Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://matematika.phys.msu.ru/files/a_stud_spec/254/lection8.pdf Дата изменения: Wed Sep 14 22:11:33 2011 Дата индексирования: Mon Oct 1 23:58:12 2012 Кодировка: Windows-1251

Лекция

8

ПЛОТНЫЕ ВЛОЖЕНИЯ БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВ

1. Транспонированные операторы
Давайте зададимся следующим вопросом. Пусть у нас имеются два банаховых пространства том имеется ли вложение вложение на

E и F, причем E F. Что можно сказать о F E соответствующих сопряженных про-

странств? Действительно, наш вопрос не лишен смысла. Если имеется

E F, то можно предполагать, что функционал непрерывный F будет тем более непрерывным на E и тогда имеет место вложение F E . Однако, это предположение, вообще говоря, неверно. Действительно, рассмотрим два конечномерных банаховых пространств En и Em размерностей n и m соответственно, где m > n, причем En Em .

E и E . Но n m тогда о вложении Em En не может быть и речи, поскольку dim Em = = m > dim En = n. Поэтому для того чтобы требуемое вложение F
ства той же размерности, что и исходные пространства:

Для каждого из этих пространств определены сопряженные простран-

E

имело место необходимо потребовать, чтобы пространства

E

и

F

имели одинаковую размерность. Однако, этого тоже не достаточно для бесконечномерных пространств. Для того чтобы решить этот вопрос полностью начнем несколько из далека. Введем некоторые обозначения. Пусть заданы два банаховых пространства

E

и

F

с нормами

e

и

f

и с соответствующими сопряженными двойственности:

E



и

F

относительно скобок

e , e
и

e

для всех

eE f F

и

e E f F .
и и

f



,

f

f

для всех

и

Введем стандартным образом скобки двойственности между парами банаховых пространств

E

и

E

, а также

F

F



: E

e



,

e



e

для всех

e E

e




1. Транспонированные операторы

103

и

f



,

f



f

для всех

f F



и

f



F . F
является

Пусть

T L (E, F)

, т. е. линейный оператор непрерывный относительно

сильных сходимостей в пространство ющей нормы:

E

и

F

. Поскольку пространство

банаховым, то как хорошо известно из курса функционального анализа

L (E, F)

является также банаховым относительно следу-

T

ef

sup
e
e

Te
1

=

f

.

Заметим, что справедлива следующая лемма: Л е м м а 7. Для произвольного оператора
неравенство:

T L(E, F) e E.

имеет место

Te
Если

f

T

ef

e

e

для всех

Доказательство.

e=

нулевой элемент банахова пространства

емое неравенство очевидно. Предположим теперь, что определению нормы пространства

E, e = , =
1,

то требутогда по

L (E, F)

имеем неравенство

Te1

f

T

ef

для всех

e1 E :

e1

e

в частности, это неравенство выполнено для

e1 =
Отсюда сразу же получаем, что

e . ee T e e.

Te
Лемма доказана.

f

ef

Теперь дадим следующее определение: О п р е д е л е н и е 2 1 . Оператором, транспонированным к
зывается оператор

T,

на-

Tt : F E Tt f


,

(1.1)

определяемый следующим образом:

,

e

e

f



,

Te

f

.

(1.2)

f F

Отметим, что определение 21 имеет место, поскольку для каждого имеем

Tt f E

. Действительно, пусть

рый фиксированный элемент, тогда докажем, ным функционалом на

f F это некотоt что T f является линейE,

E. Tf

Это утверждение есть следствие несложной

цепочки равенств. Во-первых,

Tt f
e



это функционал на

поскольку

t

,

e

f



,

Te

f

R .
1

Во-вторых, имеют место равенства

Tt f



,

(1 e1 + 2 e2 )

e

f



,

T (1 e1 + 2 e2 )

f

=


104

Лекция 8. Плотные вложения банаховых пространств

=f



,

1 Te
,

1

f

+f



,

2 Te
,

2

f e

= 1 f



,

Te1

f

+ 2 f


1

, ,

Te

2

f

=

= 1 T f

t

e

1

e

+ 2 T f

t

e

2

для всех

1 , 2 R

e1 , e2 E. en e

из которых следует, что сильно в

Tt f



есть линейный функционал. Теперь дока-

жем, что этот функционал непрерывный. Действительно, пусть

E,

тогда в силу лемм 1 и 10 имеем

Tt f



, en

-e

e

=

f



,

T(en - e) f
f

f ef

f



f e

T(en - e) +0 F


f

T

en - e

при

n +,

где

f



f сопряженная норма в пространстве f

, порожденная

нормой

:

f



f

= sup | f
f
f



,

f

f

|.

