Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://matematika.phys.msu.ru/files/a_stud_spec/254/lection9.pdf Дата изменения: Wed Sep 14 22:12:18 2011 Дата индексирования: Mon Oct 1 23:58:37 2012 Кодировка: Windows-1251

Лекция

9

ВЕКТОРНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

1. Введение
В этой лекции мы рассмотрим общее определение векторного топологического пространства, а также пространства линейных непрерывных функционалов над ним. Для понимания этой лекции достаточно владеть основами курсов ?Линейная алгебра? и ?Вещественный анализ?, а также элементами теории топологических пространств (см., напр., книгу Колмогорова и Фомина).

2. Определение ВТП
Итак, начнем со следующего определения. Определение
плексных чисел

1 . Векторное пространство

X

над полем ком-

C

, на котором задана топология



называется

векторным топологическим пространствам

(X , ),

если операции

сложения элементов и умножения на число являются непрерывными отображениями из

(X , )

в

(X , ).

Давайте повнимательнее посмотрим на это определение. Требует расшифровки непрерывность отображения

F1 (x, y ) : (X , ) (X , ) (X , ),
задаваемое как

(2.1)

F1 (x, y ) = x + y

, а также непрерывность отображения , (2.2)

F2 (, x) : C1 (X , ) (X , )
задаваемое как окрестности

F2 (, x) = ћ x.
что

Итак, непрерывность

чает, что для всякой окрестности отображения

Ux и Uy , F2 (, x)

означает, что для любой окрестности точки

найдутся такие окрестности

x

соответственно, что

Vx U = {ч C : |ч - | < } и Ux точек и F2 (U , Ux ) = чUx Vћx при всех ч U . E
в векторном про-

Vx+y точки x + y F1 (Ux , Uy ) = Ux + Uy Vx+y

F1 (x, y )

озна-

найдутся такие . Непрерывность

Теперь мы дадим ряд нужных нам в дальнейшем определений. О п р е д е л е н и е 1 . Выпуклым множеством
странстве

X

называется такое множество, что для всех пар точек

x, y E

и для всякого

[

0, 1] имеем

x + (1 - )y E .


112

Лекция 9. Векторные топологические пространства

О п р е д е л е н и е 2 . Множество

E E E

в векторном пространстве

X

называется уравновешенным, если для всякого

C

с

| |

1 имеем

E E .
О п р е д е л е н и е 3 . Множество
пространстве окрестности в векторном топологическом если для всякой

(X , ) нуля U (X , )

называется

ограниченным,

найдется такое

s>

0, что

E tU
если

при

t > s.

О п р е д е л е н и е 4 . Множество
пространстве точки называется

в векторном топологическом для всякой

поглощающим,

xX

найдется такое

t = t(x) >

0, что

x t ћ E. E
называется абсо-

Определение
лютно выпуклым.

5.

Выпуклое и уравновешенное множество

векторного топологического пространства

(X , )

Теперь мы введем отображения сдвига и умножения на комплексное число и докажем, что эти отображения являются гомеоморфизмами, т. е. взаимно однозначными и взаимно непрерывными отображениями. Итак, введем следующие отображения:

Ta (x) = a + x M (x) = ћ x для

для всех всех

a, x X , C, x X .

(2.3) (2.4)

Совершенно понятно, что обратными отображениями к этим двум отображениям являются соответственно следующие:

T
1

-a

(x) = -a + x
-1

для всех

a, x X

,

(2.5) (2.6)

M- (x) =

ћx

для всех

= ,

x X.

Причем в силу определения векторного топологического пространства все эти четыре отображения (2.3)(2.6) являются непрерывными. Значит, отображения топологии

Ta (x)

и

M (x)

при

=

являются гомеоморфизма-

ми. Докажем, что отсюда вытекает важное свойство инвариантности



векторного топологического пространства относительно

сдвигов. Действительно, пусть ного элемента

Ua точки B . Таким

aX

B

это базис окрестностей нейтраль-

линейного пространства

X.

