Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://matematika.phys.msu.ru/files/a_stud_spec/254/lection7.pdf Дата изменения: Wed Sep 14 22:11:16 2011 Дата индексирования: Mon Oct 1 23:57:43 2012 Кодировка: Windows-1251

Лекция

7

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВ БАНАХА

1. Введение
Напомним определение вещественного нормированного пространства: Определение чисел (i) 1. Вещественным нормированным пространством называется линейное пространство

B

над полем вещественных

R1 x

такое, что определена неотрицательная функция норма 0 для всех

, удовлетворяющая следующим свойствам: когда (ii) (iii)

x = B,

где

x B, причем x = нулевой элемент
для всех всех

0 тогда и только тогда, линейного пространства

B; x+y x+y x = || x для [a, b] R
1

x, y B;
1

R

и всех

x B.

ПРИМЕР менте

1 . Рассмотрим множество всех непрерывных на сег-

для двух произвольных функций

R1

выражение

f (x) C[a, b]. Заметим, что f1 (x), f2 (x) C[a, b] и любых 1 2 1 f1 (x) + 2 f2 (x) C[a, b]. Стало быть, C[a, b] это
) функций

([a,

b] =

линейное пространство над полем вещественных чисел. Определим над этим пространством вещественную функцию

f sup |f (x)|.
x[a,b]

(1.1)

Проверим, что эта функция норма над линейным пространством

C[a, b]. Действительно, f 0, причем f = 0 тогда и только тогда, |f (x)| = 0 для всех x [a, b]. А равенство |f (x)| = 0 эквивалентно равенству f (x) = 0. Стало быть, доказали (i). Теперь в силу очевидного неравенства |f (x) + g (x)| |f (x)| + |g (x)| взяв supremum по x [a, b]
когда от обеих частей этого неравенства получим (ii). Наконец, поскольку

|f (x)| = |||f (x)| приходим к (iii). Значит, функция (1.1), определенC[a, b], действительно норма. Значит, линейное пространство C[a, b] становится нормированным относительно нормы (1.1).
ная над Возникает естественный вопрос: А есть ли другие нормы, относительно которых пространство

C[a, b]

становится нормированным? Ответ


78

Лекция 7. Свойства пространств Банаха

прост таких норм неограничено много. Например, возьмем вместо нормы (1.1) следующую

f

c1 sup |f (x)|
x[a,b]

,

c1 > 0.

(1.2)

или более нетривиальную:

f

|f (a)| + sup |f (x)|.
x[a,b]

(1.3)

Давайте проверим, что функция, определенная формулой (1.3) действительно норма. Свойство (i) выполнено, поскольку с одной стороны

f

0 для всех

f (x) C[a, b],
0 и

а с другой стороны имеем

f

=

0

тогда и только тогда, когда одновременно имеют место равенства

|f (a)| =

|f (x)| =

0

для всех

x [a, b],

но последние выражения эквивалентны следующему

|f (x)| =

0

для всех

x [a, b],
0 для всех

а отсюда сразу же получаем, что выполнено неравенство

f (x) =

x [a, b].

Таким

образом, (i) доказано. Для доказательства свойства (ii) заметим, что

|f (x) + g (x)|
и, в частности,

|f (x)| + |g (x)| |f (a)| + |g (a)|.

|f (a) + g (a)|

Таким образом, приходим к свойству (ii). Свойство (iii) вытекает из следующих равенств

|f (x)| = || |f (x)|
задачи математической физики.

и

|f (a)| = || |f (a)| .

Выбор той или иной нормы обусловлен потребностями конкретной Напомним теперь определение вещественного пространства Банаха. С этой целью введем понятие фундаментальной последовательности или последовательности Коши. Определение 2 . Последовательность

{un } B (B

норми-

рованное пространство) называется фундаментальной последовательностью или последовательностью Коши, если

n,m+

lim

un - um = 0.

(1.4)

Очевидно, что сходящаяся по норме последовательность элементов

{un } B,

т. е. если для некоторого

uB
при

имеем ,

un - u
является фундаментальной.

0

n +


1. Введение

79

ПРИМЕР

2 . Давайте сначала обсудим понятие фундаменталь-

ной последовательности в случае, когда многочленов степени не выше

рованное пространство. Например, когда

n N.

B это конечномерное нормиB = Pn+1 [a, b] пространство n+
1, базис которого

Как известно из курса линейной

алгебры это линейное пространство размерности можно определить, например, так 1, Заметим, что

x, x2 , ..., x P

n

,

для всех

x [a, b].

n+1

[a, b] C[a, b]. nN [a, b].

(1.5) является

Действительно, всякий многочлен степени не выше непрерывной функцией на сегменте норму над пространством

Стало быть, в силу (1.5)

P

n+
,

1

[a, b]

можно задать, например, так

u sup |u(x)|
x[a,b]

для всех

u(x) P P
n+

n+1

[a, b].

(1.6)

Заметим, что можно норму над пространством над

C[a, b]

1

[a, b]

(и, более того,

) задать формулой

b

f

(i)


a

|f (x)| dx,

где интеграл понимается в смысле Римана. Докажите сами, что это действительно норма над линейным пространством ности, над

Pn

+1

[a, b]

. Итак, пусть

{pm (x)} P

n+1

C[a, b] [a , b ]

и, в частэто фунда-

ментальная относительно нормы (1.6) последовательность многочленов степени не выше Замечание

n N.
1 .В этом предположении кроется существенно важ-

ный момент: в случае бесконечномерного линейного пространства

B,

если у нас имеется произвол в выборе нормы, то может быть так случиться, что относительно одной нормы заданная последовательность

{un } B

является фундаментальной, а относительно другой нормы

не является фундаментальной. Этот важный момент обсудим позже. Заметим, что поэтому для заданного линейного пространства пространства ность

B

всегда

нужно указывать норму, относительно которой строиться из линейного

B

нормированное пространство.