=1

Тем самым, мы доказали, что Т е о р е м а 10. Если

Tt f E .
, то

Справедлива следующая теорема:

T L (E, F) T
ef

Tt L (F , E ).
t f e


Причем

=T

.

Доказательство. Прежде всего опишем как определяется норма в, очевидно, банаховом пространстве

L (F , E ) . A

Действительно, имеем


f e


f

sup
f

Af
=
1



e ,

где нормы в сопряженных пространствах дартным образом, т. е.

E
f

и

F

определяются стан-

e



e

sup | e , e e |
e
e

и

f



sup | f
f
f



,

f

f

|.

=1

=

1

Докажем сначала линейность оператора дующую цепочку равенств

Tt .

Действительно, имеем сле-

Tt (1 f1 + 2 f2 ) , e

e

(1 f1 + 2 f2 ) , Te f t

f

=
e

= 1 f1 , Te
t

f

+ 2 f2 , Te
t e
,

= 1 T f1 , e
для всех

+

2

Tt f2 , e
1

e

=

= 1 T f1 + 2 T f2 , e
лемм 1 и 10 имеем

1 , 2 R T
t

и

f1 , f2 F.

Докажем теперь ограниченность оператора

. Действительно, в силу

Tt f



,

e

e

=

f



,

Te

f

f



f

Te

f

f



f

T

ef

e e.

(1.3)

Теперь из определения нормы в банаховом пространстве следует, что

Tt

f e




f

sup
f

Tt f
=
1



e

=
f

sup
f

sup
=
1

Tt f
1



,

e

e

e

=

e

.

(1.4)


1. Транспонированные операторы

105

Без ограничения общности можно считать, что в неравенстве (1.3)

f =

и

e = .

Тогда из (1.3) получим неравенство

Tt

f f


,

f

e e

T
e e

ef

.

Отсюда и из (1.4) вытекает неравенство

Tt
Отсюда

f e



T

ef

. Tt
. Стало быть,

(1.5)

L (F , E ).

вытекает

ограниченность

оператора

Tt
(1.6)

Докажем теперь, что имеет место неравенство

T
Действительно, поскольку место цепочка выражений

ef

Tt

f e



.

Tt L (F , E ) Tt f
e

, то в силу лемм 1 и 10 имеет

f



,

Te

f

=

Tt f



,

e

e

e

e

Tt

f e

f



f

e e.
(1.7)

Теперь по определению нормы в пространстве факта, что

L(E, F)

,

и с учетом того

f F

f

f

=
f

sup
f

|f
=1

f|

(он следует из теоремы Хана Банаха), имеем цепочку равенств

T

ef

sup
e
e

Te

f

= sup
e
e

sup
f

f
=1



,

Te
и

=1

=1 f

f

.

(1.8) Тогда

Без ограничения общности можно считать, что из (1.7) получим неравенство

e=

f = .

f f


,

T

f

e e

Tt
e f

f e



.

Отсюда и из равенства (1.8) получим неравенство (1.6), из которого и из (1.5) получаем второе утверждение теоремы. Те о р е м а доказана. Теперь мы в состоянии одно важное свойство оператора следует из условия инъективности оператора рим, что будет с оператором сти линейный оператор условия

Tt

, которое

Tt

T.

Для начала рассмот-

в том случае, когда оператор

T

не

является инъективным. Действительно, по определению инъективно-

Te =

0 вытекает, что

T:EF e = .

является инъективным, если из Так что оператор

T

является не

инъективным в том случае, если существует такой элемент

Te = .

По определению оператора

Tt
0

e=

, что

имеет место равенство для всех

Tt f



,

e

e

=f



,

Te

f

=
в

f F .

(1.9)

Но это означает, что образ

TF

t

E



ортогонален элементу

eE

в

смысле следующего определения:


106

Лекция 8. Плотные вложения банаховых пространств

Определение

22.

Множество

A E

называется ортого-

нальным ко множеству

AE

относительно скобок двойственно-

сти между этими банаховыми пространствами, если

a , a =

0

для всех

aA

и

a A .

Теперь напомним определение плотности одного множества банахова пространства в другом множестве того же пространства. Определение
ства

2 3 . Подмножество

B

называется плотным во множестве

A B банахова B B, если

пространзамыкание

A

совпадает с

B.