Тогда всякая окрестность

может быть представлена в виде

a + U

, где

U

образом, нам достаточно задать базис окрестностей ну-

ля векторного топологического пространства, чтобы получить базис окрестностей в любой другой точке и тем самым согласно теореме 1 из предыдущей лекции получить топологию всего векторного топологического пространства, эквивалентную исходной. В дальнейшем мы постоянно будем пользоваться этим свойством векторных топологических пространств.

3. Сопряженные к ВТП
Итак, пусть у нас задано некоторое векторное топологическое пространство

(X , )

. Поскольку по условию пространство

X

это

линейное пространство (вообще говоря, на полем

C),

то над этим про-


4. Полунормы и локально выпуклые пространства

113

странством однозначно определено пространство Поэтому обычно из пространство пространства точке
сти

X

#

линейных функ-

ционалов. Однако, это слишком широкое пространство в приложениях.

X

#

выделяют его подпространство,

состоящее из непрерывных в топологии



векторного топологического

(X , )

линейных функционалов из

это означает. Действительно, пусть

f X

#

X

#

. Напомним, что

, тогда его непрерывность в

x X определяется следующим образом: для всякой окрестноU (f (x)) = {ч C : |ч - f (x)| < } найдется такая окрестность U (x) точки x X , что имеет место вложение f (U (x)) U (f (x)). При этом линейный функционал f (x) должен быть непрерывен в каждой точке векторного топологического пространства (X , ).
Дадим определение. Определение
функционалов над

6.

Множество

всех

линейных

непрерывных

векторным сопряженным

топологическим пространством

пространством и обозначается

(X , ) как X



называется .

Ясно, что сопряженное пространство

X



является линейным про-

странством относительно стандартных операций сложения и умножения на комплексное число. Причем согласно второму параграфу третьей лекции действие элемента

f X



на элементе

xX

мы пишем как

f, x .
Топологию векторного топологического пространства

(X , )

можно за-

давать различными способами, но нас будет интересовать один частный, но важный случай, когда топология задается при помощи полунорм.

4. Полунормы и локально выпуклые пространства
Прежде всего дадим определение полунормы. О п р е д е л е н и е 7 . Вещественная функция
деленная на векторном пространстве

p(x) : X R

1

X

+ , опре-

называется полунормой,

если выполнены следующие два свойства:

(i) (ii)

p(x) = ||p(x) для всех C и всех x X p(x + y ) p(x) + p(y ) для всех x, y X.

;

Из самого названия ?полунорма? следует, что это ?недонорма?. И действительно, в отличие от нормы из условия говоря, не вытекает, что в котором надо

p(x) = 0, вообще x = , хотя, конечно, в силу свойства (i), положить = 0, вытекает, что p() = 0. Приведем C(1) ([0, 1]) :
x[0,1]

примеры полунорм. Рассмотрим следующую вещественную функцию на линейном пространстве

p(f ) = sup |f (x)|.
Ясно, что эта функция удовлетворяет всем условиям полунормы. Однако, из условия, что

p(f ) =

0 вытекает всего лишь на всего, что

f (x) =


114

Лекция 9. Векторные топологические пространства

= constant.

Теперь рассмотрим один очень важный для нас пример

полунормы функционал Минковского, который определяется для каждого абсолютно выпуклого и поглощающего множества векторного топологического пространства

AX

(X , )

. Дадим определение.

О п р е д е л е н и е 8 . Функционалом Минковского
но выпуклого и поглощающего множества логического пространства

AX

pA (x)

абсолют-

векторного топо-

(X , )

называется следующая функция:

pA (x) inf R1 : x ћ A . +

(4.1)

Итак, докажем, что функционал Минковского абсолютно выпуклого поглощающего множества является полунормой. Действительно, поскольку ского

A это pA (x) конечен

поглощающее множество, то функционал Минковдля любого

xX

. Его неорицательность очевидна.