Поскольку пространство

P

{pm (x)}

n+1

[a, b]
n

конечномерно, то последователь-

можно представить в следующем виде

pm (x) =
k=0

mk xk .


80

Лекция 7. Свойства пространств Банаха

Поскольку последовательность рим две последовательности

{pm (x)}

фундаментальна, то рассмот-

n

n

pm (x) =
k=
для которых имеем
0

mk xk

и

pl (x) =
k=0

lk xk

,

n

pm (x) - pl (x) =
k=
0

[mk - lk ] xk

(1.7)

Заметим, что имеют место неравенства

sup |xk | >
x[a,b]

0

для всех

k=

1,

n. {pm (x)} {mk } {pm (x)}

Докажем, что условие фундаментальности последовательности на отрезке

[a, b]

эквивалентно условию фундаментальности каждой

последовательности чисел фундаментальны для всех неравенств

{mk } k=
0,

для всех

k=

0,

n

. Очевидно, что

из представления (1.7) вытекает, что если последовательности

n

, то последовательность

фундаментальна. Действительно, это следствие следующей цепочки

n

pm (x) - pl (x) =
k=0 n

[

mk

- lk ] x

k

|mk - lk | sup |xk | +
k=0
Поскольку из равномерной по

0

при

m, l +.

x[a,b]

x [a, b]
0

сходимости следует поточечная

сходимость, то из условия, что

pm (x) - pl (x)
следует, что для всех

при

m, l +

x [a, b]

имеем

n

[mk - lk ] xk
k=
0

0

при

m, l +.
разность

Предположим, что для некоторых не сходится к нулю:

k [0, n]
0,



kml

=

mk

-

lk

k

ml

k =

тогда в пределе получим

n

k xk =
k=0

0,

для всех

x [a , b ]

,


1. Введение

81

но в силу линейной независимости базиса 1, все коэффициенты

x, x2 , ..., xn [a, b]

получим, что следует фун-

k =

0 при

тальности последовательности

k = 0, n. {pm (x)}

Следовательно, из фундаменна отрезке

даментальность последовательностей чисел

{mk }

для всех

k=

0,

n

.

Но поскольку всякая фундаментальная последовательность чисел сходится, то получаем, что всякая фундаментальная последовательность многочленов из пространства

P

nN

n+1

[a, b]

многочленов степени не выше

сходится.

Можно доказать в общем виде, что этот результат справедлив для любого конечномерного пространства: Т е о р е м а 2. Всякая фундаментальная последовательность (относительно ства нормы

) конечномерного нормированного простран-

B

сходится в этом пространстве.

Введем понятие полноты нормированного пространства. О п р е д е л е н и е 3 . Нормированное пространство

B

называется

полным, если каждая фундаментальная последовательность сходится в этом пространстве, т. е. если для любой последовательности

{un } B

из условия, что

un - u

m



0

при

n, m +
что

следует существование такого

u B,
при

u - un

0

n +.

Объединение понятие нормированного пространства и полноты приводит нас к понятию пространства Банаха: Определение 4 . Полное нормированное пространство называется пространством Банаха.

З а м е ч а н и е 2 . В силу теоремы 1 приходим к выводу, что всякое конечномерное нормированное пространство является банаховым. Так что свойство полноты конечномерного нормированного пространства автоматически выполнено. Поэтому изучение полноты нормированного пространства имеет смысл только в случае, когда оно бесконечномерное линейное пространство. ПРИМЕР 3. Рассмотрим пространство

C

(1)

[

0, 1

]

непрерывно

дифференцируемых функций на отрезке имеем

[

0, 1]. Очевидно, что это про-

странство линейное и к тому же бесконечномерное. Действительно,

C(1) [0, 1] для всех n N. И поскольку размерность пространства dim Pn+1 [0, 1] = n + 1 приходим к выводу, что простран(1) ство C [0, 1] бесконечномерное. Рассмотрим на пространстве C(1) [0, 1] P
n+1 [0, 1]
функцию

u sup |u(x)|.
x[
0,1]

(1.8)

Нетрудно убедиться, что эта функция является нормой на пространстве

C

(1)

[

0, 1]. Докажем, что нормированное пространство

C

(1)

[

0, 1

]

отно-


82

Лекция 7. Свойства пространств Банаха

сительно нормы (1.8) не является полным. С этой целью нам достаточно привести пример фундаментальной последовательности, которая не сходится по норме (1.8) в пространстве

C(1) [0, 1] -
1 2 1

. Действительно,

рассмотрим следующую последовательность функций:

x

,

при при при

x x x

0,
1 2 1 2

1 2

2+

n

, (1.9)
2

un (x) =

1 - x, n (x), , причем 1 2

+ -

+n , 1 , +n ,
1 1 2

2

+

+n

1

,

где

n (x) C [0, 1] 0
)
1 2

( nk

-

1 2

+n

=

-

1 2

+n

и

( nk

)

1 2

+

1 2

+n

=

1 2

-

1 2

+n

,

для всех

k N,
0 при

n (x) =
и, кроме того,

x
1 2

0,

1 2

-

3 22

1

1 2

+n

+

3 22

1

+n

n



1 2

при

n +. x[
0, 1] сходится к функции 0,
1 2 1 2

Эта последовательность равномерно по

u(x) =

x, 1 - x,

при при

;

,1

.
(1)

Эта функция, очевидно, непрерывна, но ее производная терпит разрыв первого рода в точке пространство

x = 1/

2. Стало быть,

u(x) C /

[0, 1]

. Значит,

нормированное относительно нормы (1.8) линейное бесконечномерное

C(1) [0, 1] u

линейном пространстве

C(1) [0, 1]
x[0,1]

не является полным. Заметим, что если на ввести норму следующим образом , (1.10)

sup |u(x)| + sup u (x)
x[
0,1]

где

u (x)

это производная функции

нормы пространство

C

(1)

u(x),

то относительно этой

[

0, 1] будет полно.

