Rm , причем по построению O содержит замыкание E множества E и ч(O) ч(E ) + ч() < ч(E ) + . Для каждого множества En исчерпания {En } повторим описанное построение со значением n = /2n . Получим последовательность открытых множеств On = En n таких, что En On ,

ч(On ) ч(En ) + ч(n ) < ч(En ) + n и



On



Система открытых множеств , O1 , O2 , . . . образует открытое покрытие компакта E . Пусть , O1 , O2 , . . . , Ok извлеченное из него конечное покрытие компакта E . Поскольку E1 E2 . . . Ek , то множества , 1 , . . . , k , Ek тоже образуют покрытие E и, значит,

n=1

n=1

En E .

ч(E ) ч(E ) ч(Ek ) + ч() + ч(1 ) + . . . + ч(k ) < ч(Ek ) + 2.
Отсюда следует, что ч(E ) lim ч(En ).
n


8

(b) То, что f |En R(En ), нам хорошо известно и следует из критерия Лебега существование интеграла по измеримому множеству. По условию f R(E ), значит, существует постоянная M такая, что |f (x)| M на E . Из аддитивности интеграла и общей оценки интеграла получаем

f (x) dx -
E En

f (x) dx =
E \En

f (x) dx M ч(E \ En ).

Отсюда с учетом доказанного в a) заключаем, что утверждение b) действительно справедливо. Аддитивность интеграла и возможность исчерпания области интегрирования такими областями, где формула замены переменных заведомо действует, позволяет применять ее и к исходным областям. Вообще, идея исчерпания лежит в основе многих конструкций анализа, в частности, в основе определения несобственного интеграла. Об этом в продолжении. Мы привели прямое доказательство формулы замены переменной. Свободно владеющие дифференциальным исчислением функций многих переменных могли бы предпочесть иной подход, например, тот, который изложен в учебнике. Там же (в основном тексте и в задачах) стоит взглянуть на формулировки важных математических фактов, которые тесно связаны с разбираемыми вопросами.