Докажем теперь свойство (i). Действительно, пусть имеют место следующие соотношения

>

0, тогда

pA (x) = inf { : > = inf
-1

0,

x A} = x <
-
1

: >

0,

A = inf : >

0,

x A = = pA (x).

Рассмотрим теперь случай ства

0. Действительно, в этом случае спра-

ведливы аналогичные соотношения в силу уравновешенности множе-

A
0,

pA (x) = inf { : >

x A} =
-
1

= - inf -

: >

0, 0,

-x - x -

-1

A =

= - inf -
Случай

-1

: >

-1

A = x A = -pA (x).

= - inf : > =
0 очевиден.

0,

Докажем теперь справедливость свойства (ii). Действительно, имеет место следующие рассуждения. Пусть

x, y X

, тогда выберем числа

a

и

b

следующим образом:

pA (x) < a < pA (x) + ,
Докажем теперь, что

pA (y ) < b < pA (y ) +

при

> 0.

(4.2)

xy , A. ab Действительно, по определению чисел a, b имеем x x 1 > pA = inf : > 0, A , a a значит при некотором (0, 1) имеет место вложение x A A a


4. Полунормы и локально выпуклые пространства

115

в силу уравновешенностью множества что

A

. Аналогично доказывается,

y A. b A
выпуклое поэтому оно вместе с точками

Но множество

x a

и

y b

содержит и отрезок их соединяющий, т.е., в частности, точку

ax by x+y + = A. a+ba a+bb a+b
Значит, в силу определения функционала Минковского имеем

(4.3)

pA (x + y ) = inf { : >
откуда и из (4.3) получаем, что (4.2) имеем неравенство

0,

x + y A}

,



a+b

. Стало быть, отсюда и из

pA (x + y )
Значит, мы доказали, что Т е о р е м а 1. Пусть

a + b = pA (x) + + pA (y ) + . > pA (x)
0 вытекает свойство (ii) полунормы. это полунорма.
векторном топологимножества являются

Стало быть, из произвольности

Отсюда вытекает следующая важная теорема.
ческом пространстве

p(x) это полунорма на (X, ), тогда следующие
и

абсолютно выпуклыми и поглощающими:

A {x X : p(x) < }
Обратно, пусть множество, т. е.

B {x X : p(x)
этого

} .
множества,

AX

это абсолютно выпуклое и поглощающее

тогда

функционал Минковского
0,

pA (x) inf { : > X.

x A}

является полунормой на

Более того, имеем

{x : pA (x) < 1} A {x : pA (x)
Доказательство.

1}

.

Докажем первую часть теоремы. Действительно, рассмотрим, например, множество

A

. Проверим его выпуклость: пусть

x, y A

, тогда

в силу свойства (i) имеет место следующее неравенство:

p(tx + (1 - t)y )
тельно, имеем

tp(x) + (1 - t)p(y ) < t + (1 - t) = .

Уравновешенность этого множества следует из свойства (ii). Действи-

p(x) = ||p(x)

p(x) < .


116

Лекция 9. Векторные топологические пространства

Таким образом, приходим к выводу, что Действительно, пусть

A

абсолютно выпуклое мно-

жество. Докажем теперь, что это множество является поглощающим.

y X.

Введем обозначение

(y )
тогда получим, что для всех

p(y )

,

> (y )
,

имеют место неравенства

p(y ) <
значит,

p

y <

,

y A y A. B
.

Аналогичные рассуждения справедливы для множества пусть

Осталось доказать последнее утверждение теоремы. Действительно,

pA (x) inf { : >
значит, множества

0,

x A} <

1,

x A при некотором (0, 1), A получаем x A A.
при некотором

тогда из уравновешенности

Стало быть, первое вложение доказано. Пусть теперь имеем

xA

. Тогда

x A

(0, 1].
0,

Значит,

pA (x) inf { : >
Те о р е м а доказана.

x A}

1

.