В связи в с последним примером возникает вопрос: на одном и том же линейном пространстве, вообще говоря, можно ввести нормы самым различным образом, но как соотнести эти различные нормы? Ведь относительно одних норм линейное бесконечномерное пространство является полным, а относительно других нет. На выручку приходит понятие эквивалентных норм. Определение
стве

5.

На одном и том же линейном пространи называются эквивалентными, если

B

две нормы


1. Введение

83

найдутся

такие

две

постоянные

0

< c1 < c
для всех

2

, что имеют место

неравенства

c1 u
Замечание 3.

u

c2 u

u B.

На конечномерном линейном пространстве все

нормы эквивалентны. П Р И М Е Р 4 . Рассмотрим пространство дем другую норму следующим образом:

C(1) [

0, 1]. Мы уже ввели

на этом линейном пространстве норму по формуле (1.10). Теперь вве-

u

|u(0)| + sup u (x) .
x[0,1]

(1.11)

Докажем, что на линейном пространстве

C(1) [

0, 1] нормы (1.10) и (1.11)

эквивалентны. Из вида этих норм сразу же получаем, что

u
очевидное равенство:

u

для всех

u C(1) [

0, 1

]. [0, 1]
имеет место

Теперь заметим, что для любой функции

u(x) C

(1)

x

u(x) = u(0) + u (s) ds,
0

для всех

x (0, 1),

из которого вытекает следующая цепочка неравенств

x

x

|u(x)|

|u(0)| +
0

u (s) ds

|u(0)| +
0 1

u (s) ds

|u(0)| +
0

u (s) ds

|u(0)| + sup u (x) .
x[
0,1]

Отсюда сразу же получаем, что

sup |u(x)|
x[
0,1]

|u(0)| + sup u (x) .
x[0,1]

(1.12)

В силу (1.12) справедливо неравенство

u

|u(0)| +

2

sup u (x)
x[
0,1]

2

u

.

Значит, приходим к неравенствам

u

u

2

u

для всех

u(x) C

(1)

[0, 1].


84

Лекция 7. Свойства пространств Банаха

Стало быть, нормы (1.10) и (1.11) эквивалентны и поэтому, в известном смысле, порождают одно и тоже топологическое пространство

C

(1)

[

0, 1].

2. Сильная, слабая и

-

слабая сходимости.

Как хорошо известно из курса линейной алгебры для любого конечномерного вещественного линейного пространства так называемое, линейно-сопряженное пространство линейных функций функционалов:

B#

B

существует,

, состоящее из

f : x B R1

,

причем в силу линейности функционалов пространство нейное, причем размерности пространства Определение Однако, в 6.
Пространство

B#

тоже ли-

B.

Эта конструкция легко
это линейное про-

переноситься на случай бесконечномерного пространства.

B#

странство линейных функционалов над пространством

B.
когда все

отличие

от

конечномерного

пространства,

нормы на нем эквивалентны, в случае бесконечномерного линейного пространства

B

на нем можно задать различные виды сходимостей.

Начнем с того, что на пространстве Банаха уже есть сходимость, которую мы назовем сильной: Определение 7.
Сильной сходимостью последовательности

{un }

в банаховом пространстве

B

к некоторому элементу

uB

называется сходимость по норме следующей числовой последовательности:

un - u

0

при

n +

для некоторого

u B.

(2.1)

В дальнейшем сильную сходимость будем обозначать следующим образом:

un u
введенного пространстве 8.

в

B
к

при

n +.
сходимости в линейновыделить

С

учетом

понятия

сопряженном

B#

сильной

пространству

B

можно

линейное подпространство линейных и непрерывных функционалов: Определение
ства

B#

Непрерывным функционалом из простран-

называется элемент

f B#

, удовлетворяющий тому усло-

вию, что числовая последовательность

f (u)

{f (un )}

сходится к числу

для любой сильно сходящейся последовательности

банаховом пространстве

B. B f B

un u

в

Пространство линейных и непрерывных функционалов над банаховым пространством

B

обозначим через

. В дальнейшем, удобно будет на элементе

обозначить действие линейного функционала в виде скобок двойственности:

uB
(2.2)

f, u

для всех

f B

и

u B.


2. Сильная, слабая и

-

слабая сходимости.

85

Это обозначение удобно, потому что выражает тот факт, что как функция двух переменных скобка двойственности является билинейным функционалом над

B B.

B

Возникает вопрос: что можно сказать о линейном пространстве ? Можно ли ввести на нем такую норму, относительно которой это

пространство является банаховым, или нет? Для ответа на эти вопросы введем на линейном, очевидно, бесконечномерном пространстве (в том случае, конечно, когда образом:

B

B

бесконечномерно) норму следующим (2.3)

f



sup | f , u | .
u=
1

Докажем, что это действительно норма. Ясно, что

f



=

0. Докажем, что отсюда следует, что

есть нулевой функционал. Пусть противное:

f 0. Пусть f = , где B f = . Пусть v B это
,

произвольный ненулевой фиксированный элемент, тогда найдется такое

R>

0, что

u=
и мы имеем

1

для

u=

v R

| f, u | =
Значит, т. е.

0

f, v = B B
#

0

для всех

v B. B
, но

f

это нулевой функционал линейного пространства

в линейном пространстве

нулевой функционал единственный,

f = .

Таким образом, свойство (i) доказано. Докажем теперь

свойство (ii). Действительно,

f1 + f

2



= sup | f1 + f2 , u |
u=
1

sup | f1 , u | + sup | f2 , u | = f1
u=
1



u =1

+ f2

,

B B,

поскольку в силу того, что то

ћ, ћ

это билинейный функционал над

| f1 + f2 , u | = | f1 , u + f2 , u |

| f1 , u | + | f2 , u | .

Свойство (iii) имеет место в силу следующей цепочки равенств:

| f , u | = | f , u | = || | f , u | .
Справедлива следующая полезная лемма: Л е м м а 1. Пусть
неравенство

uB

и

f B

, тогда имеет место следующее

| f, u |

f



u. B

(2.4)

Доказательство. По определению нормы (2.3) пространства

имеем неравенство (2.5)

| f, u |

f



u

для всех

u = 1.


