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2

1
1.


2. ( 1) (2) (3 ) (4) (5 ) (6) (7) (8 ) (9) (10) ( 11)

36 18 36 90

. . . .



. . . . . . . . . . . 3.


N -- . Z -- . Q -- . R -- . x -- (« x»). x -- (« x, . . . »). !x -- (« x, . . . »). = -- («»). -- . n! = 1 · 2 · 3 · . . . (n - 1) · n -- n. : (2n + 1)!! = 1 · 3 · 5 · . . . (2n - 1) · (2n + 1), (2n)!! = 2 · 4 · 3 · . . . (2n - 2) · (2n). :
n n n

ak = a1 + a2 + · · · + an =
k =0 i=0

ai ,
k =0

ak = a1 · a2 · . . . · a n .


3

4.



--. : , , . : (1) (« », « » . .; 8 ); (2) ( « »; 4 ); (3) (, ; 5 ); (4) (1 ); (5) (2 ). 5.


-- , . 5.1. . O -- , i, j , k -- (); e1 , e2 , e3 . x -- , y -- , z -- . - OA -- - A. x1 , x2 , x3 . y z A A j O i x x M1 (x1 ) M2 (x2 ) : M1 M2 = |x2 - x1 | = (x2 - x1 )2 . i k O j y

M1 (x1 , y1 ) M2 (x2 , y2 ) : M1 M2 = y y M
2 2

(x2 - x1 )2 + (y2 - y1 )2 .

y

M
1

1

O

x

1

x

2

x


4

: M1 (x1 , y1 , z1 ) M2 (x2 , y2 , z2 ) M 1 M2 = (x2 - x1 )2 + (y2 - y1 )2 + (z2 - z1 )2 .

5.2. . y z A e3 e2 O e1 x x O e1 y e2 A

e1 , e2 , e3 , = 1. . . A(x1 , y1 ) B (x2 , y2 ); () . C (x, y ), AB |AC | : |B C | = m : n. y B C A O x
1

x x x
2

, x - x1 m = , x2 - x1 m+n nx1 + mx2 x= . m+n ( ) C . 5.3. . y A

r
O x


5

: 0 r < +,

(r, ) -- A. : r = x2 + y 2 , x cos = x = r cos , , x2 + y 2 y = r sin , y sin = . x2 + y 2 0 < 2 .

, 2 n, n Z; 0 < 2 (mod 2 ).

5.4. . z

O
r

h y

x (r, , h) -- A. r = x = r cos , cos y = r sin , sin z = h, h=z : x2 + y 2 , x = , 2 + y2 x y = , 2 + y2 x .


6

5.5. . z


r

A

O y x

: 0 0 0

(r, , ) -- A. : x = r cos sin , y = r sin sin , z = r cos . r < +, , (mod 2 ).

< 2

-- . z

A
r

O x

y

(r, , ) -- A. : x = r cos cos , y = r sin cos , z = r sin .


7

: , 0 r < +, - 2 2 6.

- <



(mod 2 ).



-- F (x, y ) = 0, (x, y ) , . 3 : G(x, y , z ) = 0. . . , Oz , G(x, y ) = 0. .

z

B

y x

A

, (): x - |x| - y + |y | = 0. y

O x


8

6.1. . -- : Ax + B y = C. . 1. : y = k x + b. k -- : k = tg . y

O

x

2. « »: xy + = 1. ab y b

x O a

6.2. . R : x2 + y 2 = R 2 . R C (a, b): (x - a)2 + (y - b)2 = R2 .


9

y

O
R

R
C (a, b)

x

6.3. . y = ax 2 , y y= a . x y

O

x

O

x

7.



7.1. . , x = (t), y = (t), t .

: x = (t), y = (t), z = (t), t .

-- , t -- . . R : x = R cos t, y = R sin t, 0 t < 2 (mod 2 ).

t Ox - .


10

y

A t

O

x

. -- . R, -- . x = a( - sin ), y = a(1 - cos ).

y

O



x

. . : Oxy R Oz c: x = R cos t, y = R sin t, z z = ct .

O y x . . x = t cos t, y = t sin t, z = t.


11

z

x

O

y

7.2. . : (1) F (x, y , z ) = 0; (2) x = (u, v ), y = (u, v ), z = (u, v ), (u, v ) D R2 ;

u, v -- ; (3) : z = f (x, y ). . R : x2 + y 2 + z 2 = R 2 . : x = R cos u sin v , y = R sin u sin v , z = R cos v ,

0 0 z

u < 2 , v .

y x

, : z=± R 2 - x2 - y 2 .


12

8.



8.1. . () : F (x, y , z ) = 0, G(x, y , z ) = 0. . -- R 2R, . z

O x

y

. : x2 + y 2 + z 2 = 4R2 , z 2 = 4R2 - 2Rx. x = r cos t, x2 + y 2 = 2Rx r2 = 2Rr cos t r = 2R cos t. x y : x = r cos t = 2R cos2 t = R(1 + cos 2t), y = r sin t = 2R sin t cos t = R sin 2t. t 0 z : z 2 = 4R2 - 2Rx = 4R2 sin2 t z = ±2R sin t. ±, t 0 t < 2 . t . y = r sin t. (x - R)2 + y 2 = R2 x2 + y 2 = 2Rx.


13

8.2. . M (x, y , z ) Oxy N (x, y ). , -- . F (x, y , z ) = 0 G(x, y , z ) = 0, Oxy z . . Oxy -- x = R(1 + cos 2t), y = R sin 2t. t, (x - R)2 + y 2 = R2 .

, : x = R(1 + cos 2t), y = R sin 2t, z = 2R sin t,

0

t < 2 .

9.



-- , «... ...». = . -- , . ; -. A = B ; A -- , B -- . A , B . A , B . B , A. B A . 2, , 7: 2 = 7
2

: 23 7, 2 . « ». , , : 2, 7.


14

2, , 0: 0
2

= 2

: 14 2, 0. « ». , , : ( ) 2 , -- . , .. , , -- , .. , . , : 2, , . , , . A = B . -- B = A; , . , , . . : 3 = 3. 3 = 3 . , : 3 3 . : = . = . A = B .


15

-- ¬A = ¬B ( ¬ ). . , : ¬B = ¬A, A = B . « » , , : (¬B = ¬A) (A = B ) . 10.


1. , F1 (-a; 0) F2 (a; 0) a2 . . (x2 + y 2 )2 = 2a2 (x2 - y 2 ). (x - a)2 , 2. , + y 2 = a2 (a > 0) B . B B M B N b. M N . .

. (x2 + y 2 - 2ax)2 = b2 (x2 + y 2 ). 3. a , . , , P . M , P . M , . . . x
2/3

+y

2/3

=a

2/3

.