В связи с этим введем новое понятие локально выпуклого пространства. Дадим определение.

Определение

9.

Векторное

топологическое

пространство

(X , ) называется локально выпуклым, если его базис окрестностей нуля B может быть выбран, состоящим из выпуклых множеств.
Важным свойством локально выпуклого векторного топологического пространства есть то, что базис окрестностей нуля множеств!!! Теперь мы рассмотрим способ построения топологии локально выпуклого пространства при помощи семейства полунорм. Действительно, пусть чисел.

B

может

быть выбран, состоящим из абсолютно выпуклых и поглощающих

X

это векторное пространство над полем комплексных нам задана система полунорм

Пусть

P

,

заданных

на

этом

линейном пространстве. Зададим базис окрестностей нуля искомой локально выпуклой топологии над полем



следующим образом. Действительно,

пусть теперь у нас имеется произвольное векторное пространство

X

C,

на котором задана система полунорм

p P(X ).

Тогда мы


4. Полунормы и локально выпуклые пространства

117

можем задать топологию окрестностей нуля образом:

X

следующим явным

V (p, n) =
Действительно, сечения

x : p(x) <

1

n

при

p P(X )

и

n N.

(4.4)

окрестностей нуля

V (p, n), поскольку p() = 0. Базис топологии B определим как всевозможные конечные переV (p, n)
p{p1 ,p2 ,...,pm }, n{n1 ,n2 ,...,nk }

Заметим, что построенные окрестности нуля
лыми множествами, т. е.

V (p, n)
при

являются выпук-

tV (p, n) + (1 - t)V (p, n) V (p, n)
венство

t [0, 1].

Действительно, в силу свойств (i)(ii) полунормы имеет место нера-

p(tx + (1 - t)y )
ствами,

tp(x) + (1 - t)p(y ) <
при

t + n | |

1

-t 1 = n n
1

x, y V (p, n).

Кроме того, окрестности т. е.

V (p, n) V (p, n) V (p, n) | | n

являются уравновешенными множе-

.

Это также следствие

свойства (ii) полунормы. Действительно, имеем при 0

< | |

1

p(x) = ||p(x) <
Т е о р е м а 2. Полунорма
ческом пространстве

1

n

для всех

x V (p, n).

Справедлива следующая теорема.

p(x)

, определенная на векторном топологи-

X

, непрерывна в топологии



тогда и только

тогда, когда она непрерывна в нуле. Функционал Минковского абсолютно выпуклого, поглощающего множества непрерывным в топологии

U X

pU (x) U


является



тогда

и

только

тогда,

когда

окрестность нуля.

Доказательство. Докажем первую часть теоремы. Пусть векторного топологического пространства

>

0 найдется такое множество

p(x) непрерывна в нуле (X , ) , тогда для любого > U , что U и имеет место x U \{}.

неравенство

p(x) aX



для всех

В силу неравенства треугольника (ii) в определении полунормы для произвольного имеем неравенство

|p(x) - p(a)|
Поэтому для произвольного венство

p(x - a). U
, получим нера-

>

0 взяв указанное

|p(x) - p(a)|

p(x - a)



для всех

x a + U \{}

,


118

Лекция 9. Векторные топологические пространства

т. е.

p(x)

непрерывна в произвольной точке

aX

.

Перейдем к доказательству второго утверждения теоремы. Пусть

U X

абсолютно выпуклая, поглощающая окрестность нуля. Рас-

смотрим соответствующий функционал Минковского

pU (x) inf { : >
Тогда для произвольного

0,

x U } .
имеем ,

>

0 при

x U U





и, значит,

pU (x)

для всех

x U \{}

т. е. функционал Минковского щего утверждения на всем

pU (x) X.