86

Лекция 7. Свойства пространств Банаха

Пусть

v B,

тогда если

v=

нулевой функционал пространства

B,

то неравенство (2.4), очевидно, выполнено. Пусть теперь найдется такое

v = ,

тогда

R>

0, что

v = R, но тогда для v u= имеем u = 1, R

и, значит, после подстановки в (2.5) получим в силу свойств скобок двойственности следующее неравенство

| f, v |
Лемма

f



v

для всех

vB

и

f B

доказана.

Справедливо следующее утверждение: Т е о р е м а 3. Для произвольного нормированного пространства
сопряженное пространство нормы (2.3).

B

B

является банаховым относительно

Доказательство. Действительно, пусть такое натуральное неравенство

{fn } B

это фундаментальная после-

довательность функционалов, т. е. для произвольного

N () N

, что для всех

n, m

> 0 найдется N () имеет место

fn - fm | fn , u - fm , u |



. u u

Но тогда имеет место следующая цепочка неравенств:

fn - f

m

?поточечено? по

u B.

Следовательно, для каждого фиксированного

uB

последовательность

{ fn , u } R1
является фундаментальной и, следовательно, сходится в дется такой функционал

f B



R1

, т. е. най-

, что ?поточечено? имеет место следу-

ющее предельное равенство:

f , u = lim
Чтобы доказать полноту

n+

fn , u . fn - f
m
существует для каждого

n, m
и

n().

Тогда

B f , u = lim

предположим, что

n+

fn , u

< при uB

| f , u - fn , u |

| f , u - fm , u | + fm - fn u < < | f , u - fm , u | + u .
при

Так как левая часть этого неравенства не зависит от

m +, получаем, что | f , u - fn , u | по u B для которых u 1. Отсюда из < + и что f - fn 0.
Те о р е м а доказана.

n

m, n()

то, полагая равномерно

леммы 1 следует, что

f



<


2. Сильная, слабая и

-

слабая сходимости.

87

Таким образом, пространство нормы

B

является банаховым относительно

есть сильная сходимость в пространстве стей банахова пространства Определение
элемента

. Совершенно понятно, что сходимость по норме

B



.

Перейдем теперь к понятию слабой сходимости последовательно-

B.

Дадим следующее определение.

9.

Последовательность

слабо сходящейся к некоторому элементу

f B

{un } B u B, если

называется для любого

имеем

f , un f , u .
Слабую сходимость последовательности элементу

uB

{un } B

к некоторому

будем обозначать следующим образом:

un

u

слабо в

B.

Теперь можно ввести понятие слабой фундаментальной последовательности или слабой последовательности Коши. О п р е д е л е н и е 1 0 . Последовательность
ного пространства

B

{un } B

нормирован-

называется слабо фундаментальной или сла-

бой последовательностью Коши, если для любого фиксированного

f B

имеем

| f , un - f , um |

0

при

n, m +.

(2.6)

Очевидно, как всегда, что слабо сходящаяся последовательность

un

u

в нормированном пространстве

B

является слабо фундамен-

тальной. В определенном смысле сильная сходимость в банаховом пространстве

B

является равномерной сходимостью, а слабая сходимость 4. Всякая сильно сходящаяся последовательность

поточечной. Замечание

{un } B

является слабо сходящейся. Действительно, в силу леммы 1

имеет место оценка:

| f , un - f , u |

un - u f





0

при

n +.

Возникает естественный вопрос: всякая ли слабо фундаментальная последовательность является слабо сходящейся в пространстве

B?

Во-первых, заметим, что даже в том случае, когда

B

есть

пространство Банаха, то отсюда отнюдь не следует, что всякая слабо фундаментальная последовательность слабо сходится в тельно, ?банаховость? пространства последовательность сходится в

B.

Действи-

B

лишь гарантирует, что сильно

фундаментальная последовательность или просто фундаментальная

B.

Очевидно, что фундаментальная по-

следовательность есть слабо фундаментальная последовательность, но обратное неверно. Поэтому введем новое понятие.


88

Лекция 7. Свойства пространств Банаха

Определение
ность

11.

Банахово

пространство

B

называется

слабо полным, если всякая слабо фундаментальная последователь-

{un } B

слабо сходится к некоторому элементу

uB:

un

u

в

B. H
со счетным

Л е м м а 2. Вещественное гильбертово пространство
базисом слабо полно.

Доказательство. Пусть

H

имеет счетный ортонормированный базис

произвольный элемент

uH u=

{e k }

+ k=1 , т. е.

можно представить в виде ряда

+

k e
k=1

k,

k R1

,

причем этот ряд абсолютно сходится, т.е.

n

u-
k=1

k e

k



0

при

n +

,

где указанная норма определяется через скалярное произведение

u (u, u)
со своим сопряженным, т.е. последовательности венству:

1 /2

. H
уже отождествлено

Предположим, что гильбертово пространство

H = H.

Тогда слабая фундаментальность

{un }
0

эквивалентна следующему предельному ра-

(un - um , v ) {ek } :

для всех

vH

при

n, m +. {un } H

(2.7) по базису

Итак, разложим элемент

un

последовательности

+

un =
k=1

nk ek

,

тогда предельное равенство (2.7) можно переписать в виде

+

(nk - mk ) (ek , v )
k=1
при

0

для всех

vH v=e
j
при

(2.8)

=

1, 2,

n, m +. Будем последовательно ..., n, .... Тогда из (2.8) получим nk -
mk

брать

j=



0

при

n, m + {

для всех

k N.

Значит, числовая последовательность всех

kN

+ nk }n=1 фундаментальна для

. Стало быть, она имеет предел

nk k

при

n +

для всех

k N.


2. Сильная, слабая и

-

слабая сходимости.