E

Пусть теперь последовательность

{fn } F

такова, что

это сильно сходящаяся к некоторому элементу

{T t f n } e E после-

довательность, т.е.

T t fn - e



e

= sup
e
e

=1

T t f n - e , e

e



0

при

n +.

Тогда из равенства (1.9) получим, что 0

= fn , Te

f

= Tt fn , e

e

e , e

e

= 0. {Tt F }
ортогональ-

Тем самым мы получаем, что замыкание множества но ненулевому элементу

E

, т. е. множество

e {Tt F }

пространства не плотно в

E E .

и поэтому не совпадает с Заметим, что имеет место

противоположное утверждение: если множество то оператор

{Tt F }

плотно в

E

,

T
0

инъективен. Действительно, пусть

= Tt f



,

e

e

=f



,

Te

f

для всех

f F
в



,

следовательно, в силу плотности множества

{T F }

t

E



получаем, что

e = .

С другой стороны, имеем

f
Стало быть, вытекает



,

Te

f

=

0

для всех

f F . Te =

Te = . e = . L (E, F),

Значит, приходим к выводу, что из условия

Теперь рассмотрим частный случай операторов из банахова пространства а именно линейный, непрерывный и инъективный оператор топологического вложения оператор линейный, т. е.

J

ef

:EF

. Во-первых, этот

J

ef

(1 e1 + 2 e2 ) = 1 Jef e1 + 2 Jef e2 1 , 2 R

1

и

e1 , e2 E.

Во-вторых, этот оператор непрерывный, т. е. в силу линейности ограниченный

Jef e

f

c1 e e .
?:

Довольно часто, когда это не вызывает недоразумений, мы не пишем оператор

J

ef , а используем знак ?

E F.

Этот знак означает, что

мы отождествили пространство

E

со множеством

Jef E,

для которого


1. Транспонированные операторы

107

этот знак имеет естественный смысл:

Jef E F

. Иногда, когда мы

имеем дело с теоретикомножественным вложением, т.е. когда

=e

Jef e =

этот знак однозначно отражает ситуацию. В том случае если

банахово пространство обозначать символом

E

вложено в банахово пространство

F

не просто

непрерывно и инъективно, но и плотно, тогда эту ситуацию будем

E F.
Теперь сформулируем основную теорему этого параграфа. Т е о р е м а 11. Пусть

ds

E

и

F

это два банаховых пространства и

T L (E, F).
(i) (ii)

Тогда имеют место следующие утверждения является инъективным; является инъективным, причем имеет ме-

T(E) F Tt
t ds

ds

T (F ) E T

сто обратное утверждение при условии, что

E

рефлексивно.

Доказательство. (i). Итак, пусть

Tt f =
0

0, тогда для всех

eE
f,

имеем равенства

= Tt f f




,

e

e

=f



,

Te

но тогда в силу плотности должением функционала

TE

в

F

получаем, что единственным про-

ортогонального

TE T
t

является функционал

ортогональный всему пространству что если

F

, стало быть,

f = .

Докажем откуда и

теперь утверждение в другую сторону. Пусть

f F



есть нуль на

TE,

то

f



инъективен. Докажем,

есть нуль на

F

следует в силу теоремы ХанаБанаха плотность множества Действительно, равенство

TE

в

F

.

f f



,

f

f

=

0

для всех

f TE e E. Tt
равно

эквивалентно равенству



,

Te


f

= =

0

для всех

Но последнее равенство равно в силу определения

Tt f
сти

,

e

e

0

для всех

e E.
в силу инъективно-

Отсюда сразу же получаем, что

Tt

приходим к выводу, что

T f = . Откуда f = . Значит,
ds

t

T(E) F.
(ii). Итак, пусть

Tt (F ) E
и

ds

Te =

0. Тогда из равенства 0

= Tt f eE



,

e

e

=f



,

Te

f

для всех

f F E
, а значит,

получаем, что

ортогонально всему пространству

e = .


108

Лекция 8. Плотные вложения банаховых пространств

Пусть теперь функционал

T

является инъективным. Попробуем доказать треравный нулю на

буемое утверждение как и на шаге (i). Итак, надо доказать, что

e



E

Tt F



равен нулю и на всем

E

,

откуда в силу теоремы ХанаБанаха получим требуемый результат. Пусть имеет место равенство

e , e
которое эквивалентно



e

=

0

для всех

e Tt F



,

e , Tt f Ttt e
где

e

= =

0

для всех

f F . f F

Но последнее выражение равно



,

f

f

0

для всех

,

Ttt

есть транспонированный к

Tt

. Из последнего равенства сразу

же получаем, что

Ttt e



= . Ttt T, . Поэтому Tt T.
. Дей-

И тут мы сталкиваемся с трудностью: из инъективности оператора

вообще говоря, не следует инъективность оператора
нужно изучить явное представление оператора Рассмотрим транспонированный оператор ствительно, по определению имеем

Ttt Ttt к

через оператор оператору

Ttt e , f

f

=e



,

Tt f

e

e



E

и

f F .