непрерывен в нуле и из предыду-

Докажем обратное утверждение. Действительно, пусть функционал Минковского абсолютно выпуклого, поглощающего множества непрерывен в нуле, тогда множество

U X

V {x : pU (x) < 1}
открыто (т. е. принадлежит и содержит ность нуля. Те о р е м а доказана. Имеет место следующее важное утверждение, вытекающее из этой теоремы и которое мы приведем без доказательств. Л е м м а 1. Пусть



) как прообраз открытого множества

(0, 1)

X

, и содержится во множестве

U

. Значит,

U

окрест-

p(x)

это полунорма, определенная на векторном тогда если множество множество

(X , ) , {x : p(x) < 1} содержит открытое жество Bp {x : p(x) 1} содержит то p(x) непрерывна в топологии .
топологическом пространстве



Ap
,

либо мно-

открытое множество



Теперь докажем следующее утверждение. Т е о р е м а 3. Полунорма
гическом пространстве

p(x), (X , )

определенная на векторном тополо-

, непрерывна в топологии



, порож-

денной счетным семейством полунорм

P

, тогда и только тогда,

когда найдется конечное семейство полунорм и постоянная

>

pi (x)

из

P

при

i=

1,

n

0, что имеет место следующее неравенство:

p(x)
Доказательство.

max pi (x).
i=1,n

(4.5)

Докажем сначала достаточность условия (4.5). Пусть для полунормы

p(x)

выполнено неравенство (4.5) при некотором конечном семей-

стве полунорм

семейством полунорм

{pi (x)} P. P, то

Поскольку топология множества для всех



порождена счетным

{x : pi (x) < 1}
топологии

i=

1,

n

, непрерывны в .

т. е. открыты, значит, в силу леммы 1 полунормы



pi (x) X

. Из неравенства (4.5) вытекает непрерывность полунормы

p(x)

в нуле и, следовательно, на всем пространстве


4. Полунормы и локально выпуклые пространства

119

Докажем теперь необходимость условия (4.5). Пусть на в нуле пространства

p(x)

непрерыв-

X

. Тогда для каждого

>

0 найдется такое

= ()

и конечный набор полунорм

{pi (x)} P

, что для всех

x

из

X

,

удовлетворяющих условию

i=1,n
выполняется неравенство

max pi (x) p(x) .

Выберем теперь число

>

0 таким образом, чтобы

max pi (x)
i=1,n
тогда



,

i=1,n

max pi (x)

.

Следовательно, имеет место неравенство

p(x)
Выберем теперь постоянную

.

(4.6)



как

=

i=1,n

. max pi (x)

Тогда из неравенства (4.6) вытекает неравенство

p(x)
Те о р е м а доказана.

max pi (x). i=1,n

Справедливо следующее утверждение. Т е о р е м а 4. Базис окрестностей нуля
стве

X

B

на векторном простран-

порождает локально выпуклое векторное топологическое

пространство

(X , ) .
порождается единственным образом

Доказательство. Действительно, топология как все возможные сдвиги базы окрестностей нуля:

x+V V B
Именно, будем считать, что определенная топология



.
можно представить в виде

U

, если

U

объединения сдвигов некоторых множеств из



B

. Очевидно, что так

инвариантна относительно сдвигов.

Можно доказать непрерывность сложения векторов и непрерывность умножения числа на вектор относительно введенной топологии. Построенная топология является локально выпуклой в силу утверждения теоремы 1. Те о р е м а доказана.


120

Лекция 9. Векторные топологические пространства

Таким образом, мы нашли рецепт построения из линейного пространства

X

локально выпуклого векторного топологического про-

странства, который мы и будем использовать при построении пространств основных функций. Заметим, что векторное топологическое пространство при нашем его определении не является автоматически хаусдорфовым. Поэтому в дальнейшем мы будем строить только хаусдорфовы топологии. Заметим теперь, что, как мы уже говорили, из условия

p(x) =

0 вовсе не вытекает, что

x = ,

однако есть одно

свойство системы полунорм

P

, которое роднит семейство полунорм с

нормой. Именно, относительно системы полунорм существует такая полунорма

P

мы будем тре-

бовать, чтобы она была разделяющей, т. е. для всякой точки

xX
счетно

pP

, что

p(x) = 0. P(X )

Предположим теперь, что наше семейство полунорм

и разделяющее. Тогда на построенном топологическом пространстве

(X , )

можно ввести метрику

+

d(x, y )
k=
1

1 2k 1

pk (x - y ) . + pk (x - y )

(4.7)

Проверим, что это метрика на только тогда, когда найдется такой Противоречие.