89

Но отсюда следует, что

+

+

(un , v ) =
k=1

nk (ek , v )
k=
1

k (ek , v )

при

n +
символом элементов получаем,

для всех v Hl span{e1 , e2 , ..., el } при l N, где span{e1 , e2 , ..., el } обозначена линейная оболочка указанных гильбертова пространства H. В силу произвольности l N что

+

un
Лемма стве доказана.

u=
k=1

k ek .

Теперь мы можем ввести понятие

B

-слабой

сходимости в простран-

. Дадим следующее определение: 1 2 . Последовательность элементов

-слабо сходится к некоторому элементу f B u B имеет место предельное равенство | fn , u - f , u |
Обозначается 0
при

Определение

{fn } B

, если для любого

n +.

(2.9)

-

слабая сходимость следующим образом:

f

n



f

-

слабо в

B B {fn } B

(2.10) относиследует

Разумеется, что из сильной сходимости в пространстве тельно нормы (2.3) последовательности элементов их

-

слабая сходимость. Действительно, в силу леммы 1 имеем нера-

венство

| fn - f , u |

fn - f



u. B B#
является банаявляется

Как мы уже доказали, линейное пространство

ховым в силу результата теоремы 2 относительно нормы (2.3). Теперь возникает вопрос: при каких условиях пространство

B

-

-

слабо полно в смысле ниже следующего определения? Определение 13.
Пространство слабо

B

называется

-

слабо

полным, ность

{fn } B
m,

если

всякая

-

фундаментальная

последователь-

сходится, т. е. если при выполнения следующего

условия

| fn , u - f

u |

0

при

n, m +
, что
слабо в

,

для всех

uB

(2.11)

найдется такой элемент

f B f

f

n



-

B . H
со счетным

Частичный ответ на этот вопрос дает следующая лемма. Л е м м а 3. Вещественное гильбертово пространство
базисом

-

слабо полно.


90

Лекция 7. Свойства пространств Банаха

Доказательство. Мы можем считать, что гильбертово пространство дествленно со своим сопряженным:

H = H

. Поэтому

H уже отож-слабая схо-

димость в гильбертовом пространстве эквивалентна просто слабой сходимости. Далее осталось применить лемму 2. Лемма доказана. Продолжим наше исследование дальше. Поскольку

B

является ли-

нейным, то для него существует пространство линейных функционалов

B B

# #

. Если теперь рассмотреть только те из функционалов пространства , которые являются непрерывными относительно нормы (2.3), то

уже стандартным образом приходим к пространству ющее определение: О п р е д е л е н и е 1 4 . Через

B

. Дадим следу-

B

обозначено пространство линей-

ных и непрерывных функционалов над пространством

B

, относи-

тельно нормы (2.3), т. е. множество линейных функционалов

B

#

v

, которые удовлетворяют условию

| v, f
при

n

- v, f |

0

для всех

fn f

сильно в

B ћ, ћ

,

(2.12)

n +
и

относительно нормы (2.3), где символом

обозна-

чены скобки двойственности между банаховыми пространствами

B

B

, т. е.

ћ, ћ

Понятно, что в силу теоремы 2 пространство является банаховым относительно нормы

это билинейный функционал над

B B .

B

действительно

v



sup | v , f |
f


(2.13)

=1

и в силу леммы 1 имеет место полезное неравенство

| v, f |

v



f

,

для всех

v B B

и

f B .

(2.14)

Заметим, что линейными и непрерывными относительно нормы (2.3) функционалами над пространством странства являются все элементы про-

B.

Действительно, во-первых, имеем

ћ, u : B R

1

,

во-вторых, имеют место выражения в силу леммы 1

| fn , u - f , u |
как только пространство

fn - f




u

0

при

n +,

B

fn f сильно в B относительно нормы (2.3). Поэтому B можно отождествить с некоторым подпространством в ћ, ћ
и

. Теперь понятна и связь скобок двойственности:

ћ, ћ . u B B f B .

Действительно, имеем

u, f



= f, u

для всех

и


2. Сильная, слабая и

-

слабая сходимости.

91

Поэтому в одном частном, но важном случае, когда ствить со всем пространством

B

B

можно отожде-

, получаем и

u, f
случай.



= f, u

для всех

u B = B

f B .

(2.15)

В следующем параграфе мы будем интенсивно исследовать именно этот Возникает естественный вопрос о том, как устроено множество в том случае, когда

B \B

пространства

B

B

является собственным подпространством

? Ответ на этот вопрос выходит за рамки нашего

исследования. Давайте более внимательно рассмотрим как вкладывается банахово пространство элементу пространства

B

в банахово пространство

B

. Мы уже

выяснили, что существует оператор

J

, который сопоставляет каждому

B

некоторый элемент пространства

B

, при-

чем, очевидно, этот оператор линейный. Докажем, что этот оператор является изометричным:

J : B B
Действительно, пусть

,

Ju


где

=u

для всех

u B.

(2.16)

u = ,

нулевой элемент пространства

B,

поскольку в противном случае равенство (2.16) очевидно. С одной

стороны, имеем

v



= sup | v , f | = sup | f , u |
f


f



u=u

,

=

1

f



=

1

С другой стороны, имеем

| f , u | = | v, f |
откуда получаем

v v v




f f f

,

u u

f

,

u u



, ,

sup | f , w |
w =1

u
Значит,

f



v
,

f

,

u=v

,

v = Ju

для всех

u B. -

Теперь перейдем к исследованию вопросов о свойствах слабой и

-

слабой сходимостей. Напомним формулировку одного из следствий из теоремы

БанахаШтейнгауза, которую иногда и называют теоремой Банаха Штейнгауза: Те о р е м а
странство

о

р е з о н а н с е . Пусть

{Tn }

последовательность

ограниченных линейных операторов, отображающих банахово про-

X

в нормированное пространство

Y.

Тогда если последо-

вательность

{ Tn x }


92

Лекция 7. Свойства пространств Банаха

ограничена при каждом фиксированном ность

x X,

то и последователь-

{ Tn }

ограничена.