(1.10)

С учетом того, что имеет изометрически изоморфные вложения

Je : E E Ttt Je e, f Je e, Tt f
e f

и

Jf : F F




мы можем переписать (1.10) в следующем виде

= Je e, Tt f =f


e

.
f

(1.11)

С другой стороны, имеем равенства

= Tt f



,

e

e

,

Te

f

= Jf Te, f

Отсюда и из (1.11) получим равенство

Ttt Je = Jf T.
В силу рефлексивности пространства

J

- e

E

существует обратный оператор

1

и поэтому получаем равнство

Ttt = Jf TJ-1 . e
Отсюда из инъективности стало быть, получаем, что

T

вытекает инъективность оператора

Ttt

,а

Tt (F ) E .
Те о р е м а доказана.

ds


2. Плотные вложения банаховых пространств

109

2. Плотные вложения банаховых пространств
Теперь достаточно применить общий результат теоремы 15 к важному частному случаю оператора инъективного и непрерывного вложения

J J

ef

:EF

и транспонированного оператора

t ef

: F E .

И, тем самым, получить следующий весьма полезный результат в приложениях к изучению слабых решений краевых задач для нелинейных уравнений в частных производных. Т е о р е м а 12. Пусть

E

и

F

это два банаховых пространства и

EF
(i) (ii)

. Тогда имеют место следующие утверждения

EFJ
ds

ds

t ef является инъективным;
является инъективным, причем имеет место

F E Jef
ds

обратное утверждение при условии, что

E


рефлексивно. простран-

Следствие
ства

1.

В

случае

рефлексивного

банахова

E
и

условие

EF

эквивалентно условию

F E F


ds



.

В заключение отметим, что можно привести контрпример, когда

EF

E

нерефлексивно и нет плотного вложения

в

E

(см. [3]).

Теперь давайте рассмотрим ситуацию довольно часто возникающую в приложениях. Пусть сивно, причем

E

EF

ds

и

F

два банаховых пространства и

E

рефлек-

, т. е. существует такой линейный, инъективный и

непрерывный оператор вложения

J
причем

ef

: E F, uE v = Jef u.
, С другой стороны, для

Jef E J

плотно в

F.

Таким образом, каждому элементу

сопоставляется некоторый элемент оператора

ef определен транспонированный оператор

J

t ef

: F E

t причем в силу теоремы 16 оператор Jef является линейным, непреt рывным, инъективным, причем Jef F плотно в E . Таким образом, t каждому элементу f F соответствует некоторый элемент Jef f E .
По определению транспонированного оператора выполнено равенство:

Jt f , u ef F


e

= f , Jef u

f

для всех

uE

и

f F . F,
т. е. с

(2.1)

Однако, если мы отождествим

E

отождествим с его образом в

E

с его образом в , т. е. с

Jt F ef
и



Jef E,

а

, тогда (2.1) можно

переписать в более простом виде, как это всегда и делается:

f, u

e

= f, u

f

для всех

uE

f F

,

(2.2)


110

Лекция 8. Плотные вложения банаховых пространств

причем в силу условий и теоремы 16 имеют место плотные вложения

EF

ds

и

F E . E

ds

(2.3)

Таким образом, мы доказали теорему. Т е о р е м а 13. Пусть банахово пространство
вложено в банахово пространство непрерывно и плотно

F

, тогда имеет место равенство

f, u

e

= f, u

f

для всех

uE

и

f F .
рефлексивно и

(2.4)

З а м е ч а н и е 1 1 . В частном случае, когда произведением соотношения

E

F=H H

некоторое вещественное гильбертово пространство со скалярным

(ћ, ћ)

и мы согласно теореме Рисса отождествили

с его сопряженным

H



, то из (2.2) и (2.3) мы получим следующие

f, u
причем

e

= (f , u)

для всех

uE

и

f H

,

E H E .
3. Литературные указания
Материал, используемый в этой главе, взят из работ [3], [7], [17], [18], [25], [?], [35].

ds

ds