(X, )

. Действительно, в силу того,

что семейство полунорм является разделяющим, то

x = y , поскольку, если d(x, y ) = номер k = n0 , что dn (x - y ) > 0, а
0

d(x, y ) = 0 тогда и 0, но x - y = , то значит, d(x, y ) > 0.

Можно проверить, что выполнены и остальные свойства метрики. Таким образом, справедлива следующая теорема. Т е о р е м а 5. Пусть

P(X )

есть счетное и разделяющее семейство

полунорм, тогда построенное по этой системе полунорм локально выпуклое векторное топологическое пространство является метризуемым пространством.

Замечание

1 . Отметим, что в силу того, что метрическое про-

странство является всегда хаусдорфовым, то построенное в теореме 4 метрическое пространство автоматически является хаусдорфовым. Наконец, дадим следующее определение. О п р е д е л е н и е 1 0 . Полное, метризуемое и локально выпуклое
пространство называется пространством Фреше.

Замечание

2.

Как видно из теоремы 5 она не гарантирует

того, что построенное по данной системе полунорм метрическое пространство является автоматически полным, т. е. пространством Фреше. Действительно, это не так и полноту построенного пространства надо проверять ?вручную?. Теперь мы приступим к рассмотрению различных топологий на сопряженном векторном пространстве

X



линейных непрерывных

функционалов над векторным топологическим пространством

(X , )

.


5. Сильная, слабая и

-

слабая топологии

121

5. Сильная, слабая и
Итак, пусть

-

слабая топологии

f X

#

,а

xX

, причем

X

это векторное простран-

ство. Теперь рассмотрим следующую функцию на

xX: f X #.
(5.1)

p(x) = | f , x |
Докажем, что функция

для всех

xX

при

p(x)

это полунорма. Действительно, имеют

место следующие очевидные неравенства:

p(x1 + x2 ) = | f , x1 + x2 | = | f , x1 + f , x2 | | f , x1 | + | f , x2 | = p(x1 ) + p(x2 ), p(x) = | f , x | = | f , x | || | f , x | = ||p(x).

(5.2) (5.3)

Таким образом, в силу (5.2) и (5.3) функция (5.1) является полунормой. Пока у нас нет топологии в векторном пространстве

X

#

,

поэтому мы не можем сказать, что такое ограниченное множество в

X #.

Мы можем говорить только о конечных множествах из

о множествах, состоящих из конечного числа элементов из

X

#

X

#

, т. е.

. Таким

образом, будем рассматривать произвольные конечные множества

= {f1 , f2 , ..., fn } X

#

An =
(5.4)

. Тогда семейство

P p(x; An ); An X
где

#

,

p(x; An ) = sup | f , x | .
f A
n

Это семейство согласно теореме 4 порождает топологию ном пространстве

X

w
#

на вектор-

, которая называется слабой топологией. Заметим

теперь, что выражение, которое стоит в левой части равенства (5.1) можно рассматривать как функцию от аргумента сированном полунорм:

f X

при фик-

xX

. Но тогда, эта функция тоже полунорма, но уже

на линейном пространстве

X

#

. Теперь введем следующее семейство , (5.5)

P# {p(f ; Bn ); Bn X }
,

где

p(f ; Bn ) = sup | f , x |
xB
n

Bn = {x1 , x2 , ..., xn } X. X
# w


Это семейство согласно теореме 4 порождает топологию на сопряженном векторном пространстве название