Эта теорема доказана в работе [17]. Справедлива следующая теорема: Т е о р е м а 4. Справедливы следующие два утверждения: (i) Всякая слабо сходящаяся последовательность
ва пространства если

B

{un }

из банахо-

ограничена, причем при

u

n

u

n +

,

то

u

lim inf un
n+

;

(ii) Всякая

- fn

слабо сходящаяся последовательность

нахова пространства если

B

{f n }

из ба-

ограничена, причем



f



при

n +

,

то

f



lim inf fn
n+



.

Доказательство.
Доказательство (i). В силу уже установленного изометрического

вложения

B B

мы можем рассмотреть слабо сходящуюся последо-

вательность

un

u

слабо в

B,
: и

как последовательность функционалов из

B

In (f ) un , f
го фиксированного



= f , un

для всех

f B

n N,
то для каждо-

Поскольку последовательность

f B

{un }

слабо сходится в

B,

числовая последовательность

In (f )

ограни-

чена, но тогда по теореме о резонансе имеем, что последовательность

{ un } B u. С

тоже ограничена. Теперь заметим, что если отождествить

некоторым подпространством в

B

, то можно обозначать элемент

и соответствующий ему элемент учетом этого замечания имеем

Ju B

Bс u

одной и той же буквой

un = u

n

= sup | un , f | = sup | f , un |
f


,

=1

f



=1

поэтому получаем следующее неравенство

un
получим неравенство

| f , un |

для всех

f B .
в последнем неравенстве и

Перейдем к нижнему пределу при

n +

lim inf un
n+
поскольку

| f , u |

для всех

f B

,

(2.17)

f, u

n

f, u



при

n +

для всех

f B .


3. Рефлексивность и сепарабельность

93

Поскольку левая часть неравенства (2.17) не зависит от возьмем supremum от обеих частей по требуемое неравенство:

f B : u
,



f B

, то

f



=

1 и получим

lim inf un
n+
поскольку

u = u



= sup | u , f | = sup | f , u | .
f


=1

f



=

1

Доказательство (ii). Введем обозначение

Kn (u) fn , u
го

для всех

uB

и

n N.
сходится для каждо-

Поскольку числовая последовательность

u B,

{Kn (u)}

то из теоремы о резонансе вытекает ограниченность числовой

последовательности

{f f

n }. По определению нормы

имеем

n

= sup | fn , u |
u=
1

| fn , u | . n +,
тогда поскольку

Теперь перейдем к нижнему пределу при

fn , u f
то получим неравенство

,

u

для всех

u B,

lim inf f
n+

n

| f , u | . uB: u=

(2.18)

Поскольку левая часть неравенства (2.18) не зависит от перейдем в обеих частях к supremum по требуемое неравенство:

u B,

то

1 и получим

lim inf f
n+
поскольку

n

f

,

f

= sup | f
u=
1

,

u |.

Те о р е м а

доказана.

3. Рефлексивность и сепарабельность
В предыдущем параграфе мы отметили, что важный случай банаховых пространств такой, когда банахово пространство

B

можно

отождествить (очевидно, изометрически) c банаховым пространством

B

. Дадим следующее определение: О п р е д е л е н и е 1 5 . Банахово пространство

B,

которое можно

отождествить со своим дважды сопряженным пространством называется рефлексивным.

B

,

Замечание

5.

Заметим, что если

B

это рефлексивное нор-

мированное пространство, то оно является банаховым. Действительно,


94

Лекция 7. Свойства пространств Банаха

это следствие простейших рассуждений. Сопряженное пространство к нормированному пространству

B

B

является банаховым пространством

в силу теоремы 2. Дважды сопряженное пространство теперь ства

B

банаховым как сопряженное к нормированному пространству

B

является . Пусть

B,

{un }

фундаментальная последовательность по норме простран-

но тогда имеем цепочку равенств

un - u B , то в B . Но B,
что

m

= Jun - Jum B





0

при

n, m +,

(3.1)

значит, последовательность силу полноты поскольку в силу

есть ?изометрия на?, то

u рефлексивности B отображение J : B B получаем, что найдется такой элемент u
она сходится к некоторому элементу

{Jun } B



является фундаментальной в

u



= Ju. J
имеем

А стало быть опять в силу изометрии

un - u = Jun - Ju



= Jun - u





0

при

n +.

Приведем некоторые результаты о свойствах рефлексивных пространств и о достаточных условиях рефлексивности банаховых пространств. Прежде всего мы можем дать ответ на вопрос из второго параграфа о достаточных условиях слабой полноты банахова пространства: Т е о р е м а 5. Рефлексивные банаховы пространства слабо полны. Доказательство. Итак, пусть выражение

{un } B

есть слабо фундаментальная последова-

тельность рефлексивного банахова пространства

B,

т. е. имеет место

| f , un - f , um |
Введем обозначение:

0

при

n, m +

для всех

f B .

In f , un . {un }
приходим

В силу слабой фундаментальности последовательности к выводу, что

{In }

является фундаментальной числовой последователь-

ностью, а, значит, она сходится к некоторому числу

In I
Значит, для каждого



при

n +. {In }
ограничена и,

f B {u
n

последовательность

стало быть, по теореме о резонансе приходим к выводу, что последовательность ограничена

}

. Ниже мы докажем теорему 5 о том,

что в этом случае из последовательности сходящуюся подпоследовательность:

{un }

можно выделить слабо

u

nk

u

слабо в

B

при

k +.


3. Рефлексивность и сепарабельность

95

Отсюда получаем, что

I {In }

nk

f, u

при

k + I

для каждого

f B .

Но ранее мы доказали, что исходная числовая последовательность сходится к некоторому числу

. В силу единственности предела

числовых последовательностей приходим к выводу, что

In = f , un f , u
Те о р е м а

при

n +

для каждого

f B .

доказана.