, но уже

. Эта топология носит слабой топологии? А

-

слабой топологии. Возникает вопрос: почему мы в данном

случае говорим не о слабой топологии, а о

-

вот почему потому что на векторном пространстве жество

X

#

может быть

еще задана и слабая топология следующим образом. Поскольку мно-

X

#

является векторным пространством, то на нем в свою оче-

редь однозначно определено векторное пространство

X

##

линейных


122

Лекция 9. Векторные топологические пространства

функционалов, но уже над двойственности между

X
#

#

X # . Определим соответствующие ## иX следующим образом:
#

скобки

x
мейства полунорм:

,

f

:X

##

X X
#

#

C.

(5.6)

Но тогда рассмотрим топологию на

при помощи следующего се-

P
где

##

p# (f ; A# ); A# X n n x# , f
# n

##

,

(5.7)

p# (f ; A# ) = sup n
x# A

#,

# ## . Порожn это произвольное конечное подмножество из X денная согласно теореме 3 топология w является по своему смыслу # слабой топологией на X и эти две топологии w и w вообще говоря
где

A

не совпадают. Рассмотрим вопрос о том, когда эти две топологии являются эквивалентными. Заметим, что имеет множественное вложение Действительно, это следствие того, что каждый элемент дает линейный функционал на

X

#

X X ## . x X порож-

по формуле

f, x .
Поэтому и имеет место указанное вложение, но обратное вложение

X

##

X

имеет место не всегда. Однако, тот случай когда все таки

такое вложение имеет место, а значит случае линейное пространство

X=X

##

, очень важен. В этом

X

называется рефлексивным. И в этом

случае имеет место равенство скобок двойственности

f , x = x# , f
причем каждому элементу элемент

#,

приходим к выводу о том, что топологии значит понятия слабой топологии и

w и w совпадают на X # и -слабой топологии это одно и тоже. В общем случае, как нетрудно убедиться, топология w состоит из большего числа множеств, чем топология w и, значит, топология w сильнее топологии w на X # .
Теперь мы займемся введением сильной топологии на пространстве линейном пространстве линейных непрерывных функционалов

x# X

##

xX

взаимно однозначно соответствует

. Поэтому из сравнения формул (5.8) и (5.10) мы

X

над векторным топологическим пространством введения сильной топологии на множества в

X



(X , ).

Заметим, что для

нам нужно понятие ограниченного

X

и поэтому, естественно, нужна какая-то топология на

векторном пространстве

X

.

Итак, введем сильную топологию на векторном пространстве пологическим пространством

X





пространстве линейных непрерывных функционалов над векторным то-

(X , ).

Пусть

BX

это произвольное

ограниченное множество (см. определение 3) в векторном топологи-


5. Сильная, слабая и

-

слабая топологии

123

ческом пространстве

(X , ).

Поскольку всякое конечное множество, в

частности, точка поглощается всякой окрестностью нуля, то конечное множество это пример ограниченного множества, однако, естественно, существуют ограниченные множества, не сводящиеся к конечным. Теперь введем следующее семейство полунорм:

P# {p(f ; B ); B X } s
где

,

(5.8)

p(f ; B ) = sup | f , x |
xB

,

BX

,

где

B

это произвольное ограниченное множество в

(X , ).

Тогда

топология порожденная этой системой множеств согласно теореме 4 называется сильной топологией пространства множество, то слабая топология пространства гия

X



и обозначается как

s

.

Ясно, что поскольку всякое конечное множество это ограниченное

X



X





w и уж тем более -слабая топология слабее топологии s . Таким образом, сильная тополо-



s является сильнейшей топологией на сопряженном пространстве (Xs , s ).
Ло-

среди указанных ?топологизаций?. Полученное локально выпуклое

векторное топологическое пространство обозначается как

кально выпуклое векторное топологическое пространство, порожденное

-

слабой топологией обозначается как

(Xw ,

w



). ћ.
Но сначала

Теперь в качестве примера рассмотрим сильную топологию сопряженного

B

к банахову пространству

B

с нормой

приведем очень красивый результат о необходимом и достаточном условии нормируемости локально выпуклого векторного топологического пространства, где нормируемость понимается в следующем смысле. Определение 1 1 . Векторное топологическое пространство

(X , )

называется нормируемым, если на нем можно ввести такую

норму, что топология нормы и исходная топология эквивалентными.



являются

Действительно, справедлива следующая теорема. Т е о р е м а о н о р м и р у е м о с т и . Локально выпуклое пространство, содержащее ограниченную и компактную окрестность нуля является банаховым относительно функционала Минковского этой окрестности с топологией, эквивалентной исходной.

Доказательство. Напомним доказательство только первой части этого утверждения. Пусть

V

есть выпуклая ограниченная окрестность нуля в ло-

кально выпуклом векторном топологическом пространстве как известно найдется открытая в топологии окрестность нуля

(X , ).

Тогда



абсолютно выпуклая,

UV

, которая, естественно, тоже ограничена. Тогда

это пространство можно представить в виде

X=
>0

U.


124

Лекция 9. Векторные топологические пространства

Рассмотрим функционал Минковского множества

U:

pU inf { : >
Поскольку

0,

x U} .

U

есть выпуклое, поглощающее и уравновешенное мно-

жество (как окрестность нуля), то по теореме 1 функционал Минковского этого множества является полунормой на этом пространстве. Пусть ченности

x = и x 0 U при 0 > / U имеем x U 0 U. / pU (x)

0 то для всех





0

в силу ограни-

Тогда по определению функционала

Минковского имеем

0 > 0. (X , ).
Осталось доказать, что

Таким образом,

pU (x)

pU (x)

есть норма на

порождает туже топологию на

X

, что и исходная топология



.

Это есть следствие ранее установленного нами равенства множеств

U = {x X : pU (x) < } .
Доказательство второй части теоремы есть в работе [28]. Те о р е м а доказана. Теперь мы вернемся к рассмотрению различных топологий на нормируемых пространствах. Итак, прежде всего отметим, что каждое ограниченное множество в нормируемом пространстве принадлежит шару

{x B : x

c}

при некотором

c>

0 и, в частности, сам

этот шар является ограниченным множеством, поскольку, очевидно, поглощается всякой окрестностью нуля, а окрестность нуля имеет вид общий вид качестве множества

{x B : x < c} для B в системе

всех

c>

0. Поэтому естественно в

полунорм (5.8) взять замкнутый шар

с центром в нулевом элементе:

P# {p(f ; B )} s
где

,

(5.9)

p(f ; B ) = sup | f , x |
x c

,

для всех

c > 0.

Заметим, что в смысле теоремы 4 система полунорм

(5.9) эквивалентна одной полунорме, а именно следующей

p1 (f ) = sup | f , x | .
x
1

(5.10)

Действительно, рассмотрим произвольную полунорму из системы (5.9), которая имеет следующий общий вид:

pc (f ) = sup | f , x |
x c
Докажем, что имеет место равенство

при

c > 0.

(5.11)

pc (f ) = cp1 (f ).
Действительно, имеет место следующая цепочка равенств


6. Литературные указания

125

pc (f ) = sup | f , x | =
x c

sup | f , x | =
x/c
1

= c sup | f , x/c | = c sup | f , x1 | = cp1 (f ).
x/c c x
1

1

Поэтому полунорма (5.10) порождает согласно теореме 4 туже топологию на векторном пространстве

B

, что и система (5.9). Заметим, что

на самом деле полунорма (5.10) является нормой, причем согласно общим результатам функционального анализа векторное нормированное пространство пространств.

B

является банаховым относительно этой нормы! Таким

образом, мы пришли к классическому результату теории банаховых

6. Литературные указания
В данной лекции мы использовали материал, изложенный в работах [3], [11], [12], [17], [26], [28], [29], [31] и [32].