Для дальнейшего нам понадобится новое понятие сепарабельность, которое мы неявно уже использовали при доказательстве леммы 2. В этой теореме мы рассматривали гильбертово пространство со
счетным базисом. Действительно, если рассмотреть все возможные

линейные комбинации этого счетного базиса с рациональными коэффициентами, то для произвольного элемента

uH

и для произвольного

>

0 найдется такой элемент

u

из построенного множества, что будет

иметь место неравенство

u - u
Дадим следующее определение: Определение
в

. B
называется се-

1 6 . Банахово пространство

парабельным если в этом пространстве существует счетное всюду

B

плотное множество

M

, т. е. если любой элемент
заданной точностью

uB

можно

приблизить с множества

любой наперед

элементом из

M B. B
, то сепа-

Приведем без доказательства следующую полезную лемму. Л е м м а 4. Если сепарабельно банахово пространство
рабельно и нормированное пространство

B.

Доказательство этой леммы приведено в [17]. Справедлива следующая важная теорема. Т е о р е м а 6. Пусть
из

{un }

ограниченная по норме последователь-

ность элементов рефлексивного банахова пространства

B.

Тогда

{un } можно ность {unn } :

выделить слабо сходящуюся в

B

подпоследователь-

un

n

u

слабо в

B

при

n +.

Доказательство. Для простоты докажем эту теорему для случая сепарабельного банахова пространства дествить пространство имеем

B. B
рефлексивно, значит мы можем отож-

Поскольку пространство

= B, а так как B сепарабельно, то сепарабельно и про странство B , но это пространство является сопряженным к банахову пространству B . Значит, в силу леммы 4 пространство B является сепарабельным. Пусть {fn } B это счетное всюду плотное в B

B



B

с дважды сопряженным

B

. Стало быть,


96

Лекция 7. Свойства пространств Банаха

множество. Поскольку последовательность норме, то числовая последовательность

{un } B

ограничена по

f1 , un
ограниченная, поэтому из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность

f1 , u

n1

.

Числовая последовательность

f2 , un
подпоследовательность

1

тоже ограниченная, а значит, из нее можно выделить сходящуюся

f2 , u

n2

. fj
при

Продолжая таким образом этот процесс мы получим подпоследовательность

+

{unk+ }
1

, которая слабо сходится на элементах

1. Следовательно, диагональная подпоследовательность

ной последовательности плотном в

B

множестве

{un } B {fn }.

j = 1, ..., k + {unn } исход{unn } f B

слабо сходится на счетном всюду

Докажем теперь, что построенная подпоследовательность

B

слабо сходится к некоторому элементу

u



B.

Пусть

произвольным образом выбранный фиксированный элемент. Тогда имеет место следующая цепочка неравенств:

| f , unn - f , umm | | f , unn - fk , unn | + + | fk , unn - fk , umm | + | f , umm - fk , umm | f - fk unn + | fk , unn - fk , umm | + f - f

k

um

m

.
в

Первое и последнее слагаемые в правой части последнего неравенства могут быть сделаны сколь угодно малыми в силу плотности пространстве

B

{f k }

относительно сильной сходимости и ограниченности

подпоследовательности

{unn } {un } B.

Наконец, второе слагаемое,

как мы уже доказали, стремится к нулю при числовая последовательность

n, m +

. Значит,

{ f , unn }
является фундаментальной при любом быть, найдется некоторый элемент

f B . u B, что B
при

Значит, сходится. Стало

unn
Те о р е м а странства
и

u

слабо в

n +.

доказана.

Теперь мы можем получить аналогичный результат в случае про-

B .

Т е о р е м а 7. Пусть

B

есть сепарабельное банахово пространство по норме последовательность элементов

{fn }



ограниченная


3. Рефлексивность и сепарабельность

97

банахова пространства сходящуюся в

B
nn



B

. Тогда из

{fn }

можно выделить

-

слабо

подпоследовательность

{f

nn

}:

f



f

-

слабо в

B

при

n +.
плотное. числовая

Доказательство. Действительно, пусть последовательность Поскольку последовательность

{uk } B счетное всюду в B {fn } B ограниченная, то { fn , u1 } fn , u1 .
1

ограниченная и, значит, содержит сходящуюся подпоследовательность

Теперь числовая последовательность

{f
последовательность

n1 ,

u2 }

тоже ограниченная и поэтому из нее можно извлечь сходящуюся под-

fn , u1 .
2

{fnk+ } {fn } B -слабо сходящуюся на элементах uj , где j = 1, 2, ..., k . Извлекая диагональную подпоследовательность, получим итоговую подпоследовательность {fnn } B , которая -слабо сходится на счетном всюду в B плотном множестве {uk } B. Докажем теперь, что построенная подпоследовательность {fnn } B -слабо сходится к некоторому элементу f B . Пусть u B
ность
1

Продолжая таким образом этот процесс мы получим подпоследователь-

произвольным образом выбранный фиксированный элемент. Тогда имеет место следующая цепочка неравенств:

|f

nn ,

u - fmm , u | | fnn , u - fnn , uk | + + | fnn , uk - fmm , uk | + | fmm , u - fmm , uk | u - uk fnn + | fnn , uk - fmm , uk | + u - uk

f

m

m



.

Первое и последнее слагаемые в правой части последнего неравенства могут быть сделаны сколь угодно малыми в силу плотности пространстве

B

{uk }

в

относительно сильной сходимости и ограниченности

подпоследовательности

{fnn } {fn } B

. Наконец, второе слагаемое,

как мы уже доказали, стремится к нулю при числовая последовательность

n, m +

. Значит,

{f

nn ,

u}
сходится. Стало

является фундаментальной при любом быть, найдется некоторый элемент

u B. Значит, f B , что B
при

f
Те о р е м а
4

nn



f

-

слабо в

n +.

доказана.

М. О. Корпусов, А. А. Панин


98

Лекция 7. Свойства пространств Банаха

Заметим, что данное утверждение можно доказать без требования сепарабельности банахова пространства ноты пространства

B

(см., например, [11]).

Теперь мы можем предъявить достаточные условия

B .

-

слабой пол-

Именно, справедлива следующая лемма.

Л е м м а 5. Банахово пространство
что банахово пространство

B -

слабо полно при условии,

B

сепарабельно.

Доказательство. Пусть

{fn } B
m,



-слабо
0 при

фундаментальная последовательность,

т. е. выполнено предельное равенство

| fn , u - f

u |

n, m +

для каждого

u B.

Введем обозначение:

Kn fn , u .
сильно в

Тогда мы приходим к выводу, что в силу теоремы о резонансе последовательность

{fn } B

B

ограничена, т. е.

nN

sup fn



< +.
можно

Но тогда в силу теоремы 6 из последовательности извлечь

-

слабо сходящуюся

{fn } B подпоследовательность {fnn } : B K
при

f K

nn



f

-

слабо в

n +. u B.

Значит, числовая последовательность

nn сходится:
для каждого

nn

f, u

при

n + {Kn }

Но числовая последовательность последовательностей имеем

по исходному предположению

фундаментальная, поэтому в силу единственности предела числовых

Kn fn , u f , u
Лемма доказана.

при

n + B

для каждого

u B.

Свойство банахова пространства

быть рефлексивным, конечно,

зависит от нормы, относительно которой определено пространство еся к свойствам выпуклости нормы. Определение (i) Пространство 1 7 . Пусть

B,

а

именно свойств выпуклости нормы. Введем новые понятия, относящи-

B

это банахово пространство.

B

называется строго выпуклым если

u+v = u + v
для всех линейно независимых элементов

(3.2)

u, v B;
таких, что

(ii) Пространство

B
1и

называется равномерно выпуклым если для

любых двух последовательностей

un = v

n

=

{un }, {vn } B
2,

n+

lim

un + vn =


3. Рефлексивность и сепарабельность

99

имеем

n+
выпуклости в терминах ? Определение (i) Пространство
венств

lim
?:

un - v

n

= 0.

(3.3)

Можно дать эквивалентные определения строгой и равномерной

-

1 8 . Пусть

B

это банахово пространство.

B

называется строго выпуклым, если из нера-

u

1и

v

1и

u=v

следует, что

u + v < 2.
(ii) Пространство
любого

(3.4)

B

называется равномерно выпуклым, если для

u

1,

> v

0 существует 1и

u-v u+v

() > >0

0 такое, что из неравенств
следует

2(1

- ()).

(3.5)

З а м е ч а н и е 6 . Легко проверить, что необходимое и достаточное условие банахова пространства

B

быть строго выпуклым следующее:

u = v, + (1 - )v < 1 для
Для любых

из условия всех

u = v = 1 вытекает, что u + (0, 1). Таким образом, строго выпуклое B
лежит целиком (за

банахово пространство

B

таково, что отрезок соединяющий различные

u, v B исключением u
точки

единичной сферы пространства и

v

) внутри сферы.

Справедлива следующая лемма. Л е м м а 6. Равномерно выпуклое банахово пространство является
строго выпуклым.

Доказательство. Действительно, пусть

B

это равномерно выпуклое банахово про-

странство и предположим, что

u+v = u + v

,

где

u=

0

и

v = 0. u v
. Тогда

Без ограничения общности можно предположить, что справедлива следующая цепочка соотношений:

2

u v + u v

=

1

uv
1

v (u + v ) - ( v - u ) v [ v ( u + v )-( v - u ) v ]=
2,

uv

где мы воспользовались неравенством

| u1 - u2 |
зом, получили, что

u1 - u2

,

которое является следствием неравенства треугольника. Таким обра-

v u + u v

=

2,

4*


100

Лекция 7. Свойства пространств Банаха

откуда в силу равномерной выпуклости

B

вытекает, что

u v - u v
Следовательно,

= 0.

v u = u v. u
и

Значит, элементы Лемма Мильмана.

v

линейно зависимы.

доказана.

Приведем без доказательства следующий важный результат В. Д. Т е о р е м а 8. Всякое равномерно выпуклое банахово пространство

B

рефлексивно.

Теперь мы готовы к формулировки и доказательству важного критерия сильной сходимости в банаховом пространстве слабой сходимости. Этот критерий довольно часто

B

при условии в

используется

приложениях при исследовании слабых решений краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений. Т е о р е м а 9. Если

B u



это

равномерно

выпуклое

банахово

про-

странство, то из того условия, что

un
и

слабо в

B

при

n +

,

un u un u
Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что

вытекает, что сильно в

B

при

n +. u=
1и

un =

0.

Введем следующее обозначение:

vn =
Ясно, что

un . un
. Теперь возьмем

-u ()

vn =

1и

v

n

u

при

n +

n = vn -

, тогда по определению 18 найдется такая неубывающая функция и

(0) =

0, что

vn + u
флексивно, поэтому имеем

2 (1

- ( vn - u )) .

(3.6)

Поскольку в силу теоремы Мильмана банахово пространство

B

ре-

vn + u = vn + u



= sup | vn + u, f | =
f


=1

= sup | f , vn + u |
f


| f , vn + u |

(3.7)

=1


4. Литературные указания

101

Переходя к нижнему пределу в неравенстве (3.6) с учетом неравенства (3.7), получим следующее неравенство: 2

lim inf (1 - ( vn - u ))
n+

lim inf | f , vn + u | = 2 | f , u |
n+

,

(3.8)

поскольку от

f B

v

n

u

слабо в

B.

Левая часть неравенства (3.8) не зависит

, поэтому можно перейти к supremum по всем

f B : f

=



=

1 и получить неравенство 2

lim inf (1 - ( vn - u ))
n+

2

u



=

2

u = 2.

Которое возможно только в том случае, когда

n+
Отсюда получаем, что

lim

v n - u = 0.

un = un vn u
поскольку

сильно в

B

при

n +

,

un u =

1.

Те о р е м а

доказана.

4. Литературные указания
Материал, используемый в этой главе, взят из работ [3], [7], [17], [18], [25], [?